【百强校】湖南省长郡中学2020届高三下学期第二次适应性考试数学(理)试题含答案

112433112433A.-B.-C.—A.-B.-C.—D.5.已知（x+三+1）5的展开式的常数项为a,x则Ja-118(2x-1)dx=1长郡中学2020届高三适应性考试（二）

数学（理科）试卷本试题卷共8页，共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试建议用时120分钟.注意事项：答题前，考生可能需要输入信息.请务必正确输入所需的信息，如姓名、考生号等.选择题的作答：请直接在选择题页面内作答并提交.写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡，上对应的答题区域内或空白纸张上，按规定上传.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡，上指定的位置用笔涂黑，或者在空白纸张上注明所写题目，然后开始作答.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的.1.已知集合A二｛xGZIx>a｝，集合B二｛xwZ|2x<4｝,若AIB只有4个子集，则a的取值范围是（）（-2,-1]B.[-2,-1]C.[0,1]D.（0,1]2•已知复数卩+i）-3一项，能被3整除的概率是（，复数丁）—项，能被3整除的概率是（①z>z:②IzI>IzI；③复数z与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数z的虚部为0.121212其中真命题的个数为（）TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.3D.43•已知某一组散点数据对应的线性回归方程为y=-0.76x+a，数据中心点为（5,1），则x=7.5的预报值是（）A.0.9B.-0.9C.1D.-14.斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”•在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列｛a｝满足:na二a二1，a二a被以下递推的方法定义：数列｛a｝满足:n12n+2nn+1A.5B.6A.5B.6C.7D.96.已知a>b>0,ab=1,b1设x=，y=log(a+b)，z=a+：，则log2x，log2y，log2z的bxyz大小关系为（）A.log2xA.log2x>log2y>logxy2z

zB.log2y>log2z>log2xyzxC.log2xC.log2x>log2z>log2yxzyD.log2y>log2x>log2zyx）2朽DB.2\2）2朽DB.2\27.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（518•将函数f（x）=cosx的图象先向右平移；兀个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的一6o兀3兀（o>°）倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）（^，可）上没有零点，则o的取值范围是()B・(°，|]D.B・(°，|]D.(0,1]28C.(0才鷺,1]x2y29•已知FF2分别为椭圆-++=别是AB，AC的中点，CM=-AB，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（）的左、右焦点，M别是AB，AC的中点，CM=-AB，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（）垂线，垂足为N，若|ON1=2（0为坐标原点），则IOM1=（）乎C.运D.次11111111112111°.已知三棱柱ABC-ABC内接于一个半径为<3的球，四边形AACC与BBCC均为正方形，M,N分1111111

A.—1030B.IqA.—1030B.Iq-c.—10D.<70To-11.函数f(x)二(x2-3)ex，关于x的方程f2(x)-mf(x)+1二0恰有四个不同实数根，则实数加的取值范围为()6e36e3A.(0,2)B.(2,+8)C.(0,+)D.(+,+8)e36e36112•已知函数f(x)二ln(x+\：x2+1)满足对于任意xg匕，2]，存在xg匕，2]，使得1222lnxTOC\o"1-5"\h\zf(x2+2x+a)<f(2)成立，则实数a的取值范围为()11x2ln2ln25A.[-&+8)B.[-&一一2ln2]24(-8,昨-8]D.(-8,-5-2ln2]24二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.uuuruuuruuur已知向量AC=(1,sina-1)，BA=(3,1)，BD=(2,cosa)，若B,C,D三点共线，则tan(2019兀-a)二.'y<2已知实数x,y满足约束条件<x+y>1，若z二x+ty(t>0)的最大值为11，则实数t=.、y>2(x-2)若存在m，使得f(x)>m对任意xgD恒成立，贝y函数f(x)在D上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界；若存在M，使得f(x)<M对任意xgD恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界下列四个结论：①1不是函数f(x)(x>0)的一个下界；②函数f(x)=xlnx有下界，无上界；xTOC\o"1-5"\h\zexsinx③函数/(x)=号有上界，无下界；④函数f(x)=有界.x2x2+1其中所有正确结论的编号为.16•圆锥。的底面半径为2,其侧面展开图是圆心角为180。的扇形•圆锥的内接正四棱柱(底面为正方形的直棱柱)ABCD-A'B'C'D'的上底面的顶点A',B',C',D'均在圆锥Q的侧面上，棱柱下底面在圆锥。的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1已知数列｛a｝满足：a=1,aa+aa+L+aa=一n(n+1)(n+2).n11223nn+13求数列｛a｝的通项公式；n111求证：++L+<1.aaaaaa1223nn+1已知抛物线C:X2=2py(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为l的直线与抛物线相交于M,N两点•设uuuuruuur直线l是抛物线C的切线，且直线l//MN,P为l上一点，且PM-PN的最小值为-14.求抛物线C的方程；uuuruuur设A,B是抛物线C上，分别位于y轴两侧的两个动点，O为坐标原点，且OA-OB=-4.求证：直线AB必过定点，并求出该定点的坐标.四棱锥P-ABCD与直四棱柱ABCD-ABCD组合而成的几何体中，四边形ABCD是菱形，11111111AB=2，AA=、2，PO=、辽，ZDAB=60°，AC交BD于O，PO丄平面ABCD，M为AD111111111的中点.证明：ad丄平面AMB；11动点Q在线段AA上(包括端点)，若二面角P-BC-Q的余弦值为型雲，求AQ的长度.1129120.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称

