上海中学自主招生数学试题带答案

word.word.2014年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷一、填空题(8X9=72)111

+—=—

ba+b111.已知aba+—=则一、填空题(8X9=72)111

+—=—

ba+b111.已知aba+—=则ab

4变式】+—=—

aba+b已知：变式】已知：11aba+bba+—=则abba则ab变式】已知：114+a2ba2+b，则变式】已知：丄+1=」b+田=\ab*a+b则7ab2•有个实数x，可以使得J】20-低为整数.【变式】x为1,2,3,……，2014，使得J】00-長为有理数的x有【变式】x为1,2,3,……，2014，使得伍为有理数的x有个.【变式】有个整数x，可以使得J12°-2低为整数.个.3.如图，在AABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含ZA的式子表示ZEDF，应为ZEDF=.D【变式】如图，在等腰直角AABC中，ZA=900,AB=AC，CD=BF，BD=CE，则ZEDF=.D【变式】如图，在等腰直角AABC中，ZA=900,AB=AC=1,D、E、F分别是边

BC、CA、AB上的点，且CD=BF，BD=CE，则SADEF面积最大值为.y=x2+mx一m2(m>0)4.在在直角坐标系中，抛物线4与x轴交于A、B两点，若A、B两点112到原点的距离分别为OA、OB，且满足OBOA3，则m=.5•定圆A的半径为72,动圆B的半径为r，丫V72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一周,若动圆B开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则r共有个可能的值.6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有人.7•对于各数互不相等的正整数组("1'"2''(n是不小于2的正整数)，如果在iVj时有/\"i>"j，则称《与"j是该数组的一个“逆序”，例如数组，2,3丄4丿中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”,“3,1”，其逆序数为4,现若各数互不相同的正整数组("1’""3"5,»)的逆序数为2,则

a丿a1的逆序数为(a,a,a,a,a,a丿a1的逆序数为6543211n10<<-8.若n为正整数，则使得关于x的不等式21x+n19有唯一整数解的n的最大值为.11n10<<-【变式】若“为正整数，则使得关于兀的不等式21x+n19有唯一整数解的n的最小值为二、选择题(4X10=40)9.已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a的个数为()A.3个B.4个C.6个D.8个10.如图，D、E分别为AABC的底边所在直线上的两点，DB二EC，过A作直线1，作DM//BA交1于M，作EN//CA交1于N，设AABM面积为S1，AACN面积为S2，则()11.设P1，P11.设P1，P2,q1，q2为实数,若方程，甲：P1P=2(q+q)12x2+px+q=011122232a=+++10072+,b1222=+--32+10072+12.设13520133572015，则以下四个选项中最接近a-b的整数为()A.252B.504•.C.1007D.2013••・=x2+px+q=0m/、乙：22，则()A.甲必有实根，乙也必有实根C.甲、乙至少有一个有实根B.甲没有实根，乙也没有实根D.甲、乙是否总有一个有实根不能确定三、解答题(38分，13题18分，14题20分)13.直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜边AC(BD位于AC的两侧)，M、N分别是AC、BD的中点，且M、N不重合，线段MN与BD是否垂直？证明你的结论.若上BAC=300，ZCAD=45。,AC=4，求MN的长.14.是否存在m个不全相等的正数ai，a2，，am(m-7)，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值，若不存在，说明理由.a+b=1n(a+b)2答案：1aba+b'ab二1,baa2+b2+—=abab(a+b)2-2ab(a+b)2ab-2=1-2=-1ab事实上，这道题是一道错题：a+b1nla+

a+b'ab件就错了，同样结果也错了，-1ZA2.11,3.AEDF=90°2ab+(a+b)2>4ab，已知条4.2,5.11,6.44,7.13.8.220,9．C10.B,11C.12.B.13.(1)MN丄BD(2)a=x，14.【解析】设1一个周期为6的数列，=y，=1=——,x=——,y显然是(1)当m三0(mod6)(2)(3)(4)(5)a1

am=a2=a1・am・am-1xx=y•-yx1—=x•—〔yyx>0Iasa1、a当m三1(mod6)ma1am当m三2(mod6)当m三3(mod6)当m三4(mod6)=a•a2m=a•a1m-1=a•a2m=a•a1m-1a=a•as1、ama1

am2m=a•a1m-1=a2=a1・am・am-1x=y•xxnx=y=1x=x•-y与不全相等矛盾；X=y