特殊的四边形(压轴题)

-.z.特殊的四边形压轴题题一．解答题〔共30小题〕1．，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC〔或它们的延长线〕于点M、N，AH⊥MN于点H．〔1〕如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；〔2〕如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，〔1〕中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；〔3〕如图③，∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．〔可利用〔2〕得到的结论〕2．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．〔1〕求证：D是BC的中点．〔2〕如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，a为半径〔a＞AC〕作弧，两弧分别交于M，N两点；②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．〔1〕请在图中直线标出点F并连接CF；〔2〕求证：四边形BCFD是平行四边形；〔3〕当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．5．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点〔不与A，B重合〕，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．〔1〕当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；〔2〕取CQ的中点M，连接MD，MP，假设MD⊥MP，求AQ的长．6．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．〔1〕假设α=0°，则DF=BF，请加以证明；〔2〕试画一个图形〔即反例〕，说明〔1〕中命题的逆命题是假命题；〔3〕对于〔1〕中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．7．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．〔1〕求证：点F是CD边的中点；〔2〕求证：∠MBC=2∠ABE．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．〔1〕求证：∠BFC=∠BEA；〔2〕求证：AM=BG+GM．9．如图，矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．〔1〕求证：四边形PMEN是平行四边形；〔2〕请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；〔3〕四边形PMEN有可能是矩形吗？假设有可能，求出AP的长；假设不可能，请说明理由．10．如图，正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．11．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．〔1〕假设AE=2，求EC的长；〔2〕假设点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．〔1〕假设OF=4，求FG的长；〔2〕求证：BF=OG+CF．13．〔1〕如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．〔2〕如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1，求三角形DBF的面积．〔3〕如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，求三角形DBF的面积．14．如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．〔1〕求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．〔2〕试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．15．如图，正方形ABCD中，M为BC上除点B、C外的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN．〔1〕求证：BM+DF=MF；〔2〕求∠NCE的度数．16．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点〔不与点A重合〕，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．〔1〕求证：四边形AMDN是平行四边形．〔2〕当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．17．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，∠BAC=∠ACD．〔1〕求证：△ABC≌△CDA；〔2〕假设∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．〔1〕证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．〔2〕假设AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；〔3〕在〔2〕的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．20．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．〔1〕求证：四边形AEBD是矩形；〔2〕当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．〔1〕求证：OE=OF；〔2〕假设CE=12，CF=5，求OC的长；〔3〕当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．22．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．〔1〕判断四边形ACED的形状，并说明理由；〔2〕假设BD=8cm，求线段BE的长．23．如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．〔1〕DE和BF相等吗？请说明理由．〔2〕连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．24．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．〔1〕求证：CE=CF；〔2〕如图2，假设H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．25．如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF，连接AF、CF．〔1〕请你猜测图中与点F有关的一个正确结论；〔2〕证明你的猜测．26．如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=∠B．〔1〕假设菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；〔2〕求证：BF=EF﹣EM．27．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．〔1〕假设AB=4，试求菱形ABCD的面积；〔2〕假设∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．28．〔1〕人教版八年级数学下册92页第14题是这样表达的：如图1，▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，HG∥AB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和；〔2〕如图2，点P为▱ABCD内一点，过点P分别作AD、AB的平行线分别交▱ABCD的四边于点E、F、G、H．S▱BHPE=3，S▱PFDG=5，则S△PAC=；〔3〕如图3，假设①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH〔不重复、无缝隙〕．