自我开放技术教学课件

第11单元自我开放

自我开放亦称自我暴露、自我表露，是指咨询师提出自己的情感、思想、经验与求助者共同分担。第11单元自我开放自我开放亦称自我暴露、自我表露意义：自我开放在面谈中十分重要。原来只强调求助者的自我开放，以后逐渐认识到咨询师的自我开放有和求助者的自我开放相等的价值。自我开放可以建立并且促进咨访关系，能使求助者感到有人分担了他的困扰，感受到咨询师是一个普通的人，能借助于咨询师的自我开放来实现求助者更多的自我开放。意义：自我开放在面谈中十分重要。原来只强调求助者的自我开放，自我开放的两种形式一是咨询师把自己对求助者的体验感受告诉求助者二是咨询师向求助者开放自己的经验、喜怒哀乐自我开放的两种形式一是咨询师把自己对求助者的体验感受告诉求助一种是咨询师把自己对求助者的体验感受告诉求助者。若告知的信息是积极、正面、赞扬性的，则为正信息，如“对于你刚才的坦率，我非常高兴。”一般来说，正信息能使求助者得到正强化，能使求助者愉悦和受到鼓励，促进咨询关系建立和巩固，激励其行为以及相应的行为一种是咨询师把自己对求助者的体验感受告诉求助者。若告知的信息注意咨询师传达的正信息，应该具有：内容是实事求是的；态度是真诚欣赏的；时机是及时合适的；程度是恰到好处的；目标是对方需要的。注意咨询师传达的正信息，应该具有：若表达的是消极的、反面的、批评性的信息，则为负信息，如“你迟到了20分钟，我觉得有些不愉快。或许你有什么原因，你能告诉我吗？”若表达的是消极的、反面的、批评性的信息，则为负信息，如“你迟注意：传达负信息的自我开放时，应注意到它可能会产生的负作用，也就是说，不能只顾自己表达情绪而忽视了体谅求助者的心情，所以，上例中后半句是必要的。注意：传达负信息的自我开放时，应注意到它可能会产生的负作用，第二种形式咨询师暴露与求助者所谈内容有关的个人经验，借自我开放来表明自己理解并愿意分担求助者的情绪，促进求助者更多地自我开放。如，“你所提到的考试前紧张，我以前也有这种体验，每到大考前，我就开始不安、烦躁，晚上睡不好……”第二种形式咨询师暴露与求助者所谈内容有关的个人经验，借自我开案例分析案例分析自我开放四层次：第一层次：咨询师自动疏远求助者，闭口不谈自己地事；如果他提到自己一些事，也只是想达到自己地目的而已；当咨询师谈自己的事时，谈得很过分。第二层次：咨询师不主动谈自己的事，他只直接回答求助者所问的问题，或者回答得很犹豫及草率，结果求助者只知道他自己问的问题而已。第三层次：咨询师真诚地提出自己何求助者有关地态度和经验，他只提出表面的感觉，没有把内在或特殊的感觉说出；求助者了解到咨询师的想法和感觉，可能对他处理问题有帮助。第四层次：在讨论求助者关心的问题时，咨询师也自愿地谈到他自己的思想、经验及感觉。对咨询而言，这做法可能含有危险（可能遭到求助者地拒绝）。自我开放四层次：第一层次：咨询师自动疏远求助者，闭口不谈自己练习练习功能1，增进彼此的信任感2，鼓励求助者进一步吐露欲探讨问题3，对求助者产生示范作用4，协助求助者集中探讨问题的关键5，协助求助者获得启示6，让求助者领悟到咨询师的平凡，愿意对自己的问题负责。功能1，增进彼此的信任感适用时机1，咨询师与求助者建立了良好的关系；2，咨询师确信开放、表露自己的类似经验，有助于求助者问题的解决。适用时机1，咨询师与求助者建立了良好的关系；注意事项1．自我开放需建立在一定的咨访关系上，有一定的谈话背景，如果过于突如其来，可能会超出求助者的心理准备，反而起不到好效果。2．自我开放的内容、深度、广度都应与求助者所涉及的主题有关，适可而止。

3．咨询师的自我开放不是目的而是手段，应始终把重点放在求助者身上。故开放数量不宜多。咨询时间使求助者的。注意事项1．自我开放需建立在一定的咨访关系上，有一定的谈话背4，咨询师不可借自我开放的时机，批评求助者对问题的感觉、想法与行为反应。5，须避免自己成为咨询中的主角，使话题重心转到咨询师身上。6，咨询师的自我开放应协助求助者注意到问题的关键，以及求助者可以运用的资源上。4，咨询师不可借自我开放的时机，批评求助者对问题的感觉、想法自我开放原则总之，自我开放应以有助于促进咨询关系、促进求助者进一步自我开放和深入地了解自己、加强咨询效果为准则。凡是有悖于此，都要避免。

