固体物理复习试题答案完整版

1111一•简答题1.晶格常数为a的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。(答案参考教材P7—8)a1=2(i+j-k)(1)体心立方基矢：a=a(-i+j+k)，体积：-a3，最近邻格点数：82^2 ^2a3=2(i-j+k)caz..、a=-(i+j)-2(2)面心立方基矢：a=a(j+k)，体积：-a3，最近邻格点数：12

22 4a=a(k+i)322.习题1.5、证明倒格子矢量G=hb+hb+hb垂直于密勒指数为(hhh)的晶11 22 33 123面系。aa aa因为CA=---t,CB—一taa aa因为CA=---t,CB—一thh hh1 3 2 3G=hb+hb+hb

11 22 33G利用a・b—2兀&，容易证明_h1h2h3—jij-gh1h2h3・CA=0所以，倒格子矢量G=h1bl+h2b2+h3bl垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。3.习题：6、对于简单立方晶格证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距d满足：d2=a2/(h2+k2+12):其中a为"立方边长;解：简单立方晶格：a±a±a,a=ai,a=aj,a=ak

12 3 1 2 3axa由倒格子基矢的定义：b=2冗一2———,1a・axa1 1解43-axab=2冗—3 1—2a・axa1J。 2-3axa

1 2—

a・axa1 2 32冗 2冗G=h^-i+k

a倒格子基矢：b=—i,b=—j1G=h^-i+k

a倒格子矢量：G=hb+kb+lb1 2 3晶面族（晶面族（hkl）的面间距：d=h)2+(k)+(L)2

aaa.习题1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。（1）、（111）面与（100）面的交线的AB,AB平移，A与O点重合，B点位矢:R=一aj+ak，B"（111）面与（100）面的交线的晶向AB=—aj+ak，晶向指数［011］。（2）、（111）面与（110）面的交线的AB，将AB平移，A与原点。重合，B点位矢:R=-ai+aj，（111）面与（110）面的交线的晶向AB=-ai+aj，晶向指数［110］。B.固体中基本结合类型有哪些？原子之间的排斥作用取决于什么原因？（1）基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式（2）相邻的原子靠得很近，以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时，相邻的原子间便产生巨大排斥力.也就是说，原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.（答案参考教材P49）.什么是声子？声子就是指格波的量子，它的能量等于但q。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动。晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可以湮灭。（答案参考教材P92） f.对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W-K示意图，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。(答案参考教材P95—97)上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。(2)当波矢q很小时，w与q的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发，因此称为声学波，而离子晶体中的频率为w的格波可以用光波来激发，而且晶体有的光学性质与这一支波有关，故称为光学波。.试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。导体：除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带；绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.(答案参考教材P250—254).请问德拜模型的基本假设是什么？基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是弹性介质，德拜也就是把晶格当做弹性介质来处理的。(答案参考教材P126—129).晶体由N个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式.一. 3V _N态密度：g(①)= 32,频率表达式：①—C[6兀2(—)]1/3m V2兀2C3答案参考教材P127—129.简述Bloch定理，该定理必须采取什么边界条件？(答案参考教材P154—157)(1)当势场具有晶格周期性时，波动方程的血具有如下性质:V(r+R)=eikR业(r),其中卜为一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：当平

