数学七年级上：《有理数》知识梳理和考点透析

PAGE13浙教版数学七年级上总复习之有理数【知识点梳理】一、有理数的意义正数和负数知识点1负数的引入正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。知识点2正数和负数的概念像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。知识点3有理数的有关概念有理数：整数和分数统称为有理数。注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。分数包括正分数和负分数，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。知识点4有理数的分类按整数、分数的关系分类：按正数、负数与0的关系分类：注通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。数轴数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数是难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。知识点1数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。－6－6－5－4－3－2－10123456知识点2数轴的画法（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。（3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……注（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，……；知识点3数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。知识点4利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。3、相反数知识点1相反数的概念（1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如下图，4与－4互为相反数，与－互为相反数。（2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。知识点2相反数的表示方法一般地，数a的相反数是－a。这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。知识点3多重符号的化简（1）在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。（2）在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。4、绝对值知识点1绝对值的概念（1）绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“”（2）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即知识点2两个负数大小的比较因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。知识点3有理数大小的比较法则正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。二、有理数的运算1、有理数的加法知识点1有理数的加法把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。知识点2有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。（3）一个数同0相加，仍得这个数。知识点3有理数加法的运算定律（1）加法交换律：。（2）加法结合律：。2、有理数的减法知识点1有理数减法的意义有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。知识点2有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即3、有理数的加减混合运算知识点1有理数加减法统一成加法的意义对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。知识点2有理数加减混合运算的方法一、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。二、运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。4、有理数的乘法知识点1有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。知识点2有理数乘法法则的推广（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。（2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。知识点3有理数乘法的运算定律（1）乘法交换律：。（2）乘法结合律：。（3）分配律：。5、有理数的除法知识点1倒数的概念乘积是1的两个数互为倒数。由于，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是。若a、b互为倒数，则ab＝1。知识点2有理数除法法则一、除以一个数等于乘以这个数的倒数。即。二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。6、有理数的乘方知识点1有理数乘方的意义求n个相同因数的积的运算，叫乘方。记作“”。乘方的结果叫做幂。在中，叫做底数，n叫做指数，读作的n次方，。知识点2乘方运算的符号法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。知识点3科学计数法把一个大于10的数记成“”的形式，其中a是整数数位中只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。如42000000＝4.2×。7、有理数的混合运算知识点1有理数混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。8、近似数与有效数字知识点1研究近似数的意义在生产实践和实际生活中，不仅存在着大量的准确数，同时也存在着大量的近似数。近似数就是与实际接近的数。出现近似数的原因有两点：一是有时候不能得到完全准确的数，如太阳的半径大约是696000千米；二是有时也没有必要弄得完全准确，如买10千克大米，有时可能多一点，有时也可能少一点。知识点2精确度一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。知识点3有效数字四舍五入后的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。方法技巧1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时，结果为负；“负”号有偶数个时，结果为正。方法技巧2：分数、小数乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时，应先确定积和符号。含有多重括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内。在进行混合运算时，要注意两点：一是运算顺序，二是运算符号。方法技巧3：灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。【考点透析】考点1：有关有理数的概念例1（1）如果收入100元记作+100元，那么支出50元记作_________元．（2）今年我市二月份的最低气温为－5℃，最高气温为13℃，那么这一天的最高气温比最低气温高Ａ．－18℃；B．18℃；Ｃ．13℃；Ｄ．5℃.（3）下列各数中，负数是（）A.-（-3）；B.-|-3|；C.（-3）2；D.-（-3）3.解析：（1）由题意知，把收入定为正，则支出应为负，即支出50元记作-50元.（2）由题意知，13-（－5）=13+5=18（℃）.故应选B.（3）本题主要考查符号运算，则-（-3）=3；-|-3|=-3；（-3）2=9；-（-3）3=-（-27）=27.故应选B.评注：解此类问题的关键是要弄清有理数的分类以及各类数的概念和本质特征.不要被其外形所迷惑，尤其注意带负号的数不一定是负数.考点2：数轴、相反数、倒数例2（1）在所给数轴上画出表示数–3，-1，|-2|的点.··(1)01（2004年南通市）··(1)01（2）-的倒数是（）A.3；B.-3；C.；D.-.（3）若a与4互为相反数，则a=.······012-2-3-1(2)解析：（1）··根据所给数轴的单位长度依次······012-2-3-1(2)········（2）由互为倒数的概念知，-的倒数是-3.（3）由相相为反数的性质得，a+4=0，得a=-4.评注：（1）求一个数的相反数，关键要准确掌握相反数概念：只有符号不同的两个数称之为互为相反数.若a、b互为相反数，则a+b=0.（2）求一个数的倒数，关键要弄清倒数的概念：乘积为1的两个数称之为互为倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.考点3：有关绝对值的运算例3（1）－|－8|的值是.（2）已知|a-1|=5，则a的值是（）6；B.-4；C.6或-4；D.-6或4.（3）已知（x–2）2与|y+3|互为相反数，则yx=.解析：（1）－|－8|=-8.（2）因为|5|=5，|-5|=5，所以a–1=5或a–1=-5.则a=6或a=-4.故应选C.（3）由（x–2）2与|y+3|互为相反数，所以（x–2）2+|y+3|=0.因为（x–2）2≥0，|y+3|≥0，所以x–2=0，y+3=0，即x=2，y=-3.故yx=（-3）2=9.评注：（1）绝对值是指表示这个数的点与原点的距离.也就是说，|a|是非负数，即|a|≥0.（2）绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数.（3）若几个数的绝对值的和等于0，则每个数都等于0.考点4：有关有理数大小的比较例4（1）在1，-1，-2这3个数中，任意两数之和的最大数是（）A.1；B.0；C.-1；D.-3.（2）实数a，b在数轴上表示如图，下列判断正确的是（）····0a-1bA.a<0；B.a>1；C.····0a-1b解析：（1）由1+（-1）=0，1+（-2）=-1，-1+（-2）=-3，∴0>-1>-2.故应选B.（2）答案A：实数a在原点的右边，即a>0，故答案A错误；答案B：在数轴上表示实数a的长度小于数轴上规定的一个单位长度，即a<1，故答案B错误；答案C：实数b在表示-1的点的左边，即b<-1，故答案C错误；答案D正确.评注：（1）正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（2）数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大.考点5：有关有理数的运算例5（1）计算2-（-3）的结果是（）A.-5；B.5；C.1；D.-1.（2）计算（-4）×（-）的结果是（）A.8；B.-8；C.-2；D.2.解析：（1）2-（-3）=2+3=5.（2）（-4）×（-）=4×=2.例6（1）计算：（-100）×（-20）-（-3）=.（2）计算：-9+5×（-6）-（-4）2÷（-8）.解析：（1）（-100）×（-20）-（-3）=2000+3=2003.（2）-9+5×（-6）-（-4）2÷（-8）=-9+（-30）-16÷（-8）=-9+（-30）-（-2）=-9+（-30）+2=-37.评注：对于有理数运算总结如下口诀：加法运算要熟练，减法运算会转换，乘除要把符号判，运算顺序严把关，运算定律须灵变.考点6：有关科学记数法、近似数与有效数字例7（1）41080000用科学记数