天津市滨海新区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题及答案

…………2020-2021…… 高一数学试题……本试卷分第Ⅰ卷（选择题）150100… 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上.答卷时，考生务必将…答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.号 … 祝各位考生考试顺利！证 …考 ○准 … 第I卷选择题（60分）…一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项……是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.…○（1）i是虚数单位，则 2i =○1 i… （A）22i （B）22i （C）1i （D）1i…（2）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上…出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为…（A）0.4,0.4 （B）0.5,0.5 （C）0.4,0.5 （D）0.5,0.4…（3）经过同一条直线上的3个点的平面… （A）有且仅有1个 （B）有无数个 （C）不存在 （D）有且仅有3个名 …（4）若一组数据为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的75%分位数为姓… （A）7.5 （B）8 （C）8.5 （D）9姓（5）已知mn为两个不同的平面，下列命题中的是… （A）若m，n ，则m//n （B）若m，//，则m… （C）若m//n，n//，则m// （D）若m，n//，则mn… …（6）已知e|a|4，当向量ea30时，向量a在向量e向量为… （A）23e （B）22e （C）2e （D） 2e……（7）izm2mmi(Rmi在复平面内对应…的点位于…（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限…校 （8）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，则这个圆柱的表面积是学 …… （A）（B）（C）（D）…○…… 1页(4)甲乙两位射击运动员在一次射击中各射靶6甲849579乙甲849579乙877877乙比甲射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定乙比甲射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定甲比乙射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定甲比乙射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定．．空气质量AQI指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当AQI10041~20AQI的是．．2041720AQI240总体来说，该市4从这20天的空气质量AQI0.5

已知平面向量a,b满足|b2,b与ba的夹角为15ma1(t)|m|的取值范围为（A）[3,+) （B）[2,+)

1（D）[ ,+)2D2DE为边B的中点.将E沿直线E翻折成11（A1平面BCDE）.若M在线段1

C上（点M与A1

，C不重合），则在ADE翻折过程中，给出下列判断：①当M为线段A1C中点时，|BM|为定值；②存在某个位置，使DEA1C；

—BCDE

到平面BCDE的距离为 2；

1—DE—B1

1π3

2DBE3.1 5其中判断（A）1

（B）2 （C）3 （D）4（第12题）（10

高一年级数学第2页(共4页)第II卷（90分）注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.1290二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）i是虚数单位.若复数z34i(mR)，则|z| . m （14）已知向量a(4,2),b(3,m)，且a b，则 的值为 .ABCD-ABC

所成角的大小为 .1 1 1 1 1 1对于事件A与事件B，已知P(A)=0.6，P(B)=0.2，如果BA，则P(AB)= .某市供电部门为了解节能减排以来本市居民的用电量情况，通过抽样，获得了1000居民月平均用电量（单位：度），将数据按照[50，100），[100，150），…，[300，350]分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图．则频率分布直方图中m的值为 ；根频率分布直方图近似估计抽取的这1000户居民月用电量的中位数为 .（精确到0.1）（第15题）

（第17题）2 33，乙达标的概率为5，两人能否达标互不影.i两人都达标的概率为 i至少有一人达标的概率为 .立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，在《九章算术·商功》中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图1.再把一余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图2.（第19题-图1） （第19题-图2）5,ABCDAB2,BC2,CD1,BD5,

AC

AD3，根据上述史2,料“鳖臑的由来可得这个四面体的体积为 该四面体的外接球的表面积为 .2,高一年级数学第3页（共4页）……..………………..…

2CB CD22（20）已知四边形ABCD，ABBC=0，AD=BC，AB=AD=1且= ，2|CB||CD|

（若E=2C动点F在线段E上则FC的最大值为 .三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（21）（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a= 19,b=5,c=2.（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）求sinC的值.密(22)（本小题满分12分）垃圾分类，人人有责.2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放.已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级 封学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15.现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动. 线（Ⅰ）应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的4名同学分别用A,B,C,D表示,现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言. 内（i）写出这个试验的样本空间；（ii）设事件M=“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件M发生的概率.不（23）（本小题满分13分）ABCABCAAABCABBCAC1 1 1 1