①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，则菱形EFGH的周长为．29．将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，然后展开，折痕为EF，连接AE、CF，求证：四边形AECF是菱形．30．如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，AE∥DC，EC∥AD，连接DE交AC于点O，〔1〕求证：四边形ADCE是菱形；〔2〕假设AB=AO，求tan∠OCE的值．2017年11月04日数学1的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题〔共30小题〕1．，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC〔或它们的延长线〕于点M、N，AH⊥MN于点H．〔1〕如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；〔2〕如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，〔1〕中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；〔3〕如图③，∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．〔可利用〔2〕得到的结论〕【分析】〔1〕由三角形全等可以证明AH=AB，〔2〕延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，〔3〕分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=*，则MC=*﹣2，NC=*﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得*．【解答】解：〔1〕如图①AH=AB．〔2〕数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM．∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH．〔3〕如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由〔2〕可知，AH=AB=BC=CD=AD．设AH=*，则MC=*﹣2，NC=*﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2∴52=〔*﹣2〕2+〔*﹣3〕2〔6分〕解得*1=6，*2=﹣1．〔不符合题意，舍去〕∴AH=6．【点评】主要考察正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等．2．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第〔1〕问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第〔2〕要求菱形的面积，在第〔1〕问的根底上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】〔1〕证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．〔2〕解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考察了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．〔1〕用SAS证全等；〔2〕假设四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．〔1〕求证：D是BC的中点．〔2〕如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【分析】〔1〕因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；〔2〕可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进展判定．【解答】〔1〕证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE〔1分〕∵E是AD的中点，∴AE=DE．〔2分〕∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．〔3分〕∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；〔4分〕〔2〕四边形AFBD是矩形，〔5分〕证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，〔6分〕∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，〔7分〕∴四边形AFBD是矩形．【点评】此题考察矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，a为半径〔a＞AC〕作弧，两弧分别交于M，N两点；②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．〔1〕请在图中直线标出点F并连接CF；〔2〕求证：四边形BCFD是平行四边形；〔3〕当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．【分析】〔1〕根据题意作出图形即可；〔2〕首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进展判定即可；〔3〕得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进展判定即可．【解答】解：〔1〕如下图：〔2〕∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC，∴D、E为线段AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F，∴EF=ED，∴DF=BC，∵DE∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；〔3〕当∠B=60°时，四边形BCFD是菱形；∵∠B=60°，∴BC=AB，∵DB=AB，∴DB=CB，∵四边形BCFD是平行四边形，∴四边形BCFD是菱形．【点评】此题考察了菱形的判定、平行四边形的判定及根本作图的知识，解题的关键是能够了解各种特殊四边形的判定定理，难度不大．5．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点〔不与A，B重合〕，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．〔1〕当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；〔2〕取CQ的中点M，连接MD，MP，假设MD⊥MP，求AQ的长．【分析】〔1〕根据全等三角形的性质求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；〔2〕方法1、过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME=DF=，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．方法2、利用三角形的外角和∠DMP=90°，得出∠DCP=90°，得出BP=BC=3，再判断出AQ=AP=2即可．【解答】解：〔1〕∵△CDQ≌△CPQ，∴DQ=PQ，PC=DC，∵AB=DC=5，AD=BC=3，∴PC=5，在Rt△PBC中，PB==4，∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，设AQ=*，则DQ=PQ=3﹣*，在Rt△PAQ中，〔3﹣*〕2=*2+12，解得*=，∴AQ=．〔2〕方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°，∴∠PME+∠DMF=90°，∵∠FDM+∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME，∵M是QC的中点，∴DM=QC，PM=QC，∴DM=PM，在△MDF和△PME中，，∴△MDF≌△PME〔AAS〕，∴ME=DF，PE=MF，∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD，∵QM=MC，∴DF=CF=DC=，∴ME=，∵ME是梯形ABCQ的中位线，∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，∴AQ=2．