曾谨言量子力学第五版答案

曾谨言量子力学第五版答案【篇一：量子力学第四版卷一（曾谨言著）习题答案】量子力学的诞生1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。2p?2m[e?v（x）]v（）n?1,2,?,解：能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为x?a（1）其中a由下式决定：e?v（x）x?a?由此得a?1m?2a2。?a0ax22e/m?2， （2）x??a即为粒子运动的转折点。有量子化条件p?得a?2a2?nh代入（enx,y,z轴三个xxx即px?2a?nxh（2a：一来一回为一个周期）pxnxh/2a,同理可得，py?nyh/2b,pz?nzh/2c,nx,ny,nz?1,2,3,?粒子能量enxnynz1?2?2222?（px?py?pz）?2m2m222??nxnyn???2?z22??abc??nx,ny,nz?1,2,3,?1.3设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。提示：利用2?2p?d??nh,n?1,2,?,p?是平面转子的角动量。转子的能量e?p?/2i。解：平面转子的转角(角位移)记为？。它的角动量p??i?(广义动量)，p?是运动惯量。按量子化条件2?p?dx?2?p?mh,m1,2,3,因而平面转子的能量p??mh，2em?p?/2i?m2?2/2i，m?1,2,3,?有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,b,求粒子能量允许值，设圆半径是r,线速度是明用高斯制单bevc又利用量子化条件,令电荷角动量转角2?pdq??mrvd??2?mrv?nh(2)12be?nmv?22mc即mrv?nh(3)由(1)(2)求得电荷动能=再求运动电荷在磁场中的磁势能，按电磁学通电导体在磁场中的势能v磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*?r2*b=,v 是电荷的旋转频率,丫?,代入前式得2?rcccbe?n(符号是正的)2mcbe?n点电荷的总能量=动能+磁势能=e=(n?1,2,3)2mc运动电荷的磁势能=,1.6未找到答案1.7(1)试用fermat最小光程原理导出光的折射定律nsin??nsin?如认(2)光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难:为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理射定律如认0这将导得下述折nsin??nsin?1331媒质到另一种媒质e仍不变，仍有？e是粒子能量，从一种?pdl?0a到定点b的i?n设ai?n1122又ab沿界面的投影c也是常数，因而，?12存在约束条件：atg?1?btg?2?c(2)求(1)的变分，而将12看作能独立变化的，有以下极值条件in1asec1tg1d1n2bsec2tg2d20(3)再求(2)的变分asec22bsec1d12d2c0(3)与(4)消去d和d?1222得nsin??nsin?11⑸［乙法］见同一图，取x为变分参数,取0为原点，则有:i?n1a2?x2?n2b2?(c?x2)求此式变分，令之为零，有：？i?x?x1a?x22(c?x)?x2(cx)220这个式子从图中几何关系得知，就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度vg光程原理作？,依前题相速vpc2v,而vgc2cn,n是折射率,n是波前阵面更引起的,vp,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.ndl?0前一非难是将光子的传播速度v看作相速度vp的误解.1.8对高速运动的粒子(静质量m).计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组：q■Ih，本题中■Iq■IV,p?p,因而m2c4?c2p2?v??pc2pmc?cp2422从前式解出p(用v表示)即得到⑵.又若将⑵代入(3)，就可得到⑴式.其次求粒子速度v和它的物质波的群速度vg间的关系.运用德氏的假设:p??k于(3)式右方,又用e 于(3)式左方，遍除h:m2c422ck??(k)2按照波包理论，波包群速度g是角频率丢波数的一阶导数:vg?km2c422ck2c2kmc22ck224c2pmc?cp2最后一式按照（4）式等于粒子速度v,因而又按一般的波动理论,波的相速度g是由下式规定vpk（?是频率）利用（5）式得知m2c42??c?c（6）vp?2k2e?p补充：1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动,,x?0,x?av（x）??0,0?x?a?试用debroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。【篇二：《量子力学导论》习题答案（曾谨言版,北京大学）1】/p>??,x?0,x?a1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，v（x）??0,0?x?a?试用debroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有a?n?2（n?1,2,3,?）2a/n（1）又据debroglie关系p?h/?