三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结知识点讲解1.“五点法”作图原理在确定正弦函数y二sinx（xe[0,2兀]）的图像时，起关键作用的5个点是兀3兀（0,0）,（3，1）,（兀,0）,（可,一1）,（2兀,0）.在确定余弦函数y二COSx（xe[0,2兀]）的图像时，起关键作用的5个点是兀3兀（0,1）,（-,0）,（k1）,（可,0）,（2兀,1）.2.三角函数的图像与性质^'functionstipsy=sinxy=cosx在[0,2^]上k2-的图像x定义域(-8,+a)(-8,+a)值域（有界性）[-1,1][-1,1]最小正周期（周期性）2兀2兀奇偶性（对称性）奇函数偶函数单调增区间2k兀一—,2k兀+—_22_(keZ)[2kK一兀,2kK](keZ)单调减区间―兀—3兀2k兀+,2k兀+22(keZ)[2kK,2k兀+兀](keZ)对称轴方程x二k兀+=(keZ)2x=k兀(keZ)对称中心坐标(航,0)(keZ)fk兀+叟,0](keZ)I2丿最大值及对应自变量值x二2k兀+—时[sinx]=12maxx=2kn时[cosx]=1max最小值及对应自变量值x=2册+竺时[sinx]=-12minx=2k兀+兀时[cosx]=-1min

函数(冗)正切函数y=tanx,x丰k兀+—k2丿图像:yJLI11111-兀：""7O兀x定义域f兀］Jx1x丰k兀——,keZ〉12J值域(-«,+«)周期性T=兀奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性兀兀在(-—+比兀，牙+比兀),(keZ)上是单调增函数对称轴无对称中心/\丁,0(keZ)、2丿3.y=Asin(wx+申)与y=Acos(wx+申)(A>0,w>0)的图像与性质2兀最小正周期：T二.w定义域与值域：y二Asin(wx+9),y二Acos(wx+Q)的定义域为R值域为［-A,A］.(3)最值假设A>0,w>0.对于y=Asin(wx+9)，厂冗当wx+9=—+2k兀(keZ)时，函数取得最大值A;<2冗当wx+9=-—+2k兀(keZ)时，函数取得最小值-A;、2对于y=Acos(wx+9)，J当wx+9=2k兀(keZ)时，函数取得最大值A;［当wx+9=2k兀+兀(keZ)时，函数取得最小值-A;(4)对称轴与对称中心.假设A>0,w>0.①对于y=Asin(wx+9)，当wx+申=kK+一(keZ)，即sin(wx+申)020=±1时，y=sin(wx+申)的对称轴为x=x0当wx+申=k兀(keZ)，即sin(wx+申)=000时，y=sin(wx+申)的对称中心为(x,0).0②对于y=Acos(wx+p),当wx+申=k兀(keZ)，即cos(wx+申)=±100时，y=cos(wx+申)的对称轴为x=x<、兀0当wx+申=k兀+—(keZ)，即cos(wx+申)o2o=0时，y=cos(wx+申)的对称中心为(x,0).0正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位置.(5)单调性.假设A>0,w>0.①对于y=Asin(wx+9)，TOC\o"1-5"\h\z兀兀、、wx+9e[——+,—+](keZ)n增区间;<血y=sinx的图像所有点的横坐标变为原来的2血y=sinx的图像所有点的横坐标变为原来的2y=sin2x的图像向左平移6个单位>纵坐标不变兀3兀、、wx+9e[—+2k兀,——+2k兀](keZ)n减区间.j22②对于y=Acos(wx+9)，'wx+9e[—兀+2k兀,2k兀](keZ)n增区间；<wx+9e[2刼,2k兀+兀](keZ)n减区间(6)平移与伸缩兀由函数y=sinx的图像变换为函数y=2sin(2x+―)+3的图像的步骤；TOC\o"1-5"\h\z/兀兀、方法一：(xTx+-T2x+-)•先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们^想欺负”(相一期一幅)三角函数图像，使之变形H1y=sinx的图像向左平移3个单位>y=sin(x+-)的图像所有点的横坐标变为原来的23纵坐标不变y=sin(2x+)的图像一所有点的纵坐标变为原来的2倍、y=2sin(2x+)的图像3横坐标不变3―向上平移3个单位、y=2sin(2x+专)+3/兀兀、方法二：(xTx+-T2x+-).先周期变换，后相位变换，再振幅变换

