一元二次方程(分知识点-详细-适合基础差的学生)

一元二次方程知识网络详解：考点1.一元二次方程的定义：形如ax2+bx+c二0（a丰°）的关于x的方程为一元二次方程．考点2.一元二次方程的解法：先尝试“因式分解法”；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法”I-b+\b2-4acx=—求根公式：1,22a考点3.一元二次方程的判别式：人二b2-4ac有两个不相等的实数根：人>°有两个相等的实数根：A=°无实数根：A<°有实数根：A-°考点4.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若An°时，设X1、x2为一元二次方程ax2+bx+c二°（a丰°）的两个实数根，那么：bcx+x=-x・x=12a，12a考点5.一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）【课前回顾】1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2-8x+7=°的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.B.3C.6D.<62、关于x的方程（m-1）x2+2mx+m=°有实数根，则m的取值范围是（）A.m>°且m丰1B.m>°C.m丰1D.m>13、关于x的一元二次方程（k-1）x2-4x-5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是_4、某工厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年的增长率是。5、解方程（1）（x+2）2-25=°（2）2x2-1°x=3

(3)((3)(x+3)2二(1-2x)2132(4)—x2一x+=0323经典例题讲解：考点一、概念例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A3（x+1）2=2（x+1）B—+--2=0x2xCax2+bx+c=0dx2+2x=x2+1变式：当k时，关于x的方程kx2+2x=x2+3是一元二次方程。TOC\o"1-5"\h\z例2、方程（m+2）x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。变式练习：1、方程8x2=7的一次项系数是，常数项。2、若方程（m-2）x\m-1=0是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。3、若方程（m-必2+•x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解例1、已知2y2+y—3的值为2,则4y2+2y+1的值为。例2、关于x的一元二次方程（a-2）x2+x+a2-4=0的一个根为0,则a的值为。例3、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为。例4、已知a,b是方程x2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。例1例1、2x（x一3）=5（x一3）的根为（）变式练习：1、已知方程X2+kx—10=0的一根是2,则k为，另一根是—x+12、已知关于x的方程x2+kx—2=0的一个解与方程=3的解相同。x—1⑴求k的值；⑵方程的另一个解。TOC\o"1-5"\h\z3、已知m是方程x2—x—1=0的一个根，则代数式m2—m=。4、已知a是x2—3x+1=0的根，则2a2—6a=。5、方程G-b)x2+(b一c)x+c一a=0的一个根为()A—1B1Cb—cD—a6、若2x+5y—3=0,贝卩4x•32y=。考点三、解法类型一、直接开方法：x2=>0),nx=土衬m※※对于(x+a)2=m,(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法例1、解方程：(1)2x2—8=0;(2)25—16x2=0；(3)(—x)2—9=0;例2、若9(x—1)2=16(x+2)2，则x的值为。变式练习：下列方程无解的是()A.x2+3=2x2—1b.(x—2)2=0C.2x+3=1—xd.x2+9=0类型二、因式分解法:G—x)(x一x)=0nx=x,或x=x11212※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”,※方程形式：如（※方程形式：如（ax+m）2=（bx+n(x+a)(+b)=(x+a)(+c)x2+2ax+a2=0525252'X2例2、若（4x+y）2+3（4x+y）一4—0，则4x+y的值为变式1：变式2：若C+y)2—x—y)+3—0，则x+y的值为TOC\o"1-5"\h\z变式3：若x2+xy+y—14,y2+xy+x—28，则x+y的值为。例3、方程x2+|x|—6—0的解为()A.x——3，x—2B.x—3，x——2C.x—3，x——3D.x—2，x——212121212变式练习：1、下列说法中：方程x2+px+q—0的二根为x,x，贝yx2+px+q—(x—x)(x—x)1212—x2+6x—8—(x—2)(x—4).a2—5ab+6b2—(a—2)(a—3)x2一y2—(x+y)G--；x+Yy)(、：x—斗y)方程（3x+1）2—7—0可变形为（3x+1+*7）（3x+1—、：7）—0正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、以1+i：7与1-\：7为根的一元二次方程是（）A．A．x2—2x—6—0B．x2—2x+6—0C．C．y2+2y—6—0D．y2+2y+6—03、（1）写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数：TOC\o"1-5"\h\z4、若实数x、y满足G+y一3）。+y）+2—0,则x+y的值为（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：x2+=2的解是。