（2）而能量e?p2/2m??2/2m?2h2n2?2?2n22m?4a22ma2n1,2,3,设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有pxdxnxh,nx1,2,3,即px?2a?nxh（2a：一来一回为一个周期）pxnxh/2a,同理可得，py?nyh/2b,pz?nzh/2c,nx,ny,nz?1,2,3,?粒子能量enxnynz1?2?2222?(px?py?pz)?2m2mnx,ny,nz?1,2,3,?222??nxnynza2b2c2设质量为m的粒子在谐振子势v(x)?提示：利用p?dx?nh,1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。2p?2m[e?v(x)]v()n?1,2,?,解：能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为x?a(1)其中a由下式决定：e?v(x)x?a?由此得a?1m?2a2。?a0ax22e/m?2， (2)x??a即为粒子运动的转折点。有量子化条件p?dx?2?dx2ma2m?a2?得a?22ma2nhnh2?n(3)m??m?代入(2)，解出en?n??,n?1,2,3,?(4)ua2u22a?udu?a?u?arcsin?c22a22积分公式：2?设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。提示：利用2p?d??nh,n?1,2,?,p?是平面转子的角动量。转子的能量e?p?/2i。解：平面转子的转角（角位移）记为？。它的角动量p??i?（广义动量），p?是运动惯量。按量子化条件2?p?dx?2?p?mh,m1,2,3,因而平面转子的能量p??mh，2em?p?/2i?m2?2/2i，m?1,2,3,?第二章波函数与schr?dinger方程设质量为m的粒子在势场v（r?）中运动。（a）证明粒子的能量平均值为e??d3r??，22m?*v? （能量密度）（b）证明能量守恒公式?w?ts?0???2???*s?2m*tt??? （能流密度）？证：（a）粒子的能量平均值为（设？已归一化）2e?*2?2m??vd3r?t?v（1）v??d3r?*v?（势能平均值）（2）t??d3r?*22?2m（动能平均值）22md3r**其中t的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。？2t?2md3r*（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度22m?*v?, （4）且能量平均值e??d3r??。（b）由（4）式，得2■■■t2m?v???*v????t?t??■V■■■V■■■ ■tt2?.2m.*?.?.22*?.t?t???tt??v???*vt?t.2???.s???22?*?t???2m?2vt2mvs?e???.？？？・*t???t??因此s?e? （?:几率密度）ts （定态波函数，几率密度？不随时间改变）所以ws?0 。?t考虑单粒子的schr?dinger方程22?i??r,tr,t???v1?r??iv2?r????r,t? （1）?t2mv1与v2为实函数。（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积？内的几率随时间的变化为2V2d3***drds??????dt?2ims?3*dr?????证：（a）式（1）取复共轭，得*22*v1?iv2??* （2）?it2m* （1）-??（2），得*2*2i2?*?2i?*v2??t2m2**?2iv2?*?2m2v?*?*??????*??2??*?? （3）?t2im?2V2j0 ，即?t?此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积？积分，得23***33*dr?dr?drv2?t?2im2**3*ds?drv??2???2ims??上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积？的几率（j?ds），而第二项代表体积？中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。设？1和？2是schr?dinger方程的两个解，证明

d?*?3dr?r,t?r,t??0 。12dt?1??22证：?iv?1 (1)t?2m?2??22iv2 (2)t?2m?取(1)之复共轭：?i*1?t??22*2mv12 (3)??*1?(2),得i2*2*t122m2*11?2?2?对全空间积分：id3*2dtdr32**21?r,t??2?r,t?2mdr211223*2mdr21*122*1*12??2d3r*2m21*1222m?2112ds0 ,(无穷远边界面上，？1,?2?0)即ddtd3r*1r,.t??2r,t?0。)设一维自由粒子的初态？?x,0??eip0x/?，求？？x,t?。i??解：??x,t??e?pp2?，求？x,t?20x02mt/2.5，求？x,t?2提示：利用积分公式cos2d2d2sin?(3)【篇三：量子力学曾谨言第五版第三章讲课稿(知识点)】>1、一维运动问题的一般分析(generalanalysisfor1dproblems)一、一维定态薛定谔方程的解的一般性质(generalpropertiesofsolutionsofstationary1dschr?dingerequation)考虑质量为m的粒子在势场v(x)中运动，薛定谔方程为22d?(x)v(x) 是哈密顿量。