方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，∴DM=CM，∴∠DMQ=2∠DCQ，∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，∴MP=CM，∴∠PMQ=2∠PCQ，∵∠DMP=90°，∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°，∴∠PCD=45°，°∠BCP=90°﹣45°=45°，∴∠BPC=45°=∠BCP，∴BP=BC=3，∵∠CPQ=90°，∴∠APQ=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠AQP=90°﹣45°=45°=∠APQ，∴AQ=AP=2．【点评】此题考察了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等，〔2〕求得△MDF≌△PME是此题的关键．6．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．〔1〕假设α=0°，则DF=BF，请加以证明；〔2〕试画一个图形〔即反例〕，说明〔1〕中命题的逆命题是假命题；〔3〕对于〔1〕中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．【分析】〔1〕利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；〔2〕当α=180°时，DF=BF．〔3〕利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．【解答】〔1〕证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，∴DG=BE，在△DGF和△BEF中，，∴△DGF≌△BEF〔SAS〕，∴DF=BF；〔2〕解：图形〔即反例〕如图2，〔3〕解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；即：假设点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．【点评】此题主要考察正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．7．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．〔1〕求证：点F是CD边的中点；〔2〕求证：∠MBC=2∠ABE．【分析】〔1〕由正方形得到AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，根据AF⊥BE，求出∠AEB=∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可证出点F是CD边的中点；〔2〕延长AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，证△FDG≌△FCB，求出B，F，G共线，再证△ABE≌△CBF，得到∠ABE=∠CBF，根据三角形的外角性质即可求出结论．〔1〕证明：∵正方形ABCD，∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE=90°，∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，∴∠AEB=∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∴∠AEB=∠AFD，∵∠BAD=∠D，AB=AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE=DF，∵E为AD边上的中点，∴点F是CD边的中点；〔2〕证明：延长AD到G．使MG=MB．连接FG，FB，∵BM=DM+CD，∴DG=DC=BC，∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，∴△FDG≌△FCB〔SAS〕，∴∠DFG=∠CFB，∴B，F，G共线，∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD=CD∴AE=CF，∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，∴∠MBC=2∠ABE．【点评】此题主要考察了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，正方形的性质等知识点，综合运用性质进展证明是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．〔1〕求证：∠BFC=∠BEA；〔2〕求证：AM=BG+GM．【分析】〔1〕根据正方形的四条边都相等，AB=BC，又BE=BF，所以△ABE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；〔2〕连接DG，根据正方形的性质，AB=AD，∠DAC=∠BAC=45°，AG是公共边，所以△ABG和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等，BG=DG，对应角相等∠2=∠3，因为BG⊥AE，所以∠BAE+∠2=90°，而∠BAE+∠4=90°，所以∠2=∠4，因此∠3=∠4，根据GM⊥CF和〔1〕中全等三角形的对应角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，所以DGM三点共线，因此△ADM是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以AM=BG+GM．证明：〔1〕在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF〔SAS〕，∴∠BFC=∠BEA；〔2〕连接DG，在△ABG和△ADG中，，∴△ABG≌△ADG〔SAS〕，∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3=∠4〔已证〕，∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．【点评】此题综合性较强，主要考察正方形的性质，三角形全等的判定，三角形全等的性质，第二问中，证明三点共线是解题的关键．9．如图，矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．〔1〕求证：四边形PMEN是平行四边形；〔2〕请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；〔3〕四边形PMEN有可能是矩形吗？假设有可能，求出AP的长；假设不可能，请说明理由．【分析】〔1〕根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．〔2〕当DP=CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．〔3〕四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．解：〔1〕∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；〔2〕当AP=5时，在Rt△PAD和Rt△PBC中，，∴△PAD≌△PBC，∴PD=PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE=PM=PD，ME=PN=PC，∴PM=ME=EN=PN，∴四边形PMEN是菱形；〔3〕四边形PMEN可能是矩形．假设四边形PMEN是矩形，则∠DPC=90°设PA=*，PB=10﹣*，DP=，CP=．DP2+CP2=DC216+*2+16+〔10﹣*〕2=102*2﹣10*+16=0*=2或*=8．故当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形．【点评】此题考察平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．10．