为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P(o<p<1),某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X(0<X<a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者.(I)求一天内被感染人数为X的概率P(X)与a、p的关系式和X的数学期望；(II)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为E(n>2).n求数列｛e｝的通项公式，并证明数列｛e｝为等比数列；nn若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p'=In(1+p)-3p，当p取最大值时，计算此时P'所对应的E'值和此时p对应的E值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.(取a=10)66(结果保留整数，参考数据：In5沁1.6,ln3沁1.1,ln2沁0.7)21.已知函数f(x)二e2x-a，g(x)二ex-b，且f(x)与g(x)的图象有一个斜率为1的公切线(e为自然对数的底数).⑴求b—a；ln21(II)设函数h(x)二f(x)二g(x)-mx+牛--，讨论函数h(x)的零点个数.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分•作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程丨迈tTOC\o"1-5"\h\zx=1一t在平面直角坐标系xOy在平面直角坐标系xOy中，曲线q的参数方程为<L(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正2y=1+t2兀5兀3兀半轴为极轴建立极坐标系，已知点A,B,C的极坐标分别为(4,：),(4,),(4,)，且AABC的顶点都在662圆C2上，将圆C2向右平移3个单位长度后，得到曲线C3.求曲线C的直角坐标方程；3设M(1,1)，曲线C1与C相交于P,Q两点，求|MP|-|MQ的值.23.已知函数f(x)=|3x-1|+|x-2|.(I)求不等式f(X)>3的解集；(H)若m>l，n>1，对七eR，不等式3log2mlog2n>為恒成立’求mn的最小值.长郡中学2020届高三适应性考试（二）

数学（理科）试卷参考答案13.—13.—2；14.4；15.②④；16.64朽27一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案DCBABBCADBDC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.117.解(I)由aa+aa+L+aa=—n(n+1)(n+2)(*)得：1223nn+131aa+aa+L+aa二一n(n一1)n(n+1)(*),1223n—1n3两式相减得：aa二n(n+1)(n>2).nn+1当n当n=1时,皆2满足此式,故对ngN*，有aa=n(n+1),nn+1aa化为F=1.nn+1a令b=f，则b=1，TOC\o"1-5"\h\znn1且bb=1与bb=1相减得：nn+1n—1nb(b一b)=0,b丰0，nn+1n—1n故b=bn+1n一1即b=b=L=b=1，2k一12k一31故n为奇数时，b=1na=n.nn又b=1，2故b=b=L=b=1，2k2k一22故n为偶数时，b=1na=n,nn111111++L+=++L+aa12aa23aalx2nn+12x3nx(n+1)II)二1-1+1-1+L+1一丄223nn+118.解：依题意，直线MN的方程为y二x+彳.将直线MN的方程代入x2二2py中,得x2-2px-p2=0,因止匕x+x=2p,xx=-p2.1212设直线l和抛物线C相切于点T（t,字）,2p由题意和切线的几何意义知，曲线C在T处的切线斜率即导数为1,因此得t=p，・••切点T的坐标为(p,£)，2因此切线1的方程为y=x—2.厶设P(x,x—)，002uuuuruuurpp于是P^/•PN=(x—x,y—x+)•(x—x,y—x+)1010220202=(x—x,x—x+p)・(x—x,x—x+p)10102020=2x2—2x(x+x)+2xx+(x+x)p—2px+p2001212120xx=—p2代入其中，12将xxx=—p2代入其中，1212uuuuruuur可得PM・PN=2x2—6px+p2=2(x000uuuuruuur7当x=-p时，PM・PN取得最小值—-p2,0227由-p2=—14，可解得正数p值为2,因此所求的抛物线方程为X2=4y.(II)显然，直线AB的斜率一定存在,设AB的方程为y二kx+b，A(x,y),B(x,y)，TOC\o"1-5"\h\z3344uuuruuur则OA-OB=xx+yy=一4，3434故xx+(kx+b)(kx+b)=一4，3434也即(k2+1)xx+kb(x+x)+b2+4=0，①3434将y二kx+b代入抛物线C中,得x2一4kx一4b=0，故x+x=4k,xx=-4b.3434将它们代入到①中，得(k2+l)(—4b)+kb-4k+b2+4二0，解得b=2，因此直线AB恒过点(0,2).19.解：(I)矩形ADDA中，tanZDAA==\2tanZAMA=…=、：'2,1111J211ZDAA=ZAMA，111AM丄AD.11Q四边形ABCD是菱形，且ZDAB=60。,.AD=BD，AABD为正三角形.QM为AD的中点，.BM丄AD.・•・BM丄平面ADDA，11.BM丄AD，1QAMIBM=M，1.AD丄平面AMB.11uuuruuuruuur(】d以o为原点，OAi,OBi,OP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0‘2),B(0,1,—J2),C(r3,0,0)，1设Q3,o,九)，uuu一一uuu__uuu一则PC=(Y3,0,—J2),BC=(Cl八②,CQ=(2桁,0,九)，111ur平面PBC的一个法向量为m二(a,b,c)，1(Uuuum-PC=0-忑a-42c=0TOC\o"1-5"\h\z则彳uuuuUn彳，m-BC=0I-羽-b+V2c=0k1v取c二爲，则m=(r2,2、；6,\：3).r一__一同理求得平面BCQ的一个法向量为n二(九，-®-2岛,-2J3).1ur_・iur.Im-nI529••Icos<m,n>1=u―—n—ImIInI29In九(九一60J2)=In九(九一60J2)=029•J九2+(<3九+2同2+12由九e[-订2,0]，的九=0,故Q与A重合，AQ=0.1120.解：⑴由题意，X〜B(a,p)则P(X)=CXpX(1-p)a-X，aEX=ap.(ID(i)第n天被感染人数为(1+ap)n-1，