,D是BC的中点. 得1（Ⅰ）求证：AB//平面ACD；11（Ⅱ）求证：平面AC1

答DBCCB；1 1（Ⅲ）ACAC1（24）（13）

D所成角的正弦值. 题在ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(1, 3)，向量 n(cosC,sinC，且mn.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若

c= 323

ACAB0,求ab的取值范围;（Ⅲ）若ABC4π，当CACB的值最小时，求ABC高一年级数学第4页（共4页）滨海新区2020-2021学年度第二学期期末质量检测高一年级数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.123456789101112DCBBCADABCCB二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．（13）52 13（18）5；15

（14）-62（19）3,

π（15）41 6（20）2，13

（16）0.2 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.（2（本小题满分12分

cosA

b2c2a2 25419 1，……4（Ⅰ）在

中，根据余弦定理得，

2bc

20 2∵A(0，π)，∴A

π.……………6分3（Ⅱ）在C中，根据正弦定理 a

c，……………8分得sinC

csinAa

2 32 19

sinA sinC57……………12分5719(22)（本小题满分12分）（Ⅰ）设抽取高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为x,y,z,由样本按比x y z例分配，得 = =

4，可以解得x=2,y=1,z=1，因此应从高一、高二、高三330 15 15 30+15+15个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人，1人，1人… 4分高一年级数学 第1页(共4页)（Ⅱ（i）从这4名同学中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言的样本空间为：={(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的 8分（i）由（Ⅰ，不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是BC，来自高三年级的是D.因为M={(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，n(M)=10， 10所以p(M)=n(M)10=5 12分n() 12 6（2（本小题满分13分）（Ⅰ）如图，连AC交1 1

O

……………1分∴O是AC的中点，又D是BC的中点，1∴OD是△ABC的中位线，1∴OD//AB …21∵ ABACDODACD1 1 1∴ AB//平面ACD…4分1 1（Ⅱ）∵ ABBCAC,D是BC的中点， ∴ADBC，…5分∵三棱柱ABCABC中，AA平面ABC， ∴BB1 1 1 1

平面ABC∵ADABC，BB1

AD，…6分又BB1

、BC是平面BCCB1 1

内的两条相交直线ADBCCB1 1

…8分ADACD1∴平面AC1

DBCCB1 1

………………9分高一年级数学 第2页(共4页)（Ⅲ）过C作CECD于E，连AE，1CEBCCB1 1由（Ⅱ）知，平面AC1

DBCC1 1

，平面AC1

DBCC1 1

=CD1∴CE⊥平面AC1

D，…………10分AEACAC1

D内的射影,∠CAEACAC1

D所成的角 11分CCDCD1

1BC=a,CC5a52 5a5

=2a，∴C1

D= 1∴CE=CC1C

CDD

2aa=2a1CE∴在直角△CAE中，sin∠CAE=AC=

2a55=555直线AC与平面AC1

D所成角的正弦值为555

…13分（2（本小题满分13分） 解（Ⅰ） m∥n，m=(1, 3)，n=(cosC,sinC)3sinC 3cosC0，即tanc3

…2分C(0,π)

π3…3分（Ⅱ）

为钝角，从而

πA

2π…4分AC AB A 2 33a b c由正弦定理，得 = = = 2 =1，sinA sinB sinC sinπ3asinAbsinBsin2πA…63a+b=sinA+sin(2πA)= 3sin(A+π)3 6高一年级数学 第3页（共4页）π<A

2π

<A+π<5π2 3 3 6 6, ab= 3sinAπ)( 33…8分, 6 2 2（Ⅲ）c2a2b22abcosCa2b2abABC的内切圆周长l2πr4π所以内切圆半径r2…9IABCDE可知CDICEI，又C=π，可得：33CI=4，CD=CE=2 ，33abc=3

……………10分c2=(a+b43)2=a2+b22abcosC=a2+b2ab，ab化简得+48=83(a+b)163 （当且仅当a=b时取等号）abab即163 +480abab48，或ab33ab483

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