1半角模型和辅助圆

11半角模型和共圆模型在几何压轴题中的应用一、半角模型1.基本模型图E图①42图②如图迅.(2)OA^OB.如图②，连接阳.E图①42图②如图迅.(2)OA^OB.如图②，连接阳.将烧点□证敦至町得也0骷空△佻代"04的位孔雀樓F匚F£.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段的和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°；2.牛刀小试例题1如图，正方形ABCD中』ZjVAjV^45°*两边分别交线段CB、DC于点FVkN.⑴求证：BM+BN=MN;（2）作AH1MN于点比求证：AH=A8.例题2例题3如图。在四边形ABCD中，/B+ZADC=180n,AB=AD.E.F分别是边BC.CD延长线上的点，且ZEAF=g乙:BAD，求jU证：EF^BE-FD.例题4例题5cBAEAF=~ZBAD.已知】如图，在四边形ABCD中例题5cBAEAF=~ZBAD.已知】如图，在四边形ABCD中Y^D=l^Q}AB=AD,E.F分别是线段BC.CD上的点，且BE-FD^EFr求证：二、对接中考题型例题6已知：如图1在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D,E分别为线段BC上两动点,若^DAE=45°.探究线段BD.DE,EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把厶AEC绕点必顺时针龌转90S得到△ABE\连接ED使问题得到解决*请你参考小明的思路探究并解决下列问题：猜想BD,DEt£；C三条线段之间存在的数呈关系式，并对伽的猜想给予证明；⑵当动点总在线段BC±＞动点D运动在线段CE延长线上时」如图2,其它条件不娈，(1)中探究的结论是否发生改斐？请说明你的晴想并络予证明.例题7已知：等边△良召C中「点。是边AC.BC的垂直平分线的交点，M,N分别在直线4GBC上，目£MON=6F+(1)如图―当CM=CN时，M、N分别在边貝C>BC±时，请写出AM.CN、MN三者之间的数量关系；⑵如图N当CM^CNsN分别在边AC.BCk时，⑴中的结论是否仍然成立？若成立』请你加以证明；若不成立：请说明理由；(3)如图3,当点M在边AC±，点W在UO的延长红上时，请直接写出线段AM.CN.MN三者之间的数量关系。例题8如图1，将LEAF绕着四边形ABCD的顶点虫顺时针旋转，LEAF的两边分别与DC的延长线交于点F,与CE的延长线交于点E,连接EF.图1图2⑴若四边形ABCD为正方形.当乙EAF=45。时,EF与DF、石再之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）⑵如图2｝如果匹边形ABCD中［九8=AD,ZABC与ZADC互补，当AEAF=|ZB4P时，EF与DF.BE之间有怎样的数量关系p请写出它们之间的关系式并给予证明。⑶在（2｝中，若EG=4,DC二JCF=2,求△CEF的周长（直接写出结果即可）*例题922+(10分〉如图，点E为正方形ABCD的边AD的延较线上一点丫且DE兰呪,点P为边AB上一动点，点,V为线段PD的中点,点N为CE上一点,且BM乂站.问题发现如图1’当点P和点B重合时，线段BM与MN的位置关系是;拓展探究如图2*当点P和点/?不重合时，线段BM与MN的位置关系是否发生变化？请抿据图2证明你的结论；问题解决一如图3,当点户和点A重合时，若正方形ABCD的边长为4,请直接写出此吋四边形的面积.二、辅助圆模型1.基本模型：（1）.共端点，等线段模型2）.直角三角形共斜边模型2.牛刀小试如图1,丘是正方形ABCD的边AB±的一点，过点E件的垂线交LABC的外角乎分线于点F,求证：FE=DE.小韬同学是一位聪明好字而且有钻研精神的同学，他发现LDEF=£DBF二90IJf于是可以得到F.D.E四点共圆。0）请你帮小韬同学确罡该圆的直径为—.（2）请在图中作出该圆。小稲同学发现庞对两个圆周角ZDBE-ZDFE=：^,于是△DEF为等腰直角三角形，于是不用证全等就证明了FE=DE；⑶通过以上材料解决下列问题7^abc是等边三角形为边EC上—点4DE=60〔DE交乙4C£的外角平分线于点E,于是猜测AD—DE[＞呻=“或“U”），井证明你的结i也S23.对接中考例题1f1问麵提岀3.对接中考例题1f1问麵提岀(I｝如图①，在△ABC中.厶仁吃叭AAACf则厶诚的外接闘半径X的值为.问題探究(2)如图②£0的半径为13,524/!=24T.VJtAB的中点屮是00上一动点"求PM的最大值*问题解抉(3)如图③所示.AB\C,BC：是某新区的三条规划瓶托中.AH=6km,AC3k叫乙加O6CT,帀；所对的闘心角为601新区怦委会想在紀路边建物资总站点P,在AH.AC路边分別建物资分站点—八也就是+分别在就.线段月B和冉G上选取点pElir总站匸作人员每天都要将物资在各物资站点间按r4F-P的路径进行运输，因此，耍仁各物资站点之间现划道路PE.EF和为了快捷、环保和节约成本，要使得线段尸E上匚"之和最短■试求PE+EF+FP的最小值.(各物资姑点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)冈I)例题2问题背景：如图1,等腰△ABC中丁AB=AC,ZBAO120\作AD丄BC于点D,贝IJD^BC的中点，ZBAD二…pmBC2BD代ZBAC=60「于疋初二苕="；迁移应用：如图2,AABC和厶ADE都是等腰三角形了ZBAC=ZDAE^120\D,E,C三点在同一条直线上，连接BD求证：AADB^AAEC；请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式.拓展延伸：如图3,在菱形ABGD中』ZABC=120%在ZABC內作射线BM,作点C关予BM的对称点E,连接AE并延长BM于点厂连接CE,CF证明：ACEF是等边三角形；若AE=5,CE=2,求BF的长.例题322,(10分)如图+点扛为正方形ABCD的边的筑长线上l点，且DE=DC点P为边AB上一动点,点M为线段FD的中点『点/V为他上一点，且BM=^；V.问题发现如图I,当点P和点S重合时，线段BM与/r