二次微分方程的通解-二次常微分方程通解

页眉内容页眉内容88页脚内容第六节 二阶常系数齐次线性微分方程次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy0pq1 2 11 2y、yyCyCy1 2 11 2我们看 能否适当选取使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方为此将yerx代方程ypyqy0得(r2prq)erx0rr2prq0yerx1 r2prq0ypyqy0rr1 pp p221,2求出特征方程的根与通解的关系r、r

erx

erx是方程的两个线性无关的解这是因为

1 2 1 1 2 2

erx

erx是方程的解又

yer

e(rr)x不是常数1e1y1 1 2 2 rx 1 21e1y2 2因此方程的通解为yCerx

erx1 1 2 2r

erx

xerx是二阶常系数齐次线性微分1 2 1 1 2 1方程的两个线性无关的解这是因为y1

erx是方程的解又1(xerxp(xerx)q(xerx)xr2)erxxr)erxqxerx11 1

1 1

1 1 1erxp)xerx(r2prq)01 1 1 1 1y xerx所以y2

xerx且21y11

1 xerxe1yCerxC

xerx1 1 2 11,特征方程有一对共轭复根r 函数、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的函数是微分方程的两个线性无关的实数形式的1,函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由欧拉公式得1y12y2yycosx1(yy)1 2 2 1 2yy

sinx

1(yy)1 2 1 2故excosx、y2exsinx也是方程解、因此方程的通解为yex(C1cosxC2sinx)求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程r2prq0第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况1y2y3y0解所给微分方程的特征方程为r22r30即(r1)(r3)0其根r11r23是两个不相等的实根因此所求通解为yC1exC2e3x例2求方程y2yy0满足初始条件y|x04、y|x02的特解解所给方程的特征方程为r22r10即(r1)20其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为y(C1C2x)ex将条件y|x04代入通解得C14从而y(4C2x)ex将上式对x求导得y(C24C2x)ex再把条件y|x02代入上式得C22于是所求特解为x(42x)ex例3求微分方程y2y5y0的通解解所给方程的特征方程为r22r50r112ir212i因此所求通解为yex(C1cos2xC2sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程y(n)p1y(n1)p2y(n2)pn1ypny0称为n阶常系数齐次线性微分方其中p1 p2pn1pn都是常二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn)y0或L(D)y0注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyy(n)分析令yerx则L(D)yL(D)erx(rnp1rn1p2rn2pn1rpn)erxL(r)erxrL(r)yerxL(D)y0的解nL(r)rnp1rn1p2rn2pn1rpn0L(D)y0rCerx12 1 rsin12 1 k重实根r对应于k项erx(C1C2xCkxk1)1kr2k11 2 k 1 2 Cxxk1)cosx(DxDxk1)sin1 2 k 1 2 例4求方程y(4)2y5y0的通解解这里的特征方程为r42r35r20r2(r22r5)0r1r20r3412i因此所给微分方程的通解为yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x)例5求方程y(4)4y0的通解其中0解这里的特征方程为r4402它的根为r 21,2

r3,4

(1i)2因此所给微分方程的通解为2ye

x(C22

cos

xC2

sin

e

x(C3

cos

xC4

sin

22222二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介22222二阶常系数非齐次线性微分方程方程ypyqyf(x)、qyY(x)yy*(x)yY(x)y*(x)当f(x)为两种特殊形式时方程的特解的求法一、f(x)Pm(x)ex型当f(x)Pm(x)ex时可以猜想方程的特解也应具有这种形式 因此设特解形式为y*Q(x)ex将其代入方程得等式mQ(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)P(x)mr2prq0Q(x)m次多项式Qm(x)b0xmb1xm1bm1xbm通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1bm并得所求特解y*Qm(x)ex是特征方程r2prq0要使等式mQ(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)P(x)m成立Q(x)应设为m1次多项式Q(x)xQm(x)Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm通过比较等式两边同次项系可确定b0b1 bm并得所求特解y*xQm(x)ex是特征方程r2prq0要使等式mQ(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)P(x)m成立Q(x)应设为m2次多项式Q(x)x2Qm(x)Qm(x)b0xmb1xm1bm1xbm通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1bm并得所求特解y*x2Qm(x)ex我们有如下结论如果f(x)Pm(x)ex则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)有形如y*xkQm(x)exm 的特解其中Q(x)是与P(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2m 例1求微分方程y2y3y3x1的一个特解m 解这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数f(x)是P(x)ex型(其中P(x)3x10)m 与所给方程对应的齐次方程为y2y3y0它的特征方程为r22r30由于这里0不是特征方程的根所以应设特解为y*b0xb1把它代入所给方程得3b0x2b03b13x1比较两端x同次幂的系数得3b3b2b

03b13b032b03b11 0 1

1b1于是求得所给方程的一个特解为0 1 3y*x13例2求微分方程y5y6yxe2x的通解m f(x)P(x)ex型(P(x)xm 与所给方程对应的齐次方程为y5y6y0它的特征方程为r25r60特征方程有两个实根r12r23于是所给方程对应的齐次方程的通解为YC1e2xC2e3x由于2是特征方程的单根所以应设方程的特解为y*x(b0xb1)e2x把它代入所给方程得2b0x2b0b1x比较两端x同次幂的系数得2b1b0

02b012b0b10 0 1由此求得b1b1于是求得所给方程的一个特解为0 2 11x2从而所给方程的通解为yCe2xCe3x1(x22x)e2x1 2 2提示y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x[(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2xy*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x[2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式应用欧拉公式可得l ex[P(x)cosxP(x)sinxl ex[P(x)eixeixP(x)eixeix]l 2 n 1[P(x)iP(x)]e(i)x1[P(x)iP(x)]e(i)x2 l n 2 l nP(x)e(i)xP(x)e(i)x其中P(x)1(PPi) P(x)1(PPi)而mmax{ln}2 l n 2 l n设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)xy*xkQ

(x)e(i)ypyqyP(x)e(i)1 m其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1l 于是方程ypyqyex[P(x)cosxP(x)sinx]l xkQm

(x)e(i)xxkQm

(x)e(i)xxkex[Qm

(x)(cosxisinx)Qm

(x)(cosxisinx)xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]综上所述我们有如下结论如果f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)的特解可设为y*xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]R(1)m(x)、R(2)m(x)mmmax{ln}k(不是特征方程的根或是01例3求微分方程yyxcos2x的一个特解解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且f(x/r/