y二sin2(x+—)二sin(2x+—)的图像一所有点的纵坐标变为原来的2倍、62横坐标不变——y=2sin(2x+亍)的图像一向上平移3各单位＞y=2sin(2x+丁)+3注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即“想欺负”)，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的,即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx+9”变化多少•例如，函数y二sin2x的图像向右平TOC\o"1-5"\h\z————移7个单位，得到的图像表达式是y二sin2(x-)二sin(2x-)，而不是y二sin(2x-)；再如，将636—图像y二sin(x+：)上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像表达式是6x1—y二sin(只x+)，而不是y二sin(x+).此点要引起同学们的的别注意.626题型归纳及思路提示思路提示一般将所给函数化为y二Asin(wx+9)或y二Acos(wz+9)，A>O.w>O，然后依据y二sinx,y二cosx的性质整体求解.题型1三角函数性质的应用一、函数的奇偶性例4.16函数y二sin(x+9)(0<9兀)是R上的偶函数，则9等于()——A.OB・C・D.兀42解析因为函数y二sin(x+9)是R上的偶函数，所以其图像关于y轴对称，有正弦函数的对称性知，当—x=0时，sin9=±1，又0<9<兀，所以9—故选C.评注由y=sinx是奇函数和y=cosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：若y=Asin(x+9)为奇函数，则9=k—(keZ)；—若y=Asin(x+9)为偶函数，则9=k—+—(keZ)；—若y=Acos(x+9)为奇函数，则9=k—+—(keZ)；2若y=Acos(x+9)为偶函数，则9=k—(keZ)；k—若y=Atan(x+9)为奇函数，则9=可伙eZ)，该函数不可能为偶函数.变式1已知aeR，函数f(x)=sinx-|a|(xeR)为奇函数，则a等于().A.0B.1CA.0B.1C.-1D.±1变式2设甲丘R，贝f申二0”是“f(x)二cos(x+申)(xeR)为偶函数”的().充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不比哟啊条件变式3设f(x)二sin(wx+申)，其中w>0，则f(x)是偶函数的充要条件是().A.f(0)二1B.f(0)二0C.f'(0)二1D.f'(0)二0兀例4.17设函数f(x)二sin(2x-—)(xeR)，则f(x)是().厶最小正周期为兀的奇函数最小正周期为兀的偶函数冗最小正周期为〒的奇函数2冗最小正周期为—的偶函数兀解析f(x)二sin(2x--)二-cos2x,所以是最小正周期为x的偶函数•故选B.1变式1若函数f(x)二sin2x--(xeR)，则f(x)是()厶偶函数且最小正周期为兀奇函数且最小正周期为兀偶函数且最小正周期为2兀奇函数且最小正周期为2兀兀变式2下列函数中，既是(0,-)上的增函数，又是以兀为周期的偶函数的是()A.y二cos2xb.y=|sin2x|c.y=|cosx|d.y=|sinx|二、函数的周期性例4.18函数y=sin(2x+：)cos(2x+：)的最小正周期为(66冗A.—2C.2冗A.—2C.2兀解析评注B.-4兀兀1兀函数y=sin(2x+)cos(2x+)=sin(4x+)，T6623关于三角函数周期的几个重要结论：2兀兀=■4=-•故选A1)函数1)函数yf2兀=Asin(wx+Q)+b,y=Acos(wx+Q)+b,y=Atan(wx+Q)+b的周期分别为T=——，wl(2)(2)函数y(3)函数y=|Asin(wx+申)|,y=|Acos(wx+申)|,y=|Atan(wx+申)|的周期均为T=—w2兀=|Asin(wx+9)+b|(b主0),y=|Acos(wx+屮)+b|(b主0)的周期均T=——w

