专题一：等腰三角形的存在性问题

-.z.专题训练一等腰三角形的存在性问题专题攻略如果△ABC是等腰三角形，则存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况。腰长〔两定一动〕：分别以两腰的顶点为圆心，腰长为半径画圆；底边〔两定一动：〕画底边的垂直平分线。解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。几何法一般分三步：分类、画图、计算。代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。针对训练1、如图，在平面直角坐标系*Oy中，点D在坐标为(3，4)，点P是*轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标。2、如图，直线y=3*+3交*轴于A点，交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交*轴于另一点C〔3,0).

(1)、求A、B的坐标;

(2)、求抛物线的解析式;

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形"假设存在,求出符合条件的Q点坐标；假设不存在,请说明理由.3、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停顿运动。在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值。4、如图，直线y＝2*＋2与*轴交于点A，与y轴交于点B，点P是*轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．ABCDPABCDPE使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有〔〕个。A、2B、3C、4D、56、如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段DE〔端点D从点B开场〕沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停顿．过点E作EF//AC交AB于点F〔当点E与点C重合时，EF与CA重合〕，联结DF，设运动的时间为t秒〔t≥0〕．〔1〕直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；〔2〕在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？假设能，请求出t的值；假设不能，请说明理由；〔3〕设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．7、如图，点A在*轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．〔1〕求点B的坐标；〔2〕求经过A、O、B的抛物线的解析式；〔3〕在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由．5．〔11湖州24〕如图1，正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在*、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点〔C点除外〕，直线PM交AB的延长线于点D．〔1〕求点D的坐标〔用含m的代数式表示〕；〔2〕当△APD是等腰三角形时，求m的值；〔3〕设过P、M、B三点的抛物线与*轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H〔如图2〕．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长〔不必写解答过程〕．图1图26．〔10南通27〕如图，在矩形ABCD中，AB＝m〔m是大于0的常数〕，BC＝8，E为线段BC上的动点〔不与B、C重合〕．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=*，BF＝y．〔1〕求y关于*的函数关系式；〔2〕假设m＝8，求*为何值时，y的值最大，最大值是多少？〔3〕假设，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？两年模拟7．〔2012年福州市初中毕业班质量检查第21题〕如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段DE〔端点D从点B开场〕沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停顿．过点E作EF//AC交AB于点F〔当点E与点C重合时，EF与CA重合〕，联结DF，设运动的时间为t秒〔t≥0〕．〔1〕直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；〔2〕在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？假设能，请求出t的值；假设不能，请说明理由；〔3〕设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．8．〔宁波七中2012届保送生推荐考试第26题〕如图，在平面直角坐标系*oy中，矩形ABCD的边AB在*轴上，且AB＝3，BC＝，直线y＝经过点C，交y轴于点G．〔1〕点C、D的坐标分别是C〔〕，D〔〕；〔2〕求顶点在直线y＝上且经过点C、D的抛物线的解析式；〔3〕将〔2〕中的抛物线沿直线y＝平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E〔顶点在y轴右侧〕．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？假设存在，请求出此时抛物线的解析式；假设不存在，请说明理由．自编原创9．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为*，CE的长为y．〔1〕当D为BC的中点时，求CE的长；〔2〕求y关于*的函数关系式，并写出*的取值范围；〔3〕如果△ADE为等腰三角形，求*的值．备用图备用图参考答案:1．因为D〔3，4〕，所以OD＝5，．①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，，，所以．此时点P的坐标为．②如图2，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5，0)．③如图3，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0)．第1题图1第1题图2第1题图32．在Rt△ABC中，.因此.在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.第2题图1第2题图2第2题图3①如图1，当时，，解得(秒).②如图2，当时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM＝.在Rt△QMC中，，解得(秒).③如图3，当时，过点P作PN⊥BC于N，则CN＝.在Rt△PNC中，，解得(秒).综上所述，当t为时，△PQC为等腰三角形.3．由y＝2*＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．如图，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．设点Q的坐标为(0，m)，则点P的坐标为(2m，0)．因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．①当AP＝AQ时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得或．所以符合条件的点P不存在．②当PA＝PQ时，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得．所以．③当QA＝QP时，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得．所以．第3题图4．〔12临沂26〕〔1〕如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以点B的坐标为．〔2〕因为抛物线与*轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝a*(*－4)，代入点B，．解得．所以抛物线的解析式为．〔3〕抛物线的对称轴是直线*＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．当P在时，B、O、P三点共线．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．综合①、②、③，点P的坐标为．第4题图5．〔11湖州24〕〔1〕因为PC//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．〔2〕在△APD中，，，．①当AP＝AD时，．解得〔如图1〕．②当PA＝PD时，．解得〔如图2〕或〔不合题意，舍去〕．③当DA＝DP时，．解得〔如图3〕或〔不合题意，舍去〕．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．第5题图1第5题图2第5题图3[另解]第〔2〕题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图1，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，则△PCM∽△MBA．所以．因此，．②如图2，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此．解得．〔3〕点H所经过的路径长为．思路是这样的：如图4，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．第5题图4第5题图6．〔10南通27〕(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y关于*的函数关系为．(2)如图1，当m＝8时，．因此当*＝4时，y取得最大值为2．(3)假设，则．整理，得．解得*＝2或*＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即*＝y．将*＝y＝2代入，得m＝6〔如图2〕；将*＝y＝6代入，得m＝2〔如图3〕．第6题图1第6题图2第6题图37．〔1〕，．〔2〕△DEF中，∠DEF＝∠C是确定的．①如图1，当DE＝DF时，，即．解得．②如图2，当ED＝EF时，．解得．③如图3，当FD＝FE时，，即．解得，即D与B重合．第7题图1第7题图2第7题图3〔3〕MN是△FDE的中位线，MN//DE，MN＝2，MN扫过的形状是平行四边形．如图4，运动完毕，N在AC的中点，N到BC的距离为3；如图5，运动开场，D与B重合，M到BC的距离为．所以平行四边形的高为，面积为．第7题图4第7题图58．〔1〕，．〔2〕顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为，代入直线y＝，得．设抛物线的解析式为，代入点，可得．所以物线的解析式为．〔3〕由顶点E在直线y＝上，可知点G的坐标为，直线与y轴正半轴的夹角为30°，即∠EGF＝30°．设点E的坐标为，则EG＝2m，平移后的抛物线为．所以点F的坐标为．①如图1，当GE＝GF时，yF－yG＝GE＝2m，所以．解得m＝0或．m＝0时顶点/