导数中的零点问题

导数中的零点问题1．已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的取值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围 .2．已知函数（Ⅰ）若的图像与直线相切，求（Ⅱ）若且函数的零点为 ,设函数试讨论函数的零点个数 .（为自然常数）3．已知函数.1）若时，讨论函数的单调性；2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数的取值范围.4．已知函数（为自然对数的底数， ），在处的切线为 .1）求函数的解析式；2）在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱若存在，请求出横坐标为整数的点坐标；若不存在，请说明理由.5．已知函数fxx22lnxaR,a0.a（1）讨论函数fx的单调性；（2）若函数fx有最小值，记为ga，关于a的方程gaa21m有三9a个不同的实数根，求实数m的取值范围.6．已知函数（Ⅰ）求函数

fxx2aaR，e为自然对数的底数).x(ex的极值；（Ⅱ）当a 1时，若直线l:y kx 2与曲线y f x没有公共点，求 k的最大值.7．已知函数（为自然对数的底数） .1）求曲线在点处的切线方程；2）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围；3）设，当函数有且只有一个零点时,求实数的取值范围.8．已知函数.1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.9．已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）是否存在实数，使得有三个相异零点若存在，求出的值；若不存在，说明理由 .10．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围 .11．已知函数.1）讨论的导函数零点的个数；2）若函数的最小值为，求的取值范围.．．1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．13．已知函数 f x ax3 bx2 3xa,b R 在点 1,f1 处的切线方程为y 2 0．（1）求函数 f x的解析式；（2）若经过点 M 2,m可以作出曲线 y f x的三条切线，求实数 m的取值范围．14．已知函数fxx22alnx,aR．x（1）若fx在x2处取极值，求fx在点1,f1处的切线方程；（2）当a0时，若fx有唯一的零点x0，求x0.注x表示不超过x的最大整数，如0.60,2.12,1.52.参考数据：ln20.693,ln31.099,ln51.609,ln71.946.15．已知函数fxexmxlnxm1x；（1）若m1fx在0,上单调递增；，求证：（2）若gx=f'x，试讨论gx零点的个数.16．已知函数fxeax?sinx1，，其中a0．(I)当a1时，求曲线yfx在点0，f0处的切线方程；(Ⅱ)证明：fx在区间0，上恰有2个零点．参考答案1．（Ⅰ）；（Ⅱ）当时, 减区间为；当时，增区间为，减区间为； （Ⅲ）．【解析】【分析】（1）先求出函数 f（x）的定义域和导函数 f′（x），再由两直线垂直的条件可得 f′（1）＝﹣3，求出a的值；2）求出f′（x），对a讨论，由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；（3）由（1）和题意求出g（）的解析式，求出′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0xg进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．【详解】（Ⅰ）定义域，，，∴．（Ⅱ）当，，单减区间为当时令，单增区间为；令，单减区间为当时，单减区间∴当时, 减区间为；当时，增区间为，减区间为；（Ⅲ）令，，令，；令，∴是在上唯一的极小值点，也是唯一的最小值点∴∵在上有两个零点∴只须∴．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、 函数零点等基础知识， 注意求出函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力．2．（1）（2）有两个不同的零点【解析】分析：（Ⅰ）设切点坐标为，故可以关于的方程组，从该方程组解得．（Ⅱ）因，故为减函数，结合可得的零点．又是分段函数，故分别讨论在上的单调性，结合利用零点存在定理得到有两个不同的零点．详解：（Ⅰ）设切点，所以，故，从而又切点在函数上，所以即，故，解得， ．（Ⅱ）若且函数的零点为，因为，，为上的减函数，故．当时，，因为，当时，；当时，，则在上单调递增，上单调递减，则 ,所以在上单调递减．当时，，所以在区间上单调递增．又，且；又，所以函数在区间上存在一个零点， 在区间上存在一个零点．综上，有两个不同的零点．点睛：处理切线问题的核心是设出切点坐标， 因为它的横坐标沟通了切线的斜率和函数在该值处的导数．零点问题需要利用导数明确函数的单调性，再结合零点存在定理才能判断函数零点的个数．3．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间； （2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性， 结合零点存在定理与函数图象， 可筛选出函数在区间上恰有 2个零点的实数的取值范围 .详解：（1）当时，，此时在单调递增；当时，①当时，，恒成立，，此时在单调递增；②当时，令在和上单调递增；在上单调递减；综上：当时，在单调递增；当时，在和上单调递增；在上单调递减；（2）当时，由（ 1）知，在单调递增，，此时在区间上有一个零点，不符；当时，，在单调递增；，此时在区间上有一个零点，不符；当时，要使在内恰有两个零点，必须满足在区间上恰有两个零点时，点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开， ；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、 极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、 极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题， 在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法； 第三个点是围绕导数研究不等式、 方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题， ；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力．4．（1）（2）不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线 .【解析】分析：