移晶格矢量R时，波函数只增加了位相因子eiRn。n(2)边界条件： V(r)=V(r+N1a1)V(r)=V(r+Na)22V(r)=V(r+Na)33其中N,N,N为沿a,a,a方向的原胞数，总的原胞N=N•N•N。123 123 1 2 3二、证明or计算题.已知某晶体中相距为r的相邻原子的相互作用势能可表示为：U（r）=—%+9，其中a、B、巾％都是＞0的常数，求：rmrn平衡时两原子间的距离；平衡时结合能；思路参考教材P53—54解：（1）求平衡间距r0由竺9=0,有：drr=r0manB （ma）上m-n（nB）,1n-m——-——=0=r=-rrl=一rm+1rn+1 0（nB） \ma）0 0.结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）（2）求结合能亚（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即。min即：卬=-1U（r）=1（+巴-E_）（可代入r值，也可不代入）20 2rmrn 。002.已知N个质量为m,间距为a的相同原子组成的一维原子链，（1）推导其色散关系（2）试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。⑶试求出它的格波态密度函数g（3）,并作图表示。解：（1）m日-B（日-日）-B（日-日）-B（日+日-2日）n n+1 n n n-1 n+1 n-1 n设方程的解口-Ae设方程的解口-Aei[⑨-naq],代回方程中得到：32二竺［1-32二竺［1-cosaq］二4!sin2(2aq),(2)，截止频率范围以外的q值并不能提供其他不同的波，q的取值范围称为布里渊区。,、 3V(3)g(3)= 32，代入3即可得出。2兀2C3答案参考教材P82—87习题4-3.电子在周期场中的势能函数当na-b当na-b<x<na+b当61-1)a+b<x<na-b其中a=4b,3为常数，(1)画出此势能曲线，并求其平均值；⑵用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。解：(I)题设势能曲线如下图所示.q+kusq+kusf里：EmTEq—EU—s⑵势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以V(x)=-faV(x)dx=-fa-bV(x)dx题设a=4b故积分上限应为a-b=3b,但由于在［b,3b］区间内V(x)题设a=4b故只需在［-b,b］区间内积分.这时，n=0,故只需在［-b,b］区间内积分.这时，n=0,于是V=-JbV(X)dx=m3Jb(b2-x2)dx二吧a-b 2a-b 2a=-m3b2。6(3),势能在［-2b,2b］区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数V(x)=V+£Vcosm^-x,V=—J2bV(x)cosm^-xdx=-JbV(x)cosm^-xdx

0 m 2b m2b0 2b bo 2bm二-8第一个禁带宽度E=2V，以m=1代入上式E=g1m32Jb(b2-x2)cos巴dx

b0 2b利用积分公式Ju2cosmudu=—m2(musinmu+2cosmu)]——sinmu得m316m"b2第二个禁带宽度E=2V，以m=2代入上式代入上式g2 2E=吧Jb(b2-x2)cos巴dx再次利用积分公式有 =2m空b2g2 bo b 兀24-3用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s态原子能级对应的能带的£()函数。解：(1)如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：Es(左)=g-J-J J(R)e-ih(Rs)o0 sRs=近邻 _“在面心立方中，有12个最近邻，若取尺=0，则这12个最近邻的坐标是：m①2(1,1,0),2(1,1,0),2(口,0),2(1：1,0)②2(0,1,1),2(0,1,1),2(0,1,1),2(0,1,1)③a(1,0,1)a(1,0,1),ami),a皿-)乙 乙 乙 乙由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J(R)有相同S的值，简单表示为J尸J(R)。又由于s态波函数为偶宇称，即①(-r)=(p(r)1 s s

TOC\o"1-5"\h\z・••在近邻重叠积分-J(尺)=J(p*色-R)[U(^)-V(R)]cp中^,波中，波函数的s i sL s」i贡献为正Z.J1>0o J J」 二于是，把近邻格矢R代入Es(R)表达式得到：S SEs(k)=g-JEs(k)=g-Js0-JZ1Rs=■■e-汝RXJ二甘S-J0-J1eT2(忆ky)+e心&ky)+e丹-仁ky)+eT2(--kQ+e-iaky+Q+e-iaky-k)+e-号(-k「Q+e-if(-ky-kz)+e-i2(kx+kz)+e-akx~kz)+e-i2(-kx+'kz)+e-a-kx~kz)cos—(k+k)+cos—(k一k)+2xy2xy

——cos—(k+k)+cos—(k一k)2yz 2yz—+cos—(k+k)+cos(k-k)2zx zxJcos(a+P)+cos(a-0)=2cosacosP",ai.a7 "a7a7cos—kcos—k+cos—kcos—k+cos—kcos—k2x2y2y2z2z2x(2)对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是:—(1,1,1),—(1,1,1),—(1,1,1),—(1,1,1)乙 乙 乙 乙― ― ———— -(1,1,1),-(1,1,1,),-(1,1,1),-(1,1,1)乙 乙 乙 乙Es(k)=£---8J(cos—kcos—kcos-k)s0 1 2x2y2z习题5-1.晶格常数为a的一维晶体电子能量

h27 1E(k)= (——coska+_cos2ka)ma28 8试求：(1)能带宽度；⑵波矢为k的电子速度；(3)能带底部和顶部的电子有效质量……一,、 27 , 1 …解：(1)E(k)= (——coska+—cos2ka)ma28 871ma2[8—coska+8(2cos2kama22 [(coska—2)2—1]4ma2当ka=(2n+1)兀时，n=0,±1i±2… E(k):max当ka=2n兀时， E.(k)=0min(2)u1dE(k)dk/