式中h2mdx2对定态(即具有确定能量e的状态)，波函数表示为：(x)(x)e(x) 。其中？(x)满足一维定态薛定谔(或能量本征)方程：h定态薛定谔方程的解有如下的规律：(i)、共轭定理(conjugatetheorem)：若?(x)是定态薛定谔方程的解，对应的能量本征值为e,则?(x)也是该方程的解，且对应于同一能量e。(x)[ 证]由于v(x)?v(x)是实函数，则有h*(x)*(x)e*(x) ，即？(x)也是方程的解，且对应于同一能?(x)?(x)?e?(x)，则有h程：h量e。简并和非简并(degeneracyandnon-degeneracy)：若对一个给定的能量e，只存在一个线性独立的本征函数，则称该能级是非简并的；反之，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的独立本征函数的个数

49作者：张宏标(任课教师)版权作者所有，未经许可不得复制。)d2v(x)是实的。若?(x)满足能量本征方22mdx2称为它的简并度。(ii)、当v(x)为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。［证］分能级无简并和有简并两种情况来证明(1)、能级无简并情况：对应能级e，只有一个独立的本征波函数。设?(x)为能量值为e的本征波函数，能量本征方程：(x)*(x)e*(x) ，即？*(x)也是与e对应的本征波函数。取复共辄由v*(x)?v(x)，则h因能级无简并，有？(x)?c?(x)??(x)?c?(x)?c即？(x)可取为实函数。(2)、能级有简并情况：对应某一能级e，有两个或两个以上独立的本征波函数。设与能级e所对应的本征波函数为波函数集合？i(x)i?1,2,*取复共轭(x)?e?(x)hii*(x)?e?*(x)?i?1,2,取共轭，得hii征波函数。只要？1优)1?12(x)(x)e(x) ，h**2(x)cei ，可取？？0，,f ，能量本征方程为i1,255f,f?，则集合?i*(x)i?1,2,,f也是与e对应的本,f?中有一个波函数(例如?j)不是实函数，那么就可用实函数？?j??j?*或??i?j??j?或??i?j??j?来取代?j，=J:后总能组合成一组实函数。所以，当v(x)为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。x??x代表空间反射变换：p??(x)??(?x)做空间反射变换：，用算符p(x)(x)(x)?(x) 宇称本征方程：p可证?为实数。只有当？为实数时，该方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对50作者：张宏标(任课教师)版权作者所有，未经许可不得复制。应，而测量值总是实数。的本征值？。宇称(parity)：空间反射变换算符p宇称的可能取值：2(x)p2(x)?p(x)偶(正)宇称(evenparity)??(x)??(?x)??，即波函数?(x)满足?(?x)(x)，则称?p?(x) 奇(负)宇称(oddparity)(x)有正的(对"+”号)或负的(对“-”号)宇称。还有一些波函数没有确定的宇称,它们不是空间反射算符的本征态。宇称是态的重要量子力学性质，它具有“纯量子力学”的特征，在经典力学中没有对应物。(iii)、反射定理(reflectiontheorem)x)。若?(x)是能量本征设势能函数v(x)是关于原点对称(或空间反射不变性)，即v(x)?v(?方程属于能量本征值e的解，贝u?(?x)也是该方程同一能量本征值e的解。(x)(x)e(x)[ 证]设?(x)是与一个能级e对应的本征波函数，即h空间反射不变h?(?x)?h?(x),则做空间反射变换，因v(?x)?v(x),故h(x)(x)e(x)h所以，？(?x)也是属于能量值e的本征波函数。推论(corollary)：当v(x)具有空间反射不变性时，则(1)、对于无简并的能级，定态波函数必有确定的宇称。(2)、若能级有简并，则总能找到一组简并的定态波函数，其中每一个波函数都有确定的宇称。(x)?(x)1 ，即证明：(1)、能级无简并情况：因能级无简并，贝。?(?x)?c?(x)?p(x)具有确定的宇称。51作者：张宏标(任课教师)版权作者所有，未经许可不得复制。pp(x)p(x)(x)221?1??(x)(x)?2pp(x)p(x)(x)(2)、能级有简并情况：设集合？i(x)i?1,2,(x)?e?(x)hii(?x)?e?(?x) (i?1,2,空间反射得：hii波函数。只要??1优)？中有一个无确定宇称的波函数，例如?j(x),就可用有确定宇称的组合1(x)??(?x)?(x)??j(x)??j(?x)j(x)??j(?x)? 来取代，而,最后总能组合成jj?j2一组具有确定宇称的解。总之，若v(x)空间反射不变，则无简并的定态波函数必有确定的宇称。对于简并的能级，总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。［例］对于自由粒子，由于v(x)?0为实函数，且具有空间反射不变性。22ppxx［ 解］哈密顿量h的本征值e?是二度简并的，对应两个独立的定态波函数：2m2m它们不是实函数，也不具有确定的宇称。但总能组合成一组实的定态波函数ipx(x)?a?eeipxxx(x)ia?e(x)?(x) 。它们具有确定宇称p??除了波函数的自然条件外，有时还要用到波函数一阶导数？?(x)的连接条件。(iv)、①.在某处x?x0点，若v(x)连续或发生阶梯形跃变，则波函数的一阶导数??(x0)连续；②.在x?x0点处，若v(x)处间断且为无限大，贝U??(x0)不