选修4-4 坐标系与参数方程 2021年高中总复习优化设计一轮用书理数课件

选修4系列选修4系列选修4—4

坐标系与参数方程选修4—4坐标系与参数方程-3-知识梳理双基自测234165-3-知识梳理双基自测234165-4-知识梳理双基自测2341652.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个

O,叫做极点,自极点O引一条

Ox,叫做极轴;再选定一个

单位,一个

单位(通常取

)及其正方向(通常取

方向),这样就建立了一个极坐标系.

(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的

叫做点M的极径,记为

;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角

叫做点M的极角,记为

.有序数对

叫做点M的极坐标,记为

.

定点

射线

长度

角度

弧度

逆时针

距离|OM|

ρ

xOM

θ(ρ,θ)

M(ρ,θ)-4-知识梳理双基自测2341652.极坐标系与极坐标定点-5-知识梳理双基自测2341653.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).-5-知识梳理双基自测2341653.极坐标与直角坐标的互化-6-知识梳理双基自测2341654.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且与极轴所成的角为α,则直线的方程为:ρsin(θ-α)=

.

(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程①直线过极点:θ=θ0和

;

②直线过点M(a,0),且垂直于极轴:

;

ρ0sin(θ0-α)

θ=π+θ0

ρcosθ=aρsinθ=b-6-知识梳理双基自测2341654.直线的极坐标方程ρ0s-7-知识梳理双基自测2341655.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为

.

(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①圆心位于极点,半径为r:ρ=

;

②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=

;

ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+-r2=0

r2acosθ

2asinθ-7-知识梳理双基自测2341655.圆的极坐标方程ρ2-2-8-知识梳理双基自测234165参数方程

参数

y0+tsinα-8-知识梳理双基自测234165参数方程参数y0+ts-9-知识梳理双基自测234165a+rcosθ

b+rsinθ

acosθbsinθ

2pt2

2pt-9-知识梳理双基自测234165a+rcosθb+r2-10-知识梳理双基自测3415×

×

√√×

2-10-知识梳理双基自测3415××√√×-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答-12-知识梳理双基自测23415数),则点(1,0)到直线l的距离是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-12-知识梳理双基自测23415数),则点(1,0)到直线-13-知识梳理双基自测234154.在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-13-知识梳理双基自测234154.在极坐标系中,直线ρc-14-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭-14-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答-15-考点1考点2考点3考点4考点5考向一

直角坐标方程化为极坐标方程例1(2019宁夏一中二模)以直角坐标系原点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点且斜率大于零的直线.(1)求C1与C2的极坐标方程;(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O),C2与C3的一个公共点为-15-考点1考点2考点3考点4考点5考向一直角坐标方程化-16-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C1的极坐标方程为ρ=2cos

θ.-16-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)曲线C1的方-17-考点1考点2考点3考点4考点5-17-考点1考点2考点3考点4考点5-18-考点1考点2考点3考点4考点5考向二

极坐标方程化为直角坐标方程例2在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为

以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.思考如何把极坐标方程化为直角坐标方程?-18-考点1考点2考点3考点4考点5考向二极坐标方程化为-19-考点1考点2考点3考点4考点5-19-考点1考点2考点3考点4考点5-20-考点1考点2考点3考点4考点5-20-考点1考点2考点3考点4考点5-21-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcos

θ及y=ρsin

θ直接代入化简即可.2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcos

θ,ρsin

θ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.-21-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.直角坐标方对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为,半径为1.①求圆C1的极坐标方程;②设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.-22-考点1考点2考点3考点4考点5(2)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:

以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.①求圆O和直线l的直角坐标方程;②当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)-23-考点1考点2考点3考点4考点5-23-考点1考点2考点3考点4考点5-24-考点1考点2考点3考点4考点5-24-考点1考点2考点3考点4考点5-25-考点1考点2考点3考点4考点5(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.思考参数方程与普通方程的互化的基本方法是什么?-25-考点1考点2考点3考点4考点5(1)写出椭圆C的参数-26-考点1考点2考点3考点4考点5-26-考点1考点2考点3考点4考点5-27-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角θ有关的参数方程,经常用到公式sin2θ+cos2θ=1;在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.2.将普通方程化为参数方程时,只要适当选取参数t,确定x=f(t),再代入普通方程,求得y=g(t),即可化为参数方程

注意参数t的意义和取值范围.直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程,只需套用公式即可.-27-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.参数方程化-28-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练2在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

(其中t为参数).在以原点O为极点,以x轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)设M是曲线C上的一动点,OM的中点为P,求点P到直线l的距离的最小值.-28-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练2在平面直角坐-29-考点1考点2考点3考点4考点5

