数学与应用数学毕业论文矩阵多项式秩的若干新结果

编号莆田学院毕业论文课题名称：矩阵多项式秩的假设干新结果 系别数学系学生姓名学号专业数学与应用数学年级2003级指导教师2007年6月目录0引言 10.1记号与定义 10.2研究现状 11预备知识 32主要结论及其证明 53关于猜测1和猜测2的解决 94结论的一些应用 11参考文献 14致谢 15矩阵多项式秩的假设干新结果摘要本文证明了矩阵多项式秩的一个新结果：两个矩阵多项式秩的和等于它们最大公因式矩阵的秩与最小公倍式矩阵秩的和。利用这个结果可以推导出诸多文献的重要结果及其一些新结论。2004年，文献[1]提出矩阵的一次多项式秩的恒等式的两个猜测，作为本文所得结果的应用，可以在更一般的情况下证明这个两个猜测是正确的。【关键词】矩阵多项式互素多项式猜测

SomeNewResultsofRankofMatrixPolynomialAbstractAnewresultofrankofmatrixpolynomialisprovedinthispaper:Thesumofranksoftwomatrixpolynomialsisequaltothesumofranksofthegreatestcommonfactormatrixandtheminimalcommonmultiplematrix.Wecanprovelotsofimportantresultsandsomenewconclusionsfromthisresult.In2004,thepaper[1]givestwoconjecturesabouttheidentityofrankofsimplepolynomial.Astheapplicationoftheresultsinthispaper,wecanprovethatthetwoconjecturesarerightinmorecommonsituation.【KeyWords】MatrixPolynomial;CoprimePolynomial;Conjecture

莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要奉献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承当。学位毕业设计〔论文〕作者签名：日期：2007年月日

