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第六章弯曲变形Chapter6DeflectionofBeams材料力学Mechanics

ofMaterials

弯曲变形第1页第六章弯曲变形

(DeflectionofBeams)

§6-1基本概念及工程实例（Basicconceptsandexampleproblems)

§6-4

用叠加法求弯曲变形

(Beamdeflectionsbysuperposition)§6-3

用积分法求弯曲变形（Beamdeflectionbyintegration)§6-2

挠曲线微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)弯曲变形第2页§6-5静不定梁解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)§6-6

提升弯曲刚度办法(Themeasurestostrengthenrigidity)弯曲变形第3页

§6–1基本概念及工程实例（Basicconceptsandexampleproblems)一.工程实例（Exampleproblem)弯曲变形第4页弯曲变形第5页

但在另外一些情况下,有时却要求构件含有较大弹性变形,以满足特定工作需要.

比如,车辆上板弹簧,要求有足够大变形,以缓解车辆受到冲击和振动作用.弯曲变形第6页

1、挠度（Deflection）横截面形心C(即轴线上点)在垂直于x轴方向线位移,称为该截面挠度.用w表示.二、基本概念（basicconcepts)弯曲变形w挠度C'CABwx弯曲变形第7页2、转角

(slope)

横截面对其原来位置角位移,称为该截面转角.用表示弯曲变形转角AC'CwB

xw挠度（弯曲变形第8页3、挠曲线

(Deflectioncurve)梁变形后轴线称为挠曲线.式中,x为梁变形前轴线上任一点横坐标,w为该点挠度.挠曲线挠曲线方程(Equationofdeflectioncurve)为wAB

x转角w挠度（C'C弯曲变形第9页4、挠度与转角关系（Relationshipbetween

deflectionandslope)：wABx转角w挠度C'C挠曲线弯曲变形第10页5、挠度和转角符号要求（Signconventionfordeflectionandslope)挠度向上为正,向下为负.转角自x转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.

wABx转角w挠度C'C挠曲线弯曲变形第11页§6–2挠曲线微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)一、推导公式（Derivationoftheformula)1、纯弯曲时曲率与弯矩关系（Relationshipbetweenthecurvatureofbeamandthebendingmoment)横力弯曲时,M和都是x函数.略去剪力对梁位移影响,则弯曲变形第12页2、由数学得到平面曲线曲率(Thecurvaturefromthemathematics)弯曲变形第13页在要求坐标系中,x轴水平向右为正,w轴竖直向上为正.曲线向上凸时,OxwxOw所以,与正负号相同曲线向下凸时:弯曲变形第14页此式称为

梁挠曲线近似微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)与1相比十分微小而能够忽略不计,故上式可近似为(6.5)近似原因:(1)略去了剪力影响;(2)略去了

项;(3)弯曲变形第15页

§6–3用积分法求弯曲变形（Beamdeflectionbyintegration)一、微分方程积分

（Integratingthedifferentialequation)若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成弯曲变形第16页2、再积分一次,得挠度方程(Integratingagaingivestheequationforthedeflection)二、积分常数确定（Evaluatingtheconstantsofintegration)1、边界条件（Boundaryconditions)

2、连续条件

(Continueconditions)

1、积分一次得转角方程(Thefirstintegrationgivestheequationfortheslope)弯曲变形第17页AB在简支梁中,左右两铰支座处挠度和都等于0.在悬臂梁中,固定端处挠度和转角都应等于零.AB弯曲变形第18页