如图，正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．【分析】利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出．【解答】解；图中的等腰三角形有：△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，∴DC=DC′=DA，∴△DCC′，△DC′A为等腰三角形，∵∠C′DC=30°，∠ADC=90°，∴∠ADC′=60°，∴△AC′D为等边三角形，∴AC′=AD=AB，∴△C′AB为等腰三角形，∵∠C′AB=90°﹣60°=30°，∴∠CDC′=∠C′AB，在△DCC′和△ABC′中，∴△DCC′≌△ABC′〔SAS〕，∴CC′=C′B，∴△BCC′为等腰三角形．【点评】此题主要考察了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AC′D为等边三角形是解题关键．11．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．〔1〕假设AE=2，求EC的长；〔2〕假设点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．【分析】〔1〕连接EF，根据正方形的性质求出AB=AD，∠B=∠D，然后利用"边角边〞证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到△AEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF，再判断出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；〔2〕方法一：根据邻补角的定义求出∠AGF=60°，然后判断出点A、E、G、F四点共圆，从而得到∠AGE=∠AFE=60°，再求出∠CGE=60°，延长GE交AB的延长线于H，根据两直线平行，内错角相等可得∠H=∠CGE=60°，再求出∠GAF=∠HAE，然后利用"角角边〞证明△AFG和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AH，FG=EH，从而得证；方法二：在AG上截取GH=FG，可得△FGH是等边三角形，根据等边三角形的性质可得FH=FG，∠FHG=60°，再求出∠AFH=∠EFG，然后利用"边角边〞证明△AFH和△EFG全等，根据全等三角形对应边相等AH=GE，然后证明即可．【解答】〔1〕解：如图，连接EF，在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF〔SAS〕，∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=2，∵BE=DF，BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EC=EF=×2=；〔2〕方法一：证明：∵∠AGC=120°，∴∠AGF=180°﹣∠AGC=180°﹣120°=60°，又∵△AEF是等边三角形，〔已证〕∴∠AEF=60°，∴点A、E、G、F四点共圆，∴∠AGE=∠AFE=60°，∴∠CGE=∠AGC﹣∠AGE=120°﹣60°=60°，如图〔2〕①延长GE交AB的延长线于H，∵AB∥CD，∴∠H=∠CGE=60°，∴∠H=∠AGF，又∵∠GAF+∠EAG=∠EAF=60°，∠HAE+∠EAG=∠GAB=60°，∴∠GAF=∠HAE，在△AFG和△AEH中，，∴△AFG≌△AEH〔AAS〕，∴AG=AH，FG=EH，∵∠AGE=60°，∴△AGH是等边三角形，∵AH=GH=EG+EH=EG+FG，即AG=EG+FG．方法二：如图〔2〕②在AG上截取GH=FG，∵∠AGC=120°，∴∠AGF=60°，∴△FGH是等边三角形，∴FH=FG，∠FHG=60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，∴∠AFE=∠GFH=60°，∴∠AFE﹣∠EFH=∠GFH﹣∠EFH，即∠AFH=∠EFG，在△AFH和△BFG中，，∴△AFH≌△EFG〔SAS〕，∴AH=GE，∴AG=AH+GH=EG+FG，即AG=EG+FG．【点评】此题考察了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，〔2〕先求出四点共圆，然后求出∠AGE=∠AFE=60°，然后作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．〔1〕假设OF=4，求FG的长；〔2〕求证：BF=OG+CF．【分析】〔1〕根据条件证明△OCF≌△GCF，由全等的性质就可以得出OF=GF而得出结论；〔2〕在BF上截取BH=CF，连接OH．通过条件可以得出△OBH≌△OCF．可以得出OH=OF，从而得出OG∥FH，OH∥FG，进而可以得出四边形OHFG是平行四边形，就可以得出结论．【解答】〔1〕解：∵CF平分∠OCE，∴∠OCF=∠ECF．∵OC=CG，CF=CF，∵在△OCF和△GCF中，，∴△OCF≌△GCF〔SAS〕．∴FG=OF=4，即FG的长为4．〔2〕证明：在BF上截取BH=CF，连接OH．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠DBC=45°，∴∠BOC=90°，∴∠OCB=180°﹣∠BOC﹣∠DBC=45°．∴∠OCB=∠DBC．∴OB=OC．∵BF⊥CF，∴∠BFC=90°．∵∠OBH=180°﹣∠BOC﹣∠OMB=90°﹣∠OMB，∠OCF=180°﹣∠BFC﹣∠FMC=90°﹣∠FMC，且∠OMB=∠FMC，∴∠OBH=∠OCF．∵在△OBH和△OCF中，∴△OBH≌△OCF〔SAS〕．∴OH=OF，∠BOH=∠COF．∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．∴∠OHF=∠OFH=〔180°﹣∠HOF〕=45°．∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．∵△OCF≌△GCF，∴∠GFC=∠OFC=135°，∴∠OFG=360°﹣∠GFC﹣∠OFC=90°．∴∠FGO=∠FOG=〔180°﹣∠OFG〕=45°．∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．∴OG∥FH，OH∥FG，∴四边形OHFG是平行四边形．∴OG=FH．∵BF=FH+BH，∴BF=OG+CF．【点评】此题考察了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键．13．〔1〕如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．〔2〕如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1，求三角形DBF的面积．〔3〕如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，求三角形DBF的面积．【分析】〔1〕三角形的面积为×底×高，可看出三角形DBF的底和高都是3，可求出解．〔2〕正方形ABCD的面积加上以CD为长CE为宽的长方形的面积减去△ABD，△BEF，△DGF的面积即可求出解．〔3〕两个正方形的面积减去△ABD，△BEF，△GDF的面积可求出解．【解答】解：〔1〕三角形DBF的面积：×3×3=．〔2分〕〔2〕三角形DBF的面积：32+3×1﹣×3×3﹣〔3+1〕×1﹣×2×1=．〔3〕三角形DBF的面积：a2+b2﹣•a•a﹣〔a+b〕•b﹣〔b﹣a〕•b=．〔2分〕结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关，与b无关．【点评】此题考察读图的能力，关键是从图中看出三角形DBF的面积由哪些图形相加减得到．14．如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．〔1〕求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．〔2〕试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．【分析】〔1〕①根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADE=∠CDE，然后利用边角边定理证明△ADE与△CDE全等，再根据全等三角形对应角相等即可证明；②根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠G，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=MG，然后据等边对等角的性质得到∠G=∠MCG，所以∠2=∠MCG，然后根据∠FCG=90°即可证明∠MCE=90°，从而得证；〔2〕根据〔1〕的结论，结合等腰三角形两底角相等∠G=∠GEC，然后利用三角形的内角和定理列式进展计算即可求解．