兀兀变式1函数y二sm(2x+)cos(2x+)的最小正周期和最大值分别为()63A.兀,1B.兀，弋2C.2兀,1D.2兀，蓄2变式2已知函数f(x)二sinx(sinx一cosx)(xeR)，则f(x)的最小正周期为变式3设函数f(x)=sin3x+|sin3x|，则f(x)为()A.B.C.D.A.B.C.D.二、兀周期函数，最小正周期为y2兀周期函数，最小正周期为号周期函数，最小正周期为2兀非周期函数函数的单调性兀例4.19函数y=2sin(一2x)(xe[0,兀])为增函数的区间是()6兀兀7兀兀5兀TOC\o"1-5"\h\zA.[0，Tb.[,]C.[,]121236兀兀解析因为y=2sin(—2x)=-2sin(2x—)，66兀所以y=2sin(：-2x)的递增区间实际上是6兀y=2sm(2x—)的递减区间.6TOC\o"1-5"\h\z兀兀3兀令2k兀+<2x一<2kx+(keZ)，62兀5兀解得k兀+<x<k兀+(keZ).36兀5兀令k=0，得百<x<，又因为xe[0,兀]，36兀5兀兀兀5兀所以丁<x<.即函数y=2sin(一2x)(xe[0,兀])的增区间为[—,].故选CTOC\o"1-5"\h\z6636评注三角函数的单调性，需将函数y=Asin(wx+p)看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.如函数y=Asin(wx+申)(A>0,w>0)的单调区间的确定基本思想是吧wx+9看做是一个整体，如由兀兀2k兀-—<wx+9<2kx+—(keZ)解出x的范围，所得区间即为增区间；由厶厶兀3兀2k兀+—<wx+9<2kx+——(keZ)解出x的范围，所得区间即为减区间若函数y=Asin(wx+9)中22A>0,w>0，可用诱导公式将函数变为y=—Asin(—wx—9)，则y=Asin(—wx—9)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间•如y=血吟一x)=-sin(x—4)，令

兀兀兀兀3兀兀3兀2k兀一<x—<2k兀+,即2k兀一<x<2k兀+(k&Z),可得［2k兀一—,2k兀+］(k&Z)424444为原函数的减区间.对于函数y=Acos(wx+Q),y=Atan(wx+Q)的单调性的讨论与以上类似处理即可.兀3兀变式1若函数y二sinx+f(x)在［—才，丁］内单调递增，则f(x)可以是().A.1B.cosxC.sinxD.—cosxTOC\o"1-5"\h\z兀兀变式2已知w>0，函数f(x)二sin(wx+)在(〒,兀)上单调递减，则w的取值范围是(425131A・U，TB・U，TC.(O，TD.(0,2］4242变式3已知函数变式3已知函数f(x)=<3sinwx+cos(wx++cos(wx一专),xGR,(w>0).nA.x二——6解析解法一：已知y二sinx的对称轴方程是xnA.x二——6解析解法一：已知y二sinx的对称轴方程是x二kn+—(kgZ)nknn令2x+3n=kn+(kgZ)，得x=+(kgZ)，2212当k=0时，x二二，故选D.12nn一时，2x+=0.其正弦值为0；63nn2x+二：，其正弦值不等于1或-136n2n解法二，当x二n当x一D时’n当x=时，2x+—，其正弦值不等于1或-1633nnnn当x—12时'2x+——■—'这时sin——1.故选D评注1)关于三角函数对称的几个重要结论;兀sinx的对称轴为x二k兀+—(kgZ)，对称中心为(kn.0)(kgZ)；2函数y2)函数y兀cosx的对称轴为x二k兀(kgZ)，对称中心为(k兀+—,0)(kgZ)；23)函数yk兀tanx函数无对称轴，对称中心为(——,0)(kGZ);(1)求函数f(x)的值域;(2)若f(x)的最小正周期为—,x求f(x)的单调递减区间.四、函数的对称性(对称轴、对称中心)例4.30函数y二sin(2x+才)图像的对称轴方程可能是()nnnB.—C.x二D.x=-12612n

兀(4)求函数y=Asin(wx+申)+b(w丰0)的对称轴的方法；令wx+申=—+k兀(kgZ)，得2兀1+k兀一qk兀一qx——(kgZ)；对称中心的求取方法；令wx+Q—k兀(kgZ)，得x—，即对称中心w,w,/k兀—q八

