任意角的正弦、余弦、正切

任意角的三角函数课型：新授课课时：1课时教材分析本节课是三角函数这一章里非常重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。我们要借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，为后面的学习做好准备。在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。教学目标1、 知识与技能：掌握任意角的三角函数的定义；巳知角a终边上一点，会求角a的各三角函数值；记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。2、 过程与方法：理解并掌握任意角的三角函数的定义；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。3、 情感态度与价值观：使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。教学重难点重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一难点：任意角正弦、余弦、正切的定义教学过程一、复习引入

思考：我们巳经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？AZA对边匚sinA.cosA=-.tanA=结论：在RtAABC中，设A对边为/B对边为b,C对边为c,锐角AsinA.cosA=-.tanA=A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)余弦，正切依次为： ccb锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？如图，设锐角&的顶点与原点。重合，始边与X轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在Q的终边上任取一点PZ，它与原点的距离"Wo.过P作X轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为件线段MP的长度为》TOC\o"1-5"\h\zMPb 7sina=---=- *则 OPr； /P(a,b)OMacosaOPrMPbtcinct=-:OMa思考2：对于确定的角a,这三个比值是否会随点口在&的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？根据相似三角形的知识，对于确定的角©，三个比值不以点P在仪的终边上的位置的改变而改变大小. /我们可以将点P取在使线段的长厂二1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:

sin"叫OPsin"叫OPcosa= =atana= =—单位圆:在直角坐标系中，我们称以原点。为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.上述P点就是Q的终边与单位圆的交点，锐角Q的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.二、新课讲授任意角的三角函数的定义结合上述锐角Q的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然，我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图，设Q是一个任意角，它的终边与单位圆交于点？(儿刃，那么：y叫做◎的正弦，记做血叫即sina=y；%叫做Q的余弦，记做cos匕即cosa=x;⑶*叫做Q的正切，记做tanatancr=一(A”0)x思考3:在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？a=_+k兀(keZ)说明：(i)当2 时，&的终边在>‘轴上，终边上任意一点的横坐标xtan6Z=一都等于°，所以 ％无意义，除此情况外，对于确定的值上述三各值都是唯一确定的实数.当仪是锐角时，此定义与初中定义相同；当。不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点A”」)，从而就必然能够最终算出三角函数值.正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.

利用定义求角的三角函数值5龙例1・求亍的正弦，余弦和正切值.AAOB=-解：在直角坐标系中，作ZAOB的终边与单位圆的交点坐标为.5tt y/3 5/r1 5兀sin = .cos =-,Un-3 2 3 2 3氏735龙7兀氏73思考：如果将亍变为E呢？例2.巳知角Q的终边过点九（一玄7）,求角&的正弦，余弦和正切值.思考1：如何根据例题1解答思考2：一般的，设角〃终边上任意一点的坐标为（x,y），它与原点的距离为r,y x ysina=一,cosa=一，tan€z=一则厂厂 ％，你能自己给出证明吗？思考3：如果将题目中的坐标改为（-3/-4a），题目乂应该怎么做？三角函数的定义域和函数值符号探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制■y十十 一十■y十十 一十,0X 0X一+宜1吨jCECQ因3函数y=sinay=cosay=tana定义域RR{&|GH彳+SRGZ}例3,求证：当下列不等式组成立时，角〃为第三象限角，反之也对sinaV0tana>0证明：如果sinov°成立，那么角〃的终边可能位于第三或第四象限，也可能与丁轴的非负半轴重合;如果tano>°,所以角〃的终边可能位于第一或第三象限所以，角〃的终边只能位于第三象限，时第三象限角反过来，请同学们自己证明变式训练①判断下列各式的符号 1.sin340°-cos265°2.sin4-tan(-—)2 4②求函数y=陌7+成〃的定义域诱导公式一山三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，山此得至U一组公式 sin(a+k・2/r)=sinacos(d+k・2”)=cosatan(a+k・2兀)=tana利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0至IJ2兀的三角函数值例4•确定下列三角函数值的符号:(])cos250° ⑵ ⑶tan(-672°) ⑷tail3兀变式训练：求下列各式的值(1) + ' (2)sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°)