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第三节泰勒定理第三章微分中值定理及导数的应用一.泰勒定理二.几个常用函数的麦克劳林公式三.带有佩亚诺余项的泰勒公式四.泰勒公式的应用泰勒中值定理泰勒中值定理的产生：微分带皮亚诺余项的泰勒公式拉格朗日中值定理泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式还有带其它余项的

多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其它函数所不具备的优点。

用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。一般的函数不好处理先用较好处理的多项式近似替代，然后通过某种极限手续再过渡到一般的函数。“以直代曲”就是用一次多项式去近似给定函数一、泰勒定理问题的提出（如下图）不足:1、精确度不高；2、误差不能估计。问题:分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交泰勒(Taylor)定理证明:拉格朗日形式的余项注意:麦克劳林(Maclaurin)公式

e

的近似计算公式例二.几个常用函数的麦克劳林公式

解：其中,

展开式的具体形式与n

的奇偶性有关.例解：其中,例解：例解：例解：三.带有佩亚诺余项的泰勒公式

带皮亚诺余项的马克劳林公式

常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253++++-+-+-=nnnxonxxxxxL)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx+-++-+-=L)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+nnnxonxxxxxL)(1112nnxoxxxx+++++=+L)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx++--++-++=+LL因此，利用带有佩亚诺余项的泰勒公式可以求出某些函数的极限。则：例

利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限

解

由于分式的分母所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即解例：求极限四.泰勒公式的应用１、计算函数的近似值２、用多项式逼近函数４、证明某些不等式３、证明在某条件下的存在性

应用三阶泰勒公式求

sin18o的近似值，并估计误差。例：１、计算函数的近似值误差为：例２、用多项式逼近函数解：例设f(x)在[0，1]上二次可微证明证将f(x)在x=1处作一阶Taylor展开，有将x=0代入上式，得由３、证明在某条件下的存在性该式中等号成立.由泰勒(马克劳林)公式综上所述，即得所证.例４、证明某些不等式解：例解：例设f(x)在[0，1]

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