为(，b).w兀7+—q2(5)求函数y—Acos(wx+q)+b(w丰0)的对称轴的方法；令wx+Q—k兀(kgZ)得x—兀1+k兀一q2即对称中心为(,b)(kgZ)兀变式1已知函数f(x)二sin(wx+y)(w>0)的最小正周期为兀，则该函数的图像().兀A兀A.关于点(—,0)对称兀C.关于点(丁，°)对称4兀B.关于直线x—对称4兀D.关于直线x—3对称变式2y二sin(x-)的图像的一个对称中心是()TOC\o"1-5"\h\z3兀3兀兀A.(—,0)B.(-,0)C.(,0)D.(,0)422x2x变式3y—cos—+sin丁的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是变式4将函数y=sinx-、；3cosx的图像沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图像关于y轴对称，则a的最小值是().D.—37兀兀兀D.—3A.B.C.—26五、三角函数性质的综合思路提示三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性.因为对称性n奇偶性(若函数图像关于坐标原点对称，则函数f(x)为奇函数；若函数图像关于y轴对称,则函数f(x)为偶函数);对称性n周期性(相邻的两条对称轴之间的距离是彳；相邻的对称中心之间的距离为彳；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为T)；对称性n单调性(在相邻的对称轴之间，函数f(x)单调，特殊的，若4f(x)—Asin(wx),A>0,w>0，函数f(x)在［0,0］上单调，且0g［0,0］，设0—max#|,0},则1212V2T深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系)

兀例4.21设f(x)=asin2x+bcos2x，其中a,beR,ab丰0,若f(x)<f(一)对一切xeR恒成立，则6C/7兀、c/兀、f(石7)<f(三)1050;②f(x)既不是奇函数也不是偶函数；兀2兀f(x)的单调递增区间是[k兀+：,k兀+](keZ)；63存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像不相交.以上结论正确的是(写出所有正确命题的序号)TOC\o"1-5"\h\zb兀分析函数f(x)二、a+b2sin(2x+9)，tan®二，其中一条对称轴为x二，函数的最小正周期a6T=兀，通过对称轴=对称中心(对称轴与零点相距T的奇数倍)通过对称轴=奇偶性(若函数f(x)为4兀T八、兀T奇函数，则等于丁的奇数倍；若函数f(x)为偶函数，则等于t的偶数倍)；通过对称性=单调性(在6464相邻的两条对称轴之间，f(x)单调递增或单调递减)•解析f解析f(x)二pa2+b2sin(2x+9)，其中tan9b兀兀=_,，(x<f(7))对一切xeR恒成立，知直线x——a66是f(x)的对称轴，又f(x)的最小正周期为兀.TOC\o"1-5"\h\z11兀兀3兀兀311ti对于①：f()—f(+)可看做x—，加了丁个周期所对应的函数值，所以f()—0.故①正12646412确f兀7兀兀兀一7兀、兀、对于②：函数y=|f(x)|周期T——，因为10———込，所以f(^0)—f(_5)，因此f(为<f中错误，故②不正确.兀TT对于③：因为丁既不是丁的奇倍数，也不是丁的偶倍数，所以函数f(x)的图像既不关于原点对称，也不644关于y轴对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故③正确兀2兀兀2兀对于④：依题意，函数f(x)相邻两条对称轴x=,x=，在区间[k^+—,比兀+](keZ)上函62363数f(x)单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确

对于⑤：因为f(x)=asin2x+bcos2x=Ja2+b2sin(2x+9)(其中tan申=—),所以af(x)|<\a2+—2,又a—丰0，所以|—<xa2+—2,因此经过点(a,—)的直线与函数f(x)的图像相交,⑤不正确，应填①③.兀例4.22设f(x)=4cos(wx-)sinwx-cos(2wx+兀)，其中w>06(l)求f(x)的值域;3兀兀(2)若y二f(x)在区间［-可,屮上为增函数，求w的最大值.解析(1)f(x)=4cos(wx一)sinwx+cos2wx6=4(coswxcos—+sinwxsin—)sinwx+cos2wx66=2J3sinwxcoswx+2sin2wx+cos2wx=*3sin2wx+1一cos2wx+cos2wx=、3sin2wx+1因为sin2wxe［-1,1］所以函数f(x)的值域为［1-“3,1+.3——(2)解法一：f(x)=3sin2wx+1，由y=f(x)在区间［—可，屮上为增函数，的——［-3w—,w兀］匸［-—,—］(w>0)则w的最大值为6则w的最大值为6.61—，得0<w<&wx<23——解法二：由f(x)=3sin2wx+1(w>0)在区间［-可，屮上为增函数，含原点的增区间的对称型可知3—3—T2—1函数f(x)在［—,］上也为增函数，故〒>3—，即T>6^，得厂>6兀，故0<w<7，则w的最2222w61大值为三6评注一般的，若f(x)(xeR)为奇函数，在［0,0］上为增函数，其中°<0<0，若令12120=max{|0|,0}}，则0<T，即可求出w的范围.1124—2—变式1已知函数f(x)=2sin(wx)，其中常数w>0，若y=f(x)在［-才，丁］上单调递增，求w的取值范围.变式2已知函数f(x)=2sin(wx)(w>0)，f()=f()在［-,：］上的虽小值为-2，则w的最小值6334为.

