(新)高中数学2-1-3超几何分布学案新人教B版选修2-3

看人生峰高处，唯有磨难多正果。看人生峰高处，唯有磨难多正果。152.1.3超几何分布［丨学习耳标导航——理解超几何分布及其推导过程.（重点、难点）能用超几何分布解决一些简单的实际问题.（难点）阶段1阶段1认知颅习质礙［基础•初探］教材整理超几何分布阅读教材P〜P例1以上部分，完成下列问题.4445设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件（nWN），这nCmCn－m件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P（X=m）=寸N（OWmWl,l为n和M中较小的一个），则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N,M，n的超几何分布.心微怀验。判断（正确的打“厂，错误的打“X”）（1）超几何分布的模型是不放回抽样•（"）（2）超几何分布的总体里可以有两类或三类特点.（X）（3）超几何分布中的参数是N,M，n.（V）（4）超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.（V）2•设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则CC表示（）C5105件产品中有3件次品的概率5件产品中有2件次品的概率5件产品中有2件正品的概率5件产品中至少有2件次品的概率【解析】根据超几何分布的定义可知C2表示从3件次品中任选2件，C：表示从7件正品中任选3件，故选B.【答案】B［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：合作探究通关［小组合作型］超几何分布概率公式的应用例从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率.【精彩点拨】摸出5个球得7分，即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可.【自主解答】设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布，其中N=25,M=10,n=5,由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P(X=2)C2C3=-^5.385,C525即恰好得7分的概率约为0.385.1.解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解.注意公式中M,N,n的含义.［再练一题］在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列.【解】X的可能取值是1,2,3.C—C23(=1)=C3=28；8C2・C115p(x=2)=〒=28；8C3•Co5P(X=3)=〒芯.8故X的分布列为X123P15282814III如姜超几何分布的分布列例袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.求得分X的分布列；求得分大于6分的概率.【精彩点拨】写出X的可能值一求出每个X对应的概率一写出分布列【自主解答】⑴从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红,共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.TOC\o"1-5"\h\zC1C34P(x=5)=百=嘉7C2C218P(X=6)=Z=C4357C3C112P(X=7)=-CP35C435P(X=8)=C4=丄(8)C435.7故所求分布列为X5678P41812丄3535353512⑵根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X〉6)=P(X=7)+P(X=8)=石+35=^-求超几何分布的分布列时，关键是明确随机变量确实服从超几何分布及随机变量的取值，分清其公式中M,N,n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列.［再练一题］2•在本例中，设*为取得红球的分数之和，兀为取得黑球的分数之和，X=|X厂XJ,求X的分布列.

解】从袋中任取4个球的情况为：红3黑，X=2,1红2黑，X解】从袋中任取4个球的情况为：红3黑，X=2,1红2黑，X=4,13红1黑，X=6,1X=3,X=l；2X=2，X=22X=1，X=524红，X=8，X=0，X=8.12C1C34P(X=1)=CCCC47C2C21835,P(X=2)=玄735'C3C112=43——C435C4，P(X=8)=C4=故所求的分布列为：X1258P_41812丄353535357［探究共研型］超几何分布的综合应用探究从含有5件次品的100件产品中任取3件.这100件产品可分几类？取到的次品数X的取值有哪些？求次品数X=2的概率.【提示】产品分两类：次品和非次品；X取值为：0,1,2,3；P(X=2)=CC5.100例在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.【精彩点拨】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X〜(0,1).(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X=1,2)服从超几何分布.【自主解答】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.C14223P(X=1)=-4=--=-，则P(X=0)=1-P(X=1)=1--=-.C11010555因此X的分布列为X01(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.奖.C1C1＋C2C0302故所求概率P=C4C6十C4C6=302②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且P(Y=0)=P(Y=0)=CCC2=1|=j,P(Y=10)=C1C1=^=2C2453'…jC2—45—5'1010C2C031C1C162p(y=20)=百花芯，p(Y=50)=f=—=-10C1C131P(Y=60)=—==—C2—45一15'10C24515'10因此随机变量Y的分布列为Y010Y010205060P12丄_2_丄35151515解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.(2)超几何分布中，只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),从而求出X的分布列.［再练一题］现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列.【解】设所得金额为X,X的可能取值为3,7,11.C37C2C17P(X"心产15P(X=7)=百芯，1010C1・C21p(x=n)=亍話10故X的分布列为X3711P7丄151515

