圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)_第1页
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-PAGE.z.第四讲圆锥曲线中的定点定值问题一、直线恒过定点问题例1.动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为、,求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设，整理得：同理可得：，又，.例2、点是椭圆上任意一点，直线的方程为，直线过P点与直线垂直，点M〔-1，0〕关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。解：直线的方程为，即设关于直线的对称点的坐标为则，解得直线的斜率为从而直线的方程为：即从而直线恒过定点二、恒为定值问题例3、椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。〔1〕求P点坐标；〔2〕求证直线AB的斜率为定值；解：〔1〕设椭圆方程为，由题意可得，所以椭圆的方程为则，设则点在曲线上，则从而，得，则点的坐标为。〔2〕由〔1〕知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，则PB的直线方程为：由得设则同理可得，则所以直线AB的斜率为定值。例4、动直线与椭圆相交于、两点,点，求证：为定值.解:将代入中得，，所以。课后作业：1.在平面直角坐标系中，椭圆.如下图，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.〔Ⅰ〕求的最小值；〔Ⅱ〕假设∙，求证：直线过定点；解：〔Ⅰ〕由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得:=,即,,所以中点E的坐标为,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.〔Ⅱ〕证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由〔Ⅰ〕知:,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).2.点为曲线上的一点，假设，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？假设存在，求出直线的方程；假设不存在，请说明理由．解：设的中点为，垂直于轴的直线方程为，以为直径的圆

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