例题1图示一抗弯刚度为EI悬臂梁,在自由端受一集中力F作用.试求梁挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角ABxF弯曲变形w弯曲变形第19页(1)弯矩方程为解：(2)挠曲线近似微分方程为xwABxF弯曲变形对挠曲线近似微分方程进行积分弯曲变形第20页梁转角方程和挠曲线方程分别为边界条件将边界条件代入(3)(4)两式中,可得弯曲变形第21页BxyAF（）都发生在自由端截面处和（）弯曲变形第22页例题2图示一抗弯刚度为EI简支梁,在全梁上受集度为q均布荷载作用.试求此梁挠曲线方程和转角方程,并确定其和ABql弯曲变形第23页解:由对称性可知，梁两个支反力为ABqlRARBx此梁弯矩方程及挠曲线微分方程分别为弯曲变形第24页梁转角方程和挠曲线方程分别为弯曲变形边界条件,时

xABqlRARBAB在x=0和x=l处转角绝对值相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分别为wmax在梁跨中点处有最大挠度值弯曲变形第25页例题3图示一抗弯刚度为EI简支梁,在D点处受一集中力F作用.试求此梁挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.ABFDab弯曲变形l弯曲变形第26页解:梁两个支反力为RARBABFDabl12xx两段梁弯矩方程分别为弯曲变形第27页两段梁挠曲线方程分别为1(0x

a)挠曲线方程转角方程挠度方程弯曲变形第28页挠曲线方程转角方程挠度方程(a

x

l

)2弯曲变形第29页D点连续条件边界条件在x=a处在x=0处，在x=l处，代入方程可解得:ABFDab12RARB弯曲变形第30页12弯曲变形第31页将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面转角当a>b时,右支座处截面转角绝对值为最大弯曲变形第32页弯曲变形简支梁最大挠度应在处先研究第一段梁,令得当a>b时,x1<a

最大挠度确实在第一段梁中弯曲变形第33页梁中点C处挠度为结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处挠度值来代替,其准确度是能满足工程要求.弯曲变形第34页对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间梁段上外力来写弯矩方程.所以后一段梁弯矩方程包含前一段梁弯矩方程.只增加了(x-a)项.对(x-a)项作积分时，应该将(x-a)项作为积分变量.从而简化了确定积分常数工作.积分法标准弯曲变形第35页

§6–4用叠加法求弯曲变形

(Beamdeflectionsbysuperposition)

梁变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载(能够是集中力,集中力偶或分布力)同时作用下挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面挠度和转角叠加.当每一项荷载所引发挠度为同一方向(如均沿v轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和.这就是叠加原理.一、叠加原理

(Superposition)

弯曲变形第36页1、载荷叠加(Superpositionofloads)

多个载荷同时作用于结构而引发变形

等于每个载荷单独作用于结构而引发变形代数和.2、结构形式叠加（逐段刚化法）弯曲变形第37页1、

按叠加原理求A点转角和C点挠度.解:(1)载荷分解如图(2)由梁简单载荷变形表，查简单载荷引发变形.BqFACaaF=AB+ABq弯曲变形第38页

(3)叠加qFF=+AAABBBCaaq弯曲变形第39页例题4一抗弯刚度为EI简支梁受荷载如图所表示.试按叠加原理求梁跨中点挠度wC和支座处横截面转角A

,B。ABCqml弯曲变形第40页解：将梁上荷载分为两项简单荷载,如图所表示ABCqm(a)lBAm(c)lAq(b)BlCC()()()弯曲变形第41页例题5试利用叠加法,求图所表示抗弯刚度为EI简支梁跨中点挠度wC

和两端截面转角A

,B

.ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2解:可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况叠加.弯曲变形第42页（1）正对称荷载作用下ABCq/2CABq/2q/2（2）反对称荷载作用下在跨中C截面处,挠度wC等于零,但转角不等于零且该截面弯矩也等于零可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l

/2简支梁弯曲变形第43页CABq/2q/2可得到：Bq/2ACq/2将对应位移进行叠加,即得()()()弯曲变形第44页例题6一抗弯刚度为EI外伸梁受荷载如图所表示,

试按叠加原理并利用附表,求截面B转角B以及A端和BC中点D挠度wA和wD.ABCDaa2a2qq弯曲变形第45页解：将外伸梁沿B截面截成两段,将AB段看成B

端固定悬臂梁,BC

段看成简支梁.ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qAB2qaB截面两侧相互作用为：弯曲变形第46页就是外伸梁AC

B,wD简支梁BC受力情况与外伸梁ACBC段受力情况相同由简支梁BC求得B,wD2qaBCDqqBCDBCD简支梁BC变形就是MB和均布荷载q分别引发变形叠加.弯曲变形第47页由叠加原理得:DBC2qaBCDqDBC(1)求B