自我开放原则总之，自我开放应以有助于促进咨询关系、促进求助者讨论自我开放中会暴露咨询师的某些个人体验，其中一些可能有消极成分，这是否会影响咨询师在求助者心目中的形象？是否有必要注意？为什么？讨论自我开放技术教学课件第

2章

模糊聚类分析第2章

模糊聚类分析§2.1模糊矩阵

定义1

设R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵.

当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.

当模糊方阵R

=(rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.定义2设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，相等：A

=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；并：A∪B

=(aij∨bij)m×n；交：A∩B

=(aij∧bij)m×n；余：Ac

=(1-

aij)m×n.§2.1模糊矩阵定义1设R=(rij)m×模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：

A∪O=A，A∩O=O；

A∪E=E，A∩E=A；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,

(A∩B)c=Ac∪Bc.模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律：A∪A=A，A∩A模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂

设A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，定义模糊矩阵A与B的合成为：A

°

B

=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊方阵的幂

定义：若A为n阶方阵，定义A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂设A=(aik)合成(°

)运算的性质：性质1：(A°

B)°

C=A°(B°C)；性质2：Ak

°

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A°

(B∪C)=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性质5：A≤B，C≤DA°

C≤B°

D.注：合成(°

)运算关于(∩)的分配律不成立，即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)合成(°)运算的性质：性质1：(A°B)°C=(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°C(A°C)∩(B°C模糊矩阵的转置

定义设A=(aij)m×n,

称AT

=(aijT

)n×m为A的转置矩阵，其中aijT

=aji.转置运算的性质：性质1：(AT)T

=A；性质2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：A≤BAT≤BT.模糊矩阵的转置定义设A=(aij)m×n,证明性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n.证明：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,

记(A°

B)T=(cijT

)n×m,AT

=(aijT

)s×m,

BT

=(bijT

)n×s,

由转置的定义知,

cijT

=cji,aijT

=aji,bijT

=bji.

BT

°

AT=[∨(bikT∧akjT

)]n×m

=[∨(bki∧ajk)]n×m

=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m

=(cijT

)n×m=(A°

B)T.证明性质3：(A°B)T=BT°AT；(A模糊矩阵的

-

截矩阵

定义7设A=(aij)m×n,对任意的∈[0,1]，称A=(aij())m×n,为模糊矩阵A的

-

截矩阵,其中

当aij≥

时，aij()=1；当aij＜时，aij()=0.

显然，A的

-

截矩阵为布尔矩阵.

模糊矩阵的-截矩阵定义7设A=(aij)对任意的∈[0,1]，有性质1：A≤BA

≤B；性质2：(A∪B)

=A∪B，(A∩B)

=A∩B；性质3：(A°

B)

=A

°

B；性质4：(AT

)=(A

)T.下面证明性质1：A≤BA

≤B和性质3.性质1的证明：A≤Baij≤bij；当≤aij≤bij时，aij()=bij()=1；当aij＜

≤bij时，aij()=0,bij()=1；当aij≤bij＜时，aij()=bij()=0；综上所述aij()≤bij()时，故A

≤B.对任意的∈[0,1]，有性质1：A≤BA≤B性质3的证明：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij()=1cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥,bkj≥

k,aik()=bkj()=1∨(aik()∧bkj())=1cij()=0cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜或bkj＜

k,aik()=0或bkj()=0∨(aik()∧bkj())=0所以,cij()=∨(aik()∧bkj()).(A°

B)

=A

°

B.性质3的证明：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n§2.2模糊关系

与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.

设有论域X，Y，XY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.

模糊子集R的隶属函数为映射R:XY[0,1].并称隶属度R(x,y)为

(x,y)关于模糊关系R的相关程度.

特别地，当X=Y时，称之为X上各元素之间的模糊关系.§2.2模糊关系与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系的运算

由于模糊关系R就是XY的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.设R，R1，R2均为从X到Y的模糊关系.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2的隶属函数为

(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隶属函数为(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-

R(x,y).模糊关系的运算由于模糊关系R就是XY的一个

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.模糊关系的矩阵表示

对于有限论域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，则X到Y模糊关系R可用m×n阶模糊矩阵表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)关于模糊关系R的相关程度.