〔1〕证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，在△ADE与△CDE，，∴△ADE≌△CDE〔SAS〕，∴∠1=∠2，②∵AD∥BG〔正方形的对边平行〕，∴∠1=∠G，∵M是FG的中点，∴MC=MG=MF，∴∠G=∠MCG，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠MCG，∵∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°，∴∠ECM=∠2+∠FCM=90°，∴EC⊥MC；〔2〕解：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．理由如下：∵△ECG为等腰三角形，∴∠G=∠CEG，又∵∠1=∠2=∠G，∴在△ECG中，∠G+∠CEG+∠2+∠FCG=180°，即3∠1+90°=180°，解得∠1=30°．故答案为：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．【点评】此题考察了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是综合题，但难度不大，细心分析即可找出解题思路．15．如图，正方形ABCD中，M为BC上除点B、C外的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN．〔1〕求证：BM+DF=MF；〔2〕求∠NCE的度数．【分析】〔1〕截长补短类型题目，延长CD至G使DG=BM，证明△ADG≌△ABM，将BM+DF转化到一条线段GF上，再证明MF=GF；〔2〕过点N作NH⊥EB，证△MHN≌△ABM，再根据线段间的关系得到NH=HC，从而得到△CHN是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得∠NCE=45°．【解答】〔1〕证明：延长CD至G使DG=BM，在△ADG和△ABM中，，∴△ADG≌△ABM〔SAS〕，∴AG=AM，又∵△AMN为等腰直角三角形，∴∠MAN=45°，∴∠FAD+∠MAB=45°，∵∠DAG=∠BAM，∴∠GAF=∠FAD+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠MAN，在在△AFG和△AFM中，，∴△AFG≌△AFM〔SAS〕，∴MF=GF，又∵GF=GD+DF，GD=BM，∴BM+DF=MF；〔2〕解：过点N作NH⊥EB于点H，∠AMB=180°﹣∠AMN﹣∠NMH=90°﹣∠NMH=∠MNH，在△ABM≌△MHN中，，∴△ABM≌△MHN〔AAS〕，∴AB=MH，BM=NH，∵CH=MH﹣MC=AB﹣MC=BC﹣MC=BM=NH，∴△CHN是等腰直角三角形，∴∠NCE=∠NCG=45°．【点评】此题考察了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形，然后确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是此题的难点．16．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点〔不与点A重合〕，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．〔1〕求证：四边形AMDN是平行四边形．〔2〕当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．【分析】〔1〕根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用"角角边〞证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；〔2〕连接BD，求出△ABD是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得DM⊥AB，然后根据矩形的定义证明．〔1〕证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，∵点E是AD中点，∴DE=AE，在△NDE和△MAE中，，∴△NDE≌△MAE〔AAS〕，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；〔2〕AM=1．理由如下：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∵AM=1，AB=2，∴AM=MB=1，∴DM⊥AB，即∠DMA=90°，又∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是矩形．【点评】此题考察了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是此题的突破口．17．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，∠BAC=∠ACD．〔1〕求证：△ABC≌△CDA；〔2〕假设∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．【分析】〔1〕求出∠B=∠ACB，根据三角形外角性质求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC，推出∠DAC=∠ACB，根据ASA证明△ABC和△CDA全等；〔2〕推出AD∥BC，AB∥CD，得出平行四边形ABCD，根据∠B=60°，AB=AC，得出等边△ABC，推出AB=BC即可．【解答】证明：〔1〕∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB，∵AD平分∠FAC，∴∠FAC=2∠CAD，∴∠CAD=∠ACB，∵在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA〔ASA〕；〔2〕∵∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】考察了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考察学生运用性质进展推理的能力，题目比拟好，综合性也比拟强．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．【解答】证明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】此题主要考察了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．〔1〕证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．〔2〕假设AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；〔3〕在〔2〕的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．【分析】〔1〕首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；〔2〕首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；〔3〕首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．〔1〕证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC〔SSS〕，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF〔SAS〕，∴∠AFD=∠AFB，∵∠AFB=∠CFE，∴∠AFD=∠CFE；〔2〕证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；〔3〕当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF〔SAS〕，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBE=∠CDF+∠EFD，∴∠EFD=∠BCD．【点评】此题主要考察了全等三角形的判定与性质，以及菱形的