兀兀兀兀兀例4.23若/(x)—sin(wx+)(w>0)，/()=/()且在(—,)上有最小值无最大值，贝［36363兀兀+—解析依题意，如图4-24所示，在x—6-1414得w—8k+—.取k—0，得w——.评注本题融汇了三角函数/(X)二Sin(wx+9)的最值(对称轴)、周期性、单调性之间的相互关系与转化题型2根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.思路提示已知函数图像求函数Y—Asin(wx+9)(A>0,w>0)的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定w，由适合解析式点的坐标确定9，但有图像求得的Y—Asin(wx+9)(A>0,w>0)的解析式一般不唯一，只有限定9的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数A,w,9，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”(及图像小兀上升时与X轴的交点)为WX+9—0；“第二点”(即图像曲线的最高点)为WX+9—-；“第三点”(及厶3兀图像下降时与轴的交点)，为wx+9—兀；“第四点”(及图像曲线的最低点)为wx+9-可；“第五点”(及图像上升时与X轴的交点)为WX+9—2兀.例4.24函数/(x)—A(sin2x+9)(A,9gR)的部分图像如图4-25所示,B.-1DB.-1D.—3A.-2分析对于Y—Asin(wx+9)的解析式的确定，通过最值确定A,周期T确定w，特征点(尤其是极值点)来确定9；对于零点要分析向上零点还是向下零点.TOC\o"1-5"\h\z2兀兀兀解析解法一：依题意A—2,+9—2k兀+乂,kgZ得9—2k兀-kgZ，26..兀所以/(0)—2sin9—2sin(2k兀-：)—-1，故选B6T兀解法二：由函数/(x)—A(sin2x+9)，得T—兀，则相邻的零点与对称轴之间的距离为丁—〒，因此图44兀兀兀兀中向上的零点是x0—，则满足/()—Asin(2x+9)—0所以9—2k^——,kg乙故01212126

f(0)=2sin申=2sin(2k兀—一)=_1，故选B6评注对于三角函数问题中的“知图求式”(及其性质)，应重点关注以下方面周期(可推出w的值域范围)振幅(可推出A(A>0))特征点(可形成三角方程，以求*的值)对于本题代入零点(x,0)，(x为上零点)，贝y满足Asin(wx+9)二0，所以000・・・兀*=2k兀—wx,kgZ,f(0)=Asinq=Asin(—wx)=—Asin(wx)二—2sin(2x)=—1，对于正弦型00012函数f(x)二Asin(wx+9)(w>0,R)，若已知上零点x，则f(0)=—Asin(wx).同理，若已知下零00点x；，则f(0)二Asin(wx0).变式一f(0)二函数f(x)二Asin(wx+9)(A,w,9是常数,A>0,w>0)的部分图像如图变式一f(0)二23则23则f(0)二(例4.25已知函数y=Asin(wx+*)(A>0,w>0,*\<兀)的部分图像如图4-28所示，求函数f(x)的解析式.分析有最小值为-2确定A,由周期确定w，但本题的周期兀T3T7、不易求解，我们可抓住不">~,，且二->不~，建立周期122412T的不等关系，从而得到w的取值范围，在建立w的等量关系(根据零点)，最终建立求得w，而9的确定可通过特征点(0,1)得到.1解析有图知A=2，将点(0,1)，代入y二Asin(wx+9)中，得1二2sin9，即sin9二-，又一兀<9<兀，厶TOC\o"1-5"\h\z兀T7兀3T7T7兀2兀且(0,1)点在函数的单调增区间上，故9=：，又丁<<，得片<T<，又因为T二——，6212496w7T2兀7兀1218/7兀小、7兀得百<<，故片<w<，又点(—,0)在函数图像上，且-百为函数f(x)的下零点，所9w67712127兀兀,24,107“12241018,以——+—2k兀+兀,kgZ，解得w=—k—,kgZ，因此—<—k—<，得126777777

11-<k<-，又kgZ，因此k=一1，此时w=2.612所以f(x)=2sin(2x+).6变式一已知f(X)=C0S2(wx+Q)(w,Q为常数)/r