(1)

求出

f（x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得

a=2，即可得到

f（x）的解析式；

(2)

令，设图象上一点，，该处的切线

,

又过点则

过作

3条不同的切线，则方程有

3个不同实根

,进而构造，图象与轴有

3个不同交点详解：（1），由题意可知，，即（2），令，设图象上一点，，该处的切线又过点则 ①过作3条不同的切线，则方程①关于有令，图象与轴有 3个不同交点

3个不同实根（1）当，，是单调函数，不可能有 3个零点2）当，或时，当时，所以在单调递减，单调递增，单调递减曲线与轴有个交点，应该满足，，当，又，所以无解3）当，或时，，当时，在单调递减，单调递增，单调递减，应满足，，当，又，无解，综上，不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线.点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决.5．（1）当a0时，fx在0,上递减，当a0时，fx在0,a上递减，在a,上递增；（2）11ln3.ln2ln3m33【解析】试题分析：（1）函数求导得f'x2x2，分a0和a0两种情况讨论即可；ax2（2）结合（1）中的单调性可得最值ga1lna，即malna(a0)，令2(a9aFaalna0)，求导得单调性得值域即可.9a试题解析：（1）f'x2x2，(x0)，ax当a0时，f'x0，知fx在0,上是递减的；当a0时，f'x2xaxax在0,a上是递减的，在a,ax，知f上递增的.（2）由（1）知，a0，fxminfa1lna，即ga1lna，方程gaa21m，即malna29a(a0)，9a令Faalna2(a0)，则F'a1123a13a2a9a29a2，9a知Fa在0,1和2,是递增的，1,2是递减的，3333Fa极大F11ln3，Fa极小F21ln2ln3，3333依题意得1ln2ln3m1ln3.33点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.6．（1）见解析（2）k的最大值为1.【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据 a的正负讨论导函数符号变化规律，最后根据导函数符号确定极值，（2）先将无交点转化为方程1在R上没有实数解，转化为k1x1exxex在R上没有实数解，再利用导数研究gxxex的取值范围，即得k11,1，即得k的取值范围是1e,1，从中确定k的最大值.k1e试题解析：（Ⅰ）fx1ax，e①当a0时，fx0，fx为,上的增函数，所以函数fx无极值.②当a0时，令fx0，得exa，xlna.x,lna，fx0；xlna，fx0.所以fx在,lna上单调递减，在lna,上单调递增，故fx在xlna处取得极小值，且极小值为flnalna1，无极大值.综上，当a0时，函数fx无极小值；当a0，fx在xlna处取得极小值lna，无极大值.（Ⅱ）当a1时，fxx21x.e直线l:ykx2与曲线yfx没有公共点，等价于关于x的方程kx2x21在R上没有实数解，即关于x的方程：exk1x1x*在R上没有实数解.e可化为1①当k1时，方程*0，在R上没有实数解.ex②当k1时，方程*化为1xex.k1令gxxex，则有gx1xex令gx0，得x1，当x变化时，gx的变化情况如下表：x,1-11,gx-0+gx↘1↗e当x1时，gxmin1，同时当x趋于+时，gx趋于+，e从而gx的取值范围为1.[e所以当11,1时，方程*无实数解，ke解得k的取值范围是1e,1.综上，得k的最大值为 1.7．（1）；（2）；（3）或【解析】分析：（1）先求切点的坐标，再利用导数求切线的斜率，最后写出切线的方程 .(2)先分离参数得到，再求函数的最小值，即得实数a的取值范围.(3)先令，再转化为方程有且只有一个实根，再转化为有且只有一个交点，利用导数和函数的图像分析得到a的取值范围