1.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为()C3A.尸C350O+C2+C3R—255B.C350C3C1—FC350OC2+C2OD55^^5DC350【解析】出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为C5,故答案为I—》.TOC\o"1-5"\h\zC3C35050【答案】C一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为()导学号：62980038】28A—28A—A・4511C—C45B45

17D-45【解析】C1C116由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X—1)—百一45.10【答案】R一个盒子里装有大小相同的红球，白球共30个，其中白球4个.从中任取两个，则概C1C1＋C2率为氏「的事件是()30没有白球至少有一个白球至少有一个红球至多有一个白球【解析】C1C1＋C2C1C1C2十一一k+C4表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概C2C2C2303030率，即至少有一个白球的概率.【答案】BTOC\o"1-5"\h\z4•某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X=3)=.解析】P(X3)C5C1.5PH百—21・10答案】21TOC\o"1-5"\h\z5.在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生合格的概率.C1・C21【解】x可以取1,2,3.P(X=1)=-^=話，10C2・Ci7C3・C。7p(X=2)=亍苍，p(x=3)=亍苍.1010所以X的分布列为：X=k123P(X=k)丄15715715该考生合格的概率为P(X^2)=P(X=2)+7714P(X=3)=15+^=^-学业分层测评(建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：X表示取出的最大号码；X表示取出的最小号码；取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；X表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是()①②B.③④C.①②④D.①②③④【解析】由超几何分布的概念知③④符合，故选B.

答案】B某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为()明校园督察队”C615A615C4C2C105C.C6C3C3B.C6C3C3B.C615C4A2A615解析】组成4女2男的“文明校园督察队”的概率15答案】一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中C1C1＋C2白球的个数记为X,则下列概率等于22CT22的是()C226A.P(0〈XW2)B.P(XWl)C.P(X=1)D.P(X=2)C1C1【解析】结合题意，当X=1时，P(X=1)=-C2-4,C226当X=0时，P(X=0)=C2,C226C1C1＋C2故P(X<1)=C22C4^C22C226【答案】B设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为()39A—A.7939A—A.79B—418041【解析】C2＋C239由题意知所求概率为P—^L—79・C27980【答案】AC-2D•五在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个C4C6村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于尸的是()C1015A.P(X=2)B.P(XW2)P(X=4)D.P(XW4)

【解析】15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C7C6表示选出的10C4C6个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便的村庄，故P(X=4)=-C-8.C1015【答案】-二、填空题6•从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X=1)=.【解析】X=1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(P(X=1)=-1-132答案】某导游团由外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为.【解析】-2-23有两人会说日语的概率为戸一7・-4710【答案】37在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为.(结果用最简分数表示)【解析】从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，-1-1-228则P(A)-cr+cr=n?3030答案】28答案】28145三、解答题(2016•大庆高二模拟)某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.求X的分布列；求去执行任务的同学中有男有女的概率.解】(1)X的可能取值为0,1,2,3.解】(1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(X=k)=-k-n-kMNM-nNk=0,1,2.m，其中m=min{M,n}算出其相应的概率.即X的分布列为X0123

P丄1515_5_56562828151545⑵去执行任务的同学中有男有女的概率为p=p(x=i)+p(x=2)=56+28=5?袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字.求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布;计算介于20分到40分之间的概率.C3C1C1C1【解】(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=-5-2-^(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.C2C1+C1C2C2C1+C1C21P(X=2)=C2C2+C2C2=30；C310C2C1+C1C22P(X=3)=C4C2+C4c2=2C310C2C1+C1C23P(X=4)=C6C2+C6c2=215C310P(X=5)=C2C1+C1C28108C310所以随机变量X的概率分布为15X2345P丄_2__3__8301510152⑶一次取球得分介于20分到40分之间的事件记为C,P(C)=P(X=3)+P(X=4)=^+［能力提升］1.从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出的产品中无次品的概率为()22A—A.3522A—A.351C—C.35B•祜

34D•嘉【解析】设随机变量X表示取出次品的件数,C0CC/r