莆田学院学士学位毕业设计〔论文〕原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要奉献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。指导教师签名：日期：年月日0引言0.1记号与定义本文使用以下记号：表示数域上关于的多项式的全体；表示数域上阶矩阵的全体；表示矩阵的秩；表示矩阵的特征多项式；表示矩阵的最小多项式；表示由的列向量生成的子空间；表示线性空间的维数；表示是的首项系数为1的最大公因式；表示是的首项系数为1的最小公倍式。定义1：假设，那么称为幂等矩阵。定义2：假设，那么称为幂矩阵。定义3：假设，那么称为对合矩阵。定义4：假设，那么称为幂么矩阵。0.2研究现状矩阵的秩是矩阵理论的一个重要内容，已有不少的文章讨论矩阵秩的问题，现将近几年来一些文章的主要结论列如下：命题1〔文献[1]的定理2〕设那么有 命题2〔文献[1]的定理3〕设那么有 命题3〔文献[2]的定理2〕设，对任意的两两互异的数，那么 命题4〔文献[2]的定理3〕设，且可逆，可交换，那么对任意的两两互异的数，有 命题5〔文献[3]的定理1〕设，那么可逆的充分必要条件是。命题6〔文献[3]的定理2〕设，如果，那么可逆。命题7〔文献[4]的定理1〕设，那么可逆的充要条件是。命题8〔文献[4]的定理2〕设是阶矩阵的矩阵多项式，那么可逆的充要条件是。命题9〔文献[5]的定理1，文献[6]的定理3〕设那么可逆的充分必要条件是的特征根均不是的根。命题10〔文献[7]的定理1〕设，假设互素，且，那么。命题11〔文献[7]的命题4〕设，假设，…是两两互素的，且，那么有 命题12〔文献[8]的定理1，文献[9]的的定理3〕设，且，那么 命题13〔文献[8]的命题4〕设，假设，……是两两互素的，且，那么命题14〔文献[9]的推论3、定理4、推论5〕设，那么命题15〔文献[10]的命题2、命题3、命题4〕设，那么假设，且为奇数，，那么假设，且为偶数，那么假设，那么而且，文献[1]还提出了以下两个猜测：猜测1设，当满足适当条件时，那么 猜测2设，试问在满足什么条件时，那么其中：是是多项式。对于猜测1，假设数域为复数域的情况下，文献[2]利用Jordan标准形的方法已经给出了证明。下文我们将给出矩阵多项式秩的几个结果，利用这些结果不仅可以推导出以上的15个命题，而且在更一般的情况下证明了猜测1和猜测2是正确的。1预备知识引理1设分块矩阵〔其中为任意矩阵〕，证明证明不妨设的列向量组的一个极大线性无关组为，〔其中〕，从而；的列向量组的一个极大线性无关组为，〔其中〕，从而。当时，中与所在列的个列向量是的列向量组的一个极大无关组，所以当时，中线性相关的列向量添加了中的分量后，有可能是线性无关的，所以，的列向量组的极大线性无关组所含向量个数可能等于，也可能大于，因此引理2〔Sylvester分式〕设那么。证明由可得但是由引理1可知所以得。引理3设，那么有。证明设EMBEDEquation.DSMT4T，是由的列向量组生成的EMBEDEquation.DSMT4T的子空间，那么，同理有，，由维数公式得 因为，那么 由于的列向量是的列向量的线性组合，那么，又，那么，所以，，综上所述，可得。引理4设，对任意，假设可逆，那么。证明见文献[13]。引理5设不全为零，且首项系数为1，那么证明设，那么，显然。〔1〕所以是与的公倍式。〔2〕设为与的任一公倍式，那么有所以由于不全为零，故，所以，故又因为，所以。设，代入得故，知是与的最小公倍式，又的首项系数为1，故2主要结论及其证明定理1设，，那么有 证明设满足，由于，那么存在满足 因此有。现对作如下初等变换：由初等变换不改变秩可得根据引理5知所以 记：本定理用语言可以表述为：两个矩阵多项式秩的和等于它们最大公因式矩阵的秩与最小公倍式矩阵秩的和。本定理的证明虽然简单，却是一个重要的结论，由它可以推导出一些重要的结论。推论1设，假设设，那么 证明由于，所以根据定理1知故由此可知，命题6只是推论1的一个特例，因为在命题6中，，由推论1知，，故可逆。而且命题6数域为复数域，推论1可在任意数域成立。推论2设，那么可逆的充要条件是。证明充分性，由推论1可知，，那么可逆。必要性，设，那么存在满足所以由可逆，，那么知可逆，从而 由引理4知，，设，那么 故由此可知，命题5，命题7，命题8只是推论2的一个特例：对命题5与命题8，由于表示的特征多项式，，由推论2就可知可逆的充要条件是，并且命题5与命题8的成立被限制在复数域上。对命题7，其讨论的数域为复数域，而推论2为任意数域。定理2设，那么有 证明因为，所以，，，根据定理1就可得说明定理2是一个很重要的结论〔文献[8]，文献[9]等的主要结果〕，但也只是定理1的一个特例，由于其重要性在此将它独立为一个定理。同时可以看出命题1也只是定理2的一个特例，因为在命题1中，，那么和是互素的，由定理2可知 由定理2还可以得到以下推论：推论3设，那么的充要条件是。证明假设，那么由定理2知假设，而由定理2知所以，故由此可知，命题2和命题10是推论3的特例：在命题2中，，那么和是互素的，由推论3可知 对命题10，只给出了推论3成立的充分条件。推论4设，且，那么证明由于，且，那么有 根据定理2即可得证。推论5设，那么有 证明由于，所以，同理，…………那么有由定理2可得： 定理3〔关于矩阵多项式乘积秩的界〕设那么 〔1〕即证明由引理2可得，由于，根据引理3，得 所以结论成立。说明由定理2可知，当时(1)式中左边的等号成立，而(1)式右边等号何时成立有待于进一步的探讨。3关于猜测1和猜测2的解决为解决猜测1和猜测2，我们先得对定理2做进一步的推广，考虑个多项式的情况。定理4设，是两两互素的，那么 证明对用数学归纳法证明。当时，由定理2知，结论成立；假设时结论成立，现考虑时的情况，当时，令，由于对时，总有，那么有 ，即。因为时，结论成立，所以 〔1〕又因为，由定理2可得 所以代入〔1〕式可得综上可知，命题是成立的。推论6设，是两两互素的，那么的充要条件是。由定理4、推论6可知：命题3、命题11、命题13是它们的一些特例：对命题3，在复数域上，两两互异，所以是两两互素的，由定理4即可得定理4是对命题11结论的进一步精确；命题13只是推论6的一个充分命题。以下我们利用定理4来解决猜测1和猜测2。推论7设，当两两互异时，那么 证明令，当时，，那么有由定理3就可得 说明推论7说明了猜测1是正确的。对于猜测1，文献[2]也给出了证明，但文献[2]只讨论复数域上的情况，证明思路是利用矩阵的Jordan标准形，证明时分多步讨论，过程比拟复杂。相比于本文的定理4，定理4更具一般性，定理4不受数域的限制，证明过程相比照拟简单，而且结论应用不受矩阵多项式次数的限制，文献[2]的定理2只能用于一次矩阵多项式的情况。推论8设，且，当两两互异时，那么其中：是是多项式。证明令，当时，，那么有然而，再由，化简整理后就可化为与的多项式，化简整理后与的系数设为和，那么有 说明推论8说明了猜测2是正确的。其它文献至今没有完全解决猜测2，然而利用定理4就可以很容易地得到猜测2成立的一个充分条件。4结论的一些应用应用1设，那么有。证明令，那么，由推论2可得应用2设，那么有证明先证明，令，由定理1即可得所以得证；再证，令，显然是两两互素的，由推论6可得 即得证。应用3设，那么有证明①可以由推论3证得；②可由推论6证得；③证明，令，由于为的根，那么，因此，由推论6得证；④当为奇数时，令，由定理1可得 所以。当为偶数时，同理可证。说明问题1、问题2、问题3给出了幂等类的一些用秩表示的等价刻画，而且比拟命题14、命题15可知，问题2、问题3给出了更多等价刻画，而且也证明了命题15的逆命题是成立的。同样的，我们可以得到幂么矩阵相应的等价刻画。应用4设，那么应用5〔命题9〕设那么可逆的充分必要条件是的特征根均不是的根。证明根据推论2知，的特征根均不是的根得证。此题也说明了命题9与推论2是等价，只是表达上的差异。应用6〔命题4〕设，且可逆，可以交换，那么对任意的两两互异的数，有 证明由条件得，由定理4，得 此题可视为猜测1/r/