2022年秋高中数学第五章数列5.3等比数列5.3.2等比数列的前n项和课后习题新人教B版选择性必修第三册

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8.在等比数列{an}中,若前n项和Sn=2n-1,则a12+a22+9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意n∈N+,有2Sn=3an-2,则a1=;Sn=.

10.若数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,(Sn+1)(Sn+2+1)=(Sn+1+1)2.(1)求Sn;(2)记数列1an的前n项和为Tn,证明:1≤Tn<2.11.已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设数列{bn}是首项为2的等比数列,其公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.关键能力提升练12.设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,log2an+1=1+log2an,且a3=4,则S6的值为()A.128 B.65 C.64 D.6313.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则SnanA.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-114.等比数列{an}的项数为奇数,所有奇数项的和S奇=255,所有偶数项的和S偶=-126,末项是192,则首项a1的值为()A.1 B.2 C.3 D.415.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯10-2米时,乌龟爬行的总路程为()A.104-190C.105-19016.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10S5=1A.13 B.1C.23 D.17.(2022江西南昌十中模拟预测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=9,则S16的值为.

18.已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=abn,Tn=c1+c2+…+cn(n∈N+),则当Tn<2022时,n的最大值为19.设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.学科素养创新练20.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n,bn=log2(1-an).(1)求证:数列{an-1}是等比数列;(2)求数列1bnbn+1的前n项和(3)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Wn.

参考答案5.3.2等比数列的前n项和1.C设等比数列{an}的公比为q,则有q>0,又a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=12,∴q=1∴S6S3=a1(1-2.B设数列{an}的公比为q,则q=a2+∴a1+a4=a1+a1q3=9a1=2,∴a1=29,∴S6=29×故选B.3.B因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,所以am+1·am-1=2am=am2,则am=2.又T2m-1=a1a2…a2m-1=am2m-1,所以22m-1=512=294.D设等比数列{an}的公比为q,则q3=a4a1=1∴an=12∴anan+1=12∴数列{anan+1}是首项为12,公比为14∴a1a2+a2a3+…+anan+1=12(1-14n)1-14=2故k的取值范围是23,+∞.5.AC因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1,所以S1=2a1+1,因此a1=-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,故C正确;因此,a5=-1×24=-16,故A正确;又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.故选AC.6.D由题可得,S5=a31q2+1q+1+q+q2=a3q+1q2+q+1q-1,令t=q+1q,则t≥2,当且仅当q=1时,等号成立又q∈12,2,故t∈2,52,因此S5=a3t+122-54,即a3=m(t+12)

2-54,易知当t=52时,t+122-54有最大值314,所以a3的最小值为4m31,7.33∵S5=a1(1-25)1-2=31∴S10=a1(1-8.13(4n-1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=21-1=1满足上式∴数列{an}的通项公式为an=2n-1,∴an2=4n-1,即数列{an2}为以1∴Tn=a12+a22+…+9.23n-1令n=1,则2S1=3a1-2,得a1=2;由2Sn=3an-2,得①当n≥2时,2Sn-1=3an-1-2,②①-②得2an=3an-3an-1,即当n≥2时,an=3an-1,又a1=2,故数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列,∴an=2·3n-1,∴Sn=2(1-3n)10.(1)解由题意,有Sn+2+1Sn所以数列{Sn+1}是等比数列.又S1+1=a1+1=2,S2+1=a1+a2+1=4,所以S2+1S1+1=2,数列{Sn+1}是首项为所以Sn+1=2×2n-1=2n,所以Sn=2n-1.(2)证明由(1)知,当n≥2时,Sn=2n-1,Sn-1=2n-1-1.两式相减得an=2n-1,当n=1时,a1=1也满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.所以1a当n=1时,T1=1;当n≥2时,显然Tn>1,且Tn=1+12+122+…+12n所以1≤Tn<2.11.解(1)因为数列{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+…+(2n-1)=n(a1(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因为b1=2,数列{bn}是公比q=4的等比数列,所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.从而数列{bn}的前n项和Tn=b1(1-q12.D因为log2an+1=1+log2an,所以log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列{an}是公比为2的等比数列.又因为a3=4,所以a1=a32S6=1×(1-13.B设等比数列{an}的公比为q.∵a5-a3=12,a6-a4=24,∴a6-a又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,∴a1=1.∴an=a1qn-1=2n-1,Sn=a1(1-qn∴Snan=2n-12n-故选B.14.C设等比数列{an}共有2k+1(k∈N+)项,公比为q,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+…+a2k-1+a2k+1=1q(a2+a4+…+a2k)+a2k+1=1qS偶+a2k+1=-126q+192=255,解得q=-2,而S奇=a1-a2k+115.D由题意,乌龟每次爬行的距离组成等比数列{an},且a1=100,其公比q=110,an=10-2,∴其前n项和Sn=a故选D.16.D设等比数列{an}的公比为q,q≠0.若q=1,则an=a1,所以Sn=nan,所以S10S5=所以q≠1,an=a1qn-1.∵Sn=a1∴S10S5=a1(1-q10)1-qa故选D.17.45设等比数列{an}的公比为q.若q=-1,当n为偶数时,Sn=a1(1-qn)1-q由等比数列前n项和的性质可知,S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比数列,且公比为S8-S4S4=2,所以S12-S8=3×22=12,S16-S因此S16=S4+(S8-S4)+(S12-S8)+(S16-S12)=3+6+12+24=45.18.9∵数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n-1.∵数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2n-1.∴Tn=c1+c2+…+cn=ab1+ab2+…+abn=a1+a2+a4+…+a2n-1=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×4-1)+…+(2×2n-1-1)=2(1+2+4+…+2n-∵Tn<2022,∴2n+1-n-2<2022,解得n≤9.故当Tn<2022时,n的最大值是9.19.解(1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得a1+a1q=4,a所以{an}的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1,故Sn=n(由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.20.(1)证明当n=1时,a1=S1=2a1+1,可得a1=-1;当n≥2时,根据题意,/r