2022年秋高中数学第六章导数及其应用本章总结提升课件新人教B版选择性必修第三册

本章总结提升第五章专题一导数的几何意义【例1】

已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解

(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即13x-y-32=0.规律方法

导数的几何意义的解题策略(1)利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.(2)围绕着切点有三个等量关系:切点(x0,y0),则k=f'(x0),y0=f(x0),(x0,y0)满足切线方程.变式训练1直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点(2,3),则b=

.

答案

-15

解析

∵y=x3+ax+1过点(2,3),∴a=-3,∴y'=3x2-3,∴k=3×4-3=9,∴b=y-kx=3-9×2=-15.专题二函数的单调性与导数【例2】

若函数f(x)=2sinxcosx-4x-msinx在[0,2π]上单调递减,则实数m的取值范围为(

)A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-1,1) D.[-1,1]答案

B

解析

依题意,f(x)=2sin

xcos

x-4x-msin

x=sin

2x-4x-msin

x,所以f'(x)=2(2cos2x-1)-4-mcos

x=4cos2x-mcos

x-6≤0对任意x∈[0,2π]恒成立.设t=cos

x∈[-1,1],g(t)=4t2-mt-6,则g(t)≤0在[-1,1]上恒成立,解得-2≤m≤2.规律方法

利用导数求解参数范围的步骤(1)对含参数的函数f(x)求导,得到f'(x).(2)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则f'(x)≤0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围.(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f'(x)=0.若f'(x)=0恒成立,则函数f(x)在(a,b)上为常函数,舍去此参数值.变式训练2若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.解

f'(x)=x2-ax+a-1.令f'(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,不合题意.当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,a-1)上单调递减,在(a-1,+∞)上单调递增.所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.故a的取值范围是[5,7].专题三函数的极值、最值与导数【例3】

已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值.解

(1)因为f'(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f'(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2.所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.(2)由f(x)=x3-3x2+2,得f'(x)=3x2-6x.由f'(x)=0,得x=0或x=2.①当0<t≤2时,在区间(0,t)上,f'(x)<0,f(x)在[0,t]上是减函数,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.②当2<t<3时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x0(0,2)2(2,t)tf'(x)0-0+

f(x)2↘-2↗t3-3t2+2f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,所以f(x)max=f(0)=2.综上,当0<t≤2时,f(x)max=2,f(x)min=t3-3t2+2;当2<t<3时,f(x)max=2,f(x)min=-2.规律方法

利用导数求极值与最值的方法(1)求极值时一般需确定f'(x)=0的点和单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点.当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再进行判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得.变式训练3已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,若关于x的不等式f(x)≤-+b-1恒成立,求实数b的取值范围.当t∈(0,1)时,g'(t)>0,g(t)单调递增;当t∈(1,+∞)时,g'(t)<0,g(t)单调递减.所以g(t)的最大值为g(1)=-1,得b≥-1,所以实数b的取值范围是[-1,+∞).专题四生活中的优化问题【例4】

某超市销售某种商品,据统计,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,其中4≤x≤15)满足:当4≤x≤9时,y=a(x-9)2+(a,b为常数);当9≤x≤15时,y=-5x+85.已知当销售价格为6元/千克时,每日售出该商品170千克.(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;(2)若该商品的销售成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大.(2)由(1)知,当4≤x<9时,每日销售利润f(x)=[10(x-9)2+](x-3)=10(x-9)2(x-3)+240=10(x3-21x2+135x-243)+240,∴f'(x)=30(x-5)(x-9).当4≤x<5时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当5<x<9时,f'(x)<0,f(x)单调递减.∴x=5是函数f(x)在(4,9)上的唯一极大值点,∴f(x)max=f(5)=10×42×2+240=560.当9≤x≤15时,每日销售利润f(x)=(-5x+85)·(x-3)=-5(x-10)2+245,∴f(x)max=f(10)=245.∵560>245,∴销售价格为5元/千克时,每日利润最大.规律方法

解决优化问题的步骤(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.变式训练4如图,某小区内有两条相互垂直的道路l1与l2,平面直角坐标系的第一象限有块空地OAB,其边界OAB是函数y=f(