.详解：（1），所以切线的斜率 .又因为，所以切线方程为，所以切线方程为 .（2）由得.当x=0时， 上述不等式显然成立，故只需考虑的情况 .将变形得令，所以令，解得 x＞1；令，解得 x＜1.从而在（0,1）内单调递减，在（ 1，2）内单调递增 .所以,当x=1时， 取得最小值 e-1，从而所求实数的取值范围是 .3）令当时，，函数无零点；当时，，即令，令，则由题可知，当，或时，函数有一个函数零点点睛：第（3）问的转化是一个关键，由于直接研究函数有且只有一个零点比较困难，所以本题把函数的零点转化为方程有且只有一个实根，再转化为有且只有一个交点，这样问题经过一次又一次的转化，大大提高了解题效率，优化了解题 .所以在解答数学难题时，注意数学转化思想的灵活运用 .8．（1）（2）3【解析】试题分析：（1）第（1）问 ，先把问题转化成的图象与的图象有两个交点，再利用导数求出 的单调性，通过图像分析得到 a的取值范围.(2) 第（2）问，先通过函数有两个极值点分析出函数 g(x)的单调性，再通过图像研究得到它的零点个数 .试题解析：（1）令，由题意知的图象与的图象有两个交点 ..当时，，∴在上单调递增；当时，，∴在上单调递减 .∴.又∵时，，∴时，.又∵时，.综上可知，当且仅当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点 .（2）因为函数有两个极值点，由，得有两个不同的根， （设）.由（1）知，，，且，且函数在，上单调递减，在上单调递增，则.令，则，所以函数在上单调递增，故，.又，；，，所以函数恰有三个零点 .点睛：对于零点问题的处理，一般利用图像法分析解答 .先求出函数的单调性、奇偶性、周期性、端点的取值等情况，再画出函数的图像分析函数的零点的个数 .本题第（2）问，就是利用这种方法处理的 .9．（Ⅰ）见解析 .（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（I）求出，分三种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间； （II）假设有三个相异零点，由（Ⅰ）的讨论可知，一定有且的极大值大于 0，极小值小于 0，则取得极大值和极小值时或，注意到此时恒有，则必有为极小值，此时极值点满足，即，还需满足，换元后只需证明即可 .试题解析：（Ⅰ）由题可知 .当，即时，令得，易知在上单调递减，在上单调递增 .当时，令得或 .当，即时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减 .（Ⅱ）不存在 .理由如下：假设有三个相异零点 .由（Ⅰ）的讨论，一定有且的极大值大于 0，极小值小于已知取得极大值和极小值时或，注意到此时恒有，则必有为极小值，此时极值点满足，即，还需满足，又，，故存在使得，即存在使得 .令，即存在满足 .令，，从而在上单调递增，所以，故不存在满足，与假设矛盾，从而不存在使得有三个相异零点10．(1)见解析;(2).

0.