-29-考点1考点2考点3考点4考点5

-30-考点1考点2考点3考点4考点5例4(2019全国Ⅱ,理22)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.思考在极坐标系中,如何求两点之间的距离?-30-考点1考点2考点3考点4考点5例4(2019全国Ⅱ,-31-考点1考点2考点3考点4考点5-31-考点1考点2考点3考点4考点5-32-考点1考点2考点3考点4考点5(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos

θ=4cos

θ,即ρ=4cos

θ.因为P在线段OM上,且AP⊥OM,-32-考点1考点2考点3考点4考点5(2)设P(ρ,θ),-33-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.在极坐标系中求两点间的距离,可以结合极坐标系刻画点的位置、图形中点的对称等均可求得两点间的距离;也可以利用点的极坐标与直角坐标的互化公式,将点的极坐标转化为直角坐标,然后利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求A,B两点间的距离.2.在极坐标系中,经过极点的直线上两点A(ρ1,θ),B(ρ2,θ)的距离|AB|=|ρ2-ρ1|.-33-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.在极坐标系-34-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练3在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;-34-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练3在平面直角坐-35-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).

由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos

θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos

α,于是△OAB面积-35-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)设P的极坐标-36-考点1考点2考点3考点4考点5(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?-36-考点1考点2考点3考点4考点5(1)求α的取值范围;-37-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.-37-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)☉O的直角坐-38-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求直线与圆锥曲线相交所得的弦长,可以利用直线参数方程中t的几何意义,即弦长=|t1-t2|.-38-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求直线与圆锥曲-39-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练4已知直线l在平面直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)写出曲线C的直角坐标方程;(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.-39-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练4已知直线l在-40-考点1考点2考点3考点4考点5-40-考点1考点2考点3考点4考点5-41-考点1考点2考点3考点4考点5-41-考点1考点2考点3考点4考点5-42-考点1考点2考点3考点4考点5例6(2019广西桂林高三一模)在平面直角坐标系中,已知点A(10,0),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线M的参数方程为(α∈[0,π]为参数),曲线N的极坐标方程为ρ(1-cosθ)=2.(1)求曲线M的极坐标方程;(2)设曲线M与曲线N的交点为P,Q,求|OP|+|OQ|的值.思考求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路是什么?-42-考点1考点2考点3考点4考点5例6(2019广西桂林-43-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求解极坐标方程与参数方程综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.-43-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求解极坐标方程-44-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练5(2019宁夏石嘴山三中一模)在平面直角坐标系中,将曲线C1向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,C1的极坐标方程为ρ=4cosα.(1)求曲线C2的参数方程;(2)已知点M在第一象限,四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形,求内接矩形MNPQ周长的最大值,并求周长最大时点M的坐标.-44-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练5(2019宁-45-考点1考点2考点3考点4考点5-45-考点1考点2考点3考点4考点5-46-考点1考点2考点3考点4考点5(2)设四边形MNPQ的周长为l,-46-考点1考点2考点3考点4考点5(2)设四边形MNPQ选修4系列选修4系列选修4—4

坐标系与参数方程选修4—4坐标系与参数方程-49-知识梳理双基自测234165-3-知识梳理双基自测234165-50-知识梳理双基自测2341652.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个

O,叫做极点,自极点O引一条

Ox,叫做极轴;再选定一个

单位,一个

单位(通常取

)及其正方向(通常取

方向),这样就建立了一个极坐标系.

(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的

叫做点M的极径,记为

;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角

叫做点M的极角,记为

.有序数对

叫做点M的极坐标,记为

.

定点

射线

长度

角度

弧度

逆时针

距离|OM|

ρ

xOM

θ(ρ,θ)

M(ρ,θ)-4-知识梳理双基自测2341652.极坐标系与极坐标定点-51-知识梳理双基自测2341653.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).-5-知识梳理双基自测2341653.极坐标与直角坐标的互化-52-知识梳理双基自测2341654.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且与极轴所成的角为α,则直线的方程为:ρsin(θ-α)=

.

(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程①直线过极点:θ=θ0和

;

②直线过点M(a,0),且垂直于极轴:

;

ρ0sin(θ0-α)

θ=π+θ0

ρcosθ=aρsinθ=b-6-知识梳理双基自测2341654.直线的极坐标方程ρ0s-53-知识梳理双基自测2341655.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为

.