x2rn）（b）2b2—4ac类型三、配方法ax2+bx+c—OVa丰0丿nx+———类型三、配方法V2a丿4a2⑷⑷3x2-4x-1=0⑸3(x-1)3x+1)=G-1)2x+5)※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。例1、试用配方法说明X2-2x+3的值恒大于0。例2、已知x、y为实数，求代数式x2+y2+2x-4y+7的最小值。例3、已知x2+y2+4x-6y+13二0,x、y为实数，求xy的值。例4、分解因式：4x2+12兀+3变式练习：1、试用配方法说明—10x2+7x—4的值恒小于0。2、已知x2+丄-x---4=2、x2x，最小值为3、若t=2-\：-3x2+12x—9，则t的最大值为，最小值为类型四、公式法⑴条件：C丰0,且b2-4ac>0)⑵公式：x=-b土助2-4ac,(a丰0,且b2-4ac>0)2a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：(1)3(1+x上=6.(2)(x+3)C+6)=—8.(3)x2—4x+1=0例2、在实数范围内分解因式：(1)x2一2^2x-3；(2)一4x2+8x-1.⑶2x2-4xy-5y2考点四、根的判别式b2-4ac例1、若关于x的方程x2+2心kx-1二0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是例2、关于x的方程(m-1)x2+2mx+m=0有实数根，则m的取值范围是()A.m>0且m丰1b.m>0C.m丰1D.m>1例3、已知关于x的方程x2-(k+2+2k=0⑴求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰AABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求AABC的周长。例4、已知二次三项式9x2-(m+6)x+m-2是一个完全平方式，试求m的值.Ix2+2y2=6,例5、m为何值时，方程组彳有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?Imx+y=3.变式练习：1、当k时，关于x的二次三项式x2+kx+9是完全平方式。2、当k取何值时，多项式3x2-4x+2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程mx2-mx+2=0有两个不相等的实数根，则m的值.y=kx+2,4、k为何值时，方程组\|y2一4x一2y+1=0.1)有两组相等的实数解，并求此解；2）有两组不相等的实数解3）没有实数解.考点五、方程类问题中的“分类讨论”例1、关于x的方程（m+I）x2+2mx-3-0⑴有两个实数根，则m为,⑵只有一个根，则m为。例1、不解方程，判断关于x的方程x2-2（x-k）+k2=-3根的情况。例3、如果关于x的方程x2+kx+2=0及方程x2-x-2k=0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放1市场，根据计划，第一年投入资金600万兀，第二年比第一年减少3，第二年比第二年减1少2，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收1回，还要盈利3，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1,713沁3.61）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：(1)当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由。两个正方形的面积之和最小为多少？6、人、B两地间的路程为36千米•甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2-8x+7二0的两根，则这个直角三角形的斜边是()A.訂B.3C.6D.J6例2、已知关于x的方程k2x2+(2k-l)x+1二0有两个不相等的实数根x,x，12求k的取值范围；是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例4、已知a乂b，a2—2a—1=0，b2—2b—1=0，求a+b=ab变式：若a2—2a—1=0，b2—2b—1=0，则〒+—的值为。ba例5、已知a,卩是方程x2—x—1=0的两个根，那么a4+3P=.变式练习:1、解方程组〔x+y=3,5(2Ix2+y2=5(2)2.已知2.已知a2一7a=—4b2一7b=—4(a丰b)，3、已知x,x是方程x2一x一9=0的两实数根，求x3+7x2+3x一66的值。12122自检自测:1•钟老师出示了小黑板上的题目（如图1—2—2）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”.则你认为（）A.只有小敏回答正确B.只有小聪回答正确C.两人回答都正确D.两人回答都不正确图1-2-22•解一兀二次方程x2—x—12=0，结果正确的是（）A.x=—A.x=—4，x=3B.x=4，x=—31212C.x1=—4,D・x=4，x=3123•方程x（x+3）=（x+3）解是（）A．x1=1A．x1=1B．x=0，x=－312C．x=1，x=312D．x=1，x=－3124.若t是一元二次方程ax2+bx+c=O（aMO）的根，则判别式A=b2—4ac和完全平方式M=（2at+b）2的关系是（）a.a=mb.a>mC.AVMD.大小关系不能确定方程x2xT）=0的根是（）A.OB.1C.O，—1D.O，1已知一元二次方程x2—2x—7=0的两个根为x,x，则x+x的值为（）1212TOC\o"1-5"\h\zA.—2B.2C.—7D.711已知x、x是方程x2—3x+l=0的两个实数根，则一+—的值是（）12xx121A、3B、一3C、3D、18.用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y,那么原方程可变形为（）A、y2＋y—6=0B、y2—y—6=0C、y2—y＋6=0D、y2＋y＋6=09.方程x2—5x=0的根是（）A.0B.0，5C.5，5D.510•若关于x的方程x2+2x+k=0有实数根，则（）A.kV1,B.kWlC.kW—1D.k三一1如果一元二次方程x2—4x/r/