.【解析】试题分析：（1）先求出函数f（x）的定义域和导函数 f′（x），对字母a分类讨论，由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；2）由（1）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．试题解析：1）定义域为，，当时，，当时，由得，时，，时，，∴当时，的单调增区间为，无减区间，当时，的减区间为，增区间为 .（2）当时，，.令，得，，在区间上，令，得递增区间为，令，得递减区间为，所以是在上唯一的极小值点，也是最小值点，所以，又因为在上有两个零点，所以只需，，所以，即.11．(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）先求出，则至少存在一个零点，讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，结合单调性与函数图象可得结果；（2）求出，分五种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用函数的单调性，结合函数图象可排除不合题意的的范围，筛选出符合题意的的范围 .试题解析：（1），令，故在上单调递增，则，因此，当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点；2）当时，，则函数在处取得最小值，当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，使得，若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，又，故不符合题意 .若，则，函数在上单调递增，又，故不符合题意 .若，则，设正数，则，与函数的最小值为矛盾，综上所述，，即.12．（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析： (1)先设切点坐标，根据导数几何意义得切线斜率，根据切点既在切线上也在曲线上，联立方程组可得．再利用导数研究 单调性，并根据零点存在定理确定零点唯一性，即得证结论， (2)先化简不等式为，再分析函数单调性及其值域，结合图形确定讨论a的取法，根据整数解个数确定 a满足条件，解得的范围．试题解析：1）设切点为，则①，和相切，则②，所以，即．令，所以单增．又因为，所以，存在唯一实数，使得，且．所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．2）令，即，所以，令，则，由（1）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，，当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去；当时，，又，所以两个整数解为0，1，即，所以，即，当时，，因为在内大于或等于 1，所以无整数解，舍去，综上， ．13．（1）f x x3 3x；（2） 6 m 2【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数，然后根据导数的几何意义得到关于 a,b的方程组，解方程组求得a,b后可得函数的解析式．（2）设出切点x0,y0，求导数后可得fx03x023，即为切线的斜率，然后根据斜率公式可得3x023x033x0m，即2x036x026m0．若x02函数有三条切线，则函数gx2x36x26m有三个不同的零点，根据函数的极值可得所求范围．试题解析；（1）∵fxax3bx23x，∴fx3ax22bx3，根据题意得{f1ab32a1f13a2b3，解得{b0，0∴函数的解析式为fxx33x.（2）由（1）得fx3x23．设切点为x0,y0，则y0x033x0，fx03x023，故切线的斜率为3x023，由题意得3x023x033x0m，x02即2x036x026m0，∵过点M2,mm2可作曲线yfx的三条切线∴方程2x036x026m0有三个不同的实数解，∴函数gx2x36x26m有三个不同的零点．由于gx6x212x6xx2，∴当x0时，gx0,gx单调递增，当0x2时，gx0,gx单调递减，当x2时，gx0,gx单调递增.∴当x0时，gx有极大值，且极大值为g0m6；当x2时，gx有极小值，且极小值为g2m2．∵函数gx有3个零点，6m0∴{m，20解得6m2．∴实数m的取值范围是 6,2．点睛：利用导数研究方程根的方法1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体形状，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有直观的整体展现．2）研究方程根的情况，也可通过分离参数的方法，转化为两函数图象公共点个数的问题处理，解题时仍要利用数形结合求解．14．（1）7xy100；（2）2【解析】试题分析：（1）求导，利用对应导函数为0求出a值，再利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，讨论导函数的符号变化确定函数的单调性和极值，通过极值的符号确定零点的位置，再利用零点存在定理进行求解 .试题解析：（1）因为fx2x3ax22162a2a7，则x2，所以f40，解得f17，即fx在点1,f1处的切线方程为y37x1，即7xy100；（2）fxx22alnx，fx2x3ax2x0xx2令gx2x3ax2，则gx6x2a由a0,gx0，可得xa6gx在0,a上单调递减，在a,上单调递增66由于g020，故x0,a时，gx06又g1a0，故gx在1,上有唯一零点，设为x1，从而可知fx在0,x1上单调递减，在x1,上单调递增由于fx有唯一零点x0，故x1x0,且x01又2lnx0310......*x031令hx2lnx031，可知hx在1,上单调递增x031由于h22ln21020.7100，h32ln3290，7726故方程*的唯一零点x02,3，故x0215．（1）见解析（2）当m1时，gx没有零点；m1时，gx有一个零点；m1时，gx有两个零点.【解析】试题分析：（1）m1时，fxex1xlnx，f'xex1lnx1，要证fx在0，+上单调递增，只要证：f'x0对x0恒成立，只需证明ex1x（当且仅当x1时取等号）．xlnx1（当且仅当x1时取等号），即可证明f'x0；（2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系，分m1m＞1，m1讨论，即可判断函数gx零点的个数．试题解析：（1）m1时，fxex1xlnx，f'xex1lnx1，要证fx在0，+上单调递增，只要证：f'x0对x0恒成立，令ixex1x，则i'xex11，当x1时，i'x0，当x1i'x0，故ix在，1上单调递减，在1，+上单调递增，时，所以ixi10，即ex1x（当且仅当x1时等号成立），令jxx1lnxx0，则j'xx1x，当0x1时，j'x0，当x1时，j'x0，故jx在（0，1）上单调递减，在1，+上单调递增，所以jxj10，即xlnx1（当且仅当x1时取等号），fxex1lnx1xlnx10（当且仅当x1时等号成立）fx在0，+上单调递增.（2）由gxexmlnxm有g'xexm1x0，显然g'x是增函数，x令g'x00，得ex0m1，emx0ex0，mx0lnx0，x0则x0,x0时，g'x0，xx0,时，g'x0，∴gx在0，x0上是减函数，在x0,上是增函数，∴gx有极小值，gx0ex0mlnx0m12lnx0x0，x0①当m1时，x01，gx极小值=g10，gx有一个零点1；②m1时，0x01，gx0g11010，gx没有零点；③当m1时，x01，gx01010，又gemeemmmmeemm0，又对于函数yexx1，y'ex10时x0，∴当x0时，y1010，即exx1，∴g3me2mln3mm2m1ln3mmm1lnmln3，令tmm1lnmln3，则t'm11m1mm，∵m1，∴t'm0，∴tmt1/r/