(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①圆心位于极点,半径为r:ρ=

;

②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=

;

ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+-r2=0

r2acosθ

2asinθ-7-知识梳理双基自测2341655.圆的极坐标方程ρ2-2-54-知识梳理双基自测234165参数方程

参数

y0+tsinα-8-知识梳理双基自测234165参数方程参数y0+ts-55-知识梳理双基自测234165a+rcosθ

b+rsinθ

acosθbsinθ

2pt2

2pt-9-知识梳理双基自测234165a+rcosθb+r2-56-知识梳理双基自测3415×

×

√√×

2-10-知识梳理双基自测3415××√√×-57-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答-58-知识梳理双基自测23415数),则点(1,0)到直线l的距离是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-12-知识梳理双基自测23415数),则点(1,0)到直线-59-知识梳理双基自测234154.在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-13-知识梳理双基自测234154.在极坐标系中,直线ρc-60-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭-14-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答-61-考点1考点2考点3考点4考点5考向一

直角坐标方程化为极坐标方程例1(2019宁夏一中二模)以直角坐标系原点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点且斜率大于零的直线.(1)求C1与C2的极坐标方程;(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O),C2与C3的一个公共点为-15-考点1考点2考点3考点4考点5考向一直角坐标方程化-62-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C1的极坐标方程为ρ=2cos

θ.-16-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)曲线C1的方-63-考点1考点2考点3考点4考点5-17-考点1考点2考点3考点4考点5-64-考点1考点2考点3考点4考点5考向二

极坐标方程化为直角坐标方程例2在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为

以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.思考如何把极坐标方程化为直角坐标方程?-18-考点1考点2考点3考点4考点5考向二极坐标方程化为-65-考点1考点2考点3考点4考点5-19-考点1考点2考点3考点4考点5-66-考点1考点2考点3考点4考点5-20-考点1考点2考点3考点4考点5-67-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcos

θ及y=ρsin

θ直接代入化简即可.2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcos

θ,ρsin

θ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.-21-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.直角坐标方对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为,半径为1.①求圆C1的极坐标方程;②设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.-68-考点1考点2考点3考点4考点5(2)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:

以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.①求圆O和直线l的直角坐标方程;②当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)-69-考点1考点2考点3考点4考点5-23-考点1考点2考点3考点4考点5-70-考点1考点2考点3考点4考点5-24-考点1考点2考点3考点4考点5-71-考点1考点2考点3考点4考点5(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.思考参数方程与普通方程的互化的基本方法是什么?-25-考点1考点2考点3考点4考点5(1)写出椭圆C的参数-72-考点1考点2考点3考点4考点5-26-考点1考点2考点3考点4考点5-73-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角θ有关的参数方程,经常用到公式sin2θ+cos2θ=1;在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.2.将普通方程化为参数方程时,只要适当选取参数t,确定x=f(t),再代入普通方程,求得y=g(t),即可化为参数方程

注意参数t的意义和取值范围.直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程,只需套用公式即可.-27-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.参数方程化-74-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练2在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

(其中t为参数).在以原点O为极点,以x轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)设M是曲线C上的一动点,OM的中点为P,求点P到直线l的距离的最小值.-28-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练2在平面直角坐-75-考点1考点2考点3考点4考点5

-29-考点1考点2考点3考点4考点5

-76-考点1考点2考点3考点4考点5例4(2019全国Ⅱ,理22)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.思考在极坐标系中,如何求两点之间的距离?-30-考点1考点2考点3考点4考点5例4(2019全国Ⅱ,-77-考点1考点2考点3考点4考点5-31-考点1考点2考点3考点4考点5-78-考点1考点2考点3考点4考点5(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos

θ=4cos

θ,即ρ=4cos

θ.因为P在线段OM上,且AP⊥OM,-32-考点1考点2考点3考点4考点5(2)设P(ρ,θ),-79-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.在极坐标系中求两点间的距离,可以结合极坐标系刻画点的位置、图形中点的对称等均可求得两点间的距离;也可以利用点的极坐标与直角坐标的互化公式,将点的极坐标转化为直角坐标,然后利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求A,B两点间的距离.2.在极坐标系中,经过极点的直线上两点A(ρ1,θ),B(ρ2,θ)的距离|AB|=|ρ2-ρ1|.-33-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.在极坐标系-80-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练3在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;-34-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练3在平面直角坐-81-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).

由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos

θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos

α,于是△OAB面积-35-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)设P的极坐标-82-考点1考点2考点3考点4考点5(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?-36-考点1考点2考点3考点4考点5(1)求α的取值范围;-83-考点1考点2考点3考点4考点5解:(1)☉O的直角坐标方程为