，wD弯曲变形第48页(2)求wA因为简支梁上B截面转动,带动AB段一起作刚体运动,使A端产生挠度w1

悬臂梁AB本身弯曲变形,使A端产生挠度w2AA2qB2qa2qaBCDq所以，A端总挠度应为由附录1V查得弯曲变形第49页二刚度条件（stiffnesscondition)1、数学表示式（mathematicalformula)2、刚度条件应用(applicationofstiffnesscondition)(1)校核刚度（Checkthestiffnessofthebeam）(2)设计截面尺寸（Determinetheallowableloadonthebeam）(3)求许可载荷（Determinetherequireddimensionsofthebeam）是构件许可挠度和转角.和弯曲变形第50页例7下列图为一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm、D=80mm,杆E=210GPa,工程要求C点[w/L]=0.00001,B点[]=0.001弧度,试核此杆刚度.L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB弯曲变形第51页解:(1)结构变换,查表求简单载荷变形.L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BC=++图1图2图3F1=1kNDCF2BCDAM弯曲变形第52页(2)叠加求复杂载荷下变形F2=2kN=++图1图2L=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC图3F2BDAMACCF2弯曲变形第53页(3)校核刚度:(rad)弯曲变形第54页基本概念（Basicconcepts）

1.超静定梁（staticallyindeterminatebeams)§6–5静不定梁解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)单凭静力平衡方程不能求出全部支反力梁,称为超静定梁FABABCFRARBRC弯曲变形第55页2.“多出”约束(redundantconstraint)多于维持其静力平衡所必需约束3.“多出”反力(redundantreaction)“多出”与对应支座反力RBABCFFABRARC4.超静定次数(degreeof

staticallyindeterminateproblem):超静定梁“多出”约束数目就等于其超静定次数.n=未知力个数-独立平衡方程数目弯曲变形第56页二、求解超静定梁步骤

(procedureforsolvingastaticallyindeterminate)1、画静定基建立相当系统：将可动绞链支座作看多出约束,解除多出约束代之以约束反力RB.得到原超静定梁基本静定系.2、列几何方程——变形协调方程超静定梁在多出约束处约束条件，梁变形协调条件ABqqABRB依据变形协调条件得变形几何方程：变形几何方程为弯曲变形第57页

3、列物理方程—变形与力关系

查表得qAB将力与变形关系代入变形几何方程得补充方程4、建立补充方程BARBqABRB弯曲变形第58页补充方程为由该式解得5、求解其它问题（反力、应力、变形等）qABqABBARBRBRAmA求出该梁固定端两个支反力弯曲变形第59页代以与其对应多出反力偶mA

得基本静定系.变形相容条件为请同学们自行完成！方法二:取支座A处阻止梁转动约束为多出约束.ABqlABqlmA弯曲变形第60页例题8梁AC如图所表示,梁A端用一钢杆AD与梁AC铰接,在梁受荷载作用前,杆AD内没有内力,已知梁和杆用一样钢材制成,材料弹性模量为E,钢梁横截面惯性矩为I,拉杆横截面面积为A,其余尺寸见图,试求钢杆AD内拉力N.a2aABCq2qDl弯曲变形第61页CADBq2qANNADBCq2qNNA点变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点.即解：这是一次超静定问题.将AD杆与梁AC之间连结绞看作多出约束.拉力N为多出反力.基本静定系如图弯曲变形第62页变形几何方程为依据叠加法A端挠度为BCq2qNBCq2qBCN在例题中已求得可算出:弯曲变形第63页拉杆AD伸长为:补充方程为:由此解得:ADBCq2qNN弯曲变形第64页例题9求图示梁支反力,并绘梁剪力图和弯矩图.已知EI=5103kN.m3.4m3m2mABDC30kN20kN/m弯曲变形第65页解：这是一次超静定问题取支座B截面上相对转动约束为多出约束.基本静定系为在B支座截面上安置绞静定梁，如图所表示.4