第n-1天被感染人数为（1+ap）n-2,有题目中均值的定义可知，E=(1+ap)n-1-(1+ap)n-2=ap(1+ap)n-2nE则一L=1+ap，且E=ap.E1n-1•{E}是以ap为首项，1+ap为公比的等比数列.n(ii)令f(P)=ln(1+p)-3p,则八p)—丄-2—也±!p+133(p+1)11•f(p)在(0,-)上单调递增，在(-,1)上单调递减.TOC\o"1-5"\h\z厶厶f(p)f(p)max—max—In-——ln3-ln2-沁1.1-0.7-0.3—0.1.333则当a—10,E—10p(1+10p)n-2nE，二10x0.1(1+10x0.1)4沁1.46.nE二10x0.5(1+10x0.5)4沁25.31.6QE>E'66•••戴口罩很有必要.ln2ln21,f(21•解：(I)f(x)—e2x=1nx—一°，f(一亍)—2一a•,f(ln211ln2/(x)在(一2込一a)处的切线方程为y一(—一a)—x+匚—,ln21艮卩y—x++——a.22g'(x)二ex二1nx二0,g(0)二1一b.g(X)在(0,1-b)处的切线方程为y-(1-b)二xny二x+1-b,TOC\o"1-5"\h\zln211ln2故+—-a—1—bnb—a——.2222ln21(II)h(x)—e2x-a-(ex-b)-mx+一一—e2x-ex-mx,22h(x)—2e2x-ex-m，令t=ex,则y=2t2-1-m,m>1时，2t2—t—m—0有两根，t,t且t<0<t,1212h'(x)—2(ex—t)(ex—t)—0,12得：x—lnt，2在(一^,lnt)上,h'(x)<0,2在(lnt,)上,h(x)>0,2此时，h(lnt)<h(0)—0.2又xT-g时，h(x)T+8,xT+8时，h(x)T+8.故在(-8,lnt)和(lnt,+8)上,22h(x)各有1个零点.m—1时，h'(x)—2(ex+2)(ex-1)h(x)最小值为h(0)—0，故h(x)仅有1个零点.0<m<1时，h'(x)—2(ex-1)(ex-1).12其中t<0<t，同m>1,12h(x)在(-8,lnt)与(lnt,+8)上,22h(x)各有1个零点，1——<m<0时,8m—0时，h(x)—e2x-1——<m<0时,8对方程2t2—t—m—0,A—1+8m>0.方程有两个正根t1，t2，h(x)-2(ex-t1)(ex-t2)-在(-8,lnt)上,h'(x)>0，在(lnt,lnt)上,h'(x)<0.112在(lnt,+8),h'(x)>0.21t+t=—1由<i22n0<t<-<tc1420<t<t12故lnt<0,h(lnt)<h(0)=0.22h(lnt)=12—t—mlnt—12—t—(2t2—t)lnt11111111—t[(t—1)+(1—2t)lnt]1111Qt—1<0,1—2t>0,lnt<0,111故h(lnt)<0.1故在2，lnt1)上，h(x)<h(lnt1)<0,在(lnt1，lnt2)上，h(x)<0,在(lnt2,+Q上,h(x)有1个零点：x-0.h，(x)—2e2x一ex一m>0恒成立,h(x)为增函数，h(x)仅有1个零点：x=0.综上，m<0或m—1时，h(x)有1个零点,0<m<1或m>1时，h(x)有2个零点