又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与

yj之间要么有关系(rij=1),要么没有关系(rij=0).(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关

例设身高论域X={140,150,160,170,180}(单位：cm),体重论域Y={40,50,60,70,80}(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81例设身高论域X={140,150,160,模糊关系的合成

设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1°

R2是X到Z上的一个关系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.

设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的模糊关系R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊关系的合成设R1是X到Y的关系,R模糊关系合成运算的性质性质1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性质2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；性质4：AB，CDA°CB°D.注：(1)合成(°

)运算关于(∩)的分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.模糊关系合成运算的性质性质1：(A°B)°C=A§2.3模糊等价矩阵模糊等价关系

若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：

(1)自反性：R(x,x)=1；

(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；

(3)传递性：R2R,

则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.

当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时,X上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵,即R满足：I≤R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2≤R.R2≤R(∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).§2.3模糊等价矩阵模糊等价关系若模糊关系R是X模糊等价矩阵的基本定理

定理1

若R具有自反性(I≤R)和传递性(R2≤R),则R2=R.

定理2

若R是模糊等价矩阵,则对任意∈[0,1]，R是等价的Boole矩阵.∈[0,1]，A≤BA≤B；(A°B)=A°B；(AT

)=(A)T

证明如下：

(1)自反性：I≤R∈[0,1]，I≤R

∈[0,1]，I

≤R，即R具有自反性；

(2)对称性：RT=R

(RT)=R

(R)T=R，即R具有对称性；

(3)传递性：R2≤R(R)2≤R，即R具有传递性.模糊等价矩阵的基本定理定理1若R具有自反性(I≤R)

定理3

若R是模糊等价矩阵,则对任意的0≤＜≤1,R所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.

证明：对于论域X={x1,x2,…,xn}，若xi,xj按R分在一类，则有rij()=1rij≥

rij≥

rij()=1，即若xi,xj按R也分在一类.

所以，R所决定的分类中的每一个类是R

决定的分类中的某个类的子类.定理3若R是模糊等价矩阵,则对任意的0≤＜≤1模糊相似关系

若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：

(1)自反性：R(x,x)

=1；

(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)

；则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系.

当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时，X上的一个模糊相似关系R就是模糊相似矩阵，即R满足：

(1)自反性：I≤R

(

rii=1

)；

(2)对称性：RT=R

(

rij=rji

).模糊相似关系若模糊关系R是X上各元素之间的模模糊相似矩阵的性质

定理1

若R是模糊相似矩阵，则对任意的自然数k，Rk也是模糊相似矩阵.

定理2

若R是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k(k≤n)，对于一切大于k的自然数l，恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称Rk为R的传递闭包，记作t(R)=Rk.

上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.平方法求传递闭包t(R)：RR2R4R8R16…模糊相似矩阵的性质定理1若R是模糊相似矩阵，则对§2.4模糊聚类分析数据标准化

设论域X={x1,x2,…,xn}为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi

={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n于是,得到原始数据矩阵为§2.4模糊聚类分析数据标准化设论域X={x平移•标准差变换其中平移•极差变换平移•标准差变换其中平移•极差变换模糊相似矩阵建立方法相似系数法----夹角余弦法模糊相似矩阵建立方法相似系数法----夹角余弦法相似系数法----相关系数法其中相似系数法----相关系数法其中距离法rij=1–cd(xi,xj)其中c为适当选取的参数.海明距离欧氏距离切比雪夫距离d(xi,xj)=∨{|xik-

xjk|,1≤k≤m}距离法rij=1–cd(xi,xj)其中c为Boole矩阵法：

定理：设R是论域X={x1,x2,…,xn}上的一个相似的Boole矩阵，则R具有传递性(当R是等价Boole矩阵时)矩阵R在任一排列下的矩阵都没有形如的特殊子矩阵.Boole矩阵法：定理：设R是论域X={xBoole矩阵法的步骤如下：(1)求模糊相似矩阵的

-截矩阵R

；(2)若R在某一排列下的矩阵有形如的特殊子矩阵,则将R

中上述特殊形式子矩阵的0改为1，直到在任一排列下R中不再产生上述特殊形式子矩阵为止.Boole矩阵法的步骤如下：(1)求模糊相似矩阵的-截矩最佳分类的确定

在模糊聚类分析中，对于各个不同的∈[0,1]，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的.

但在许多实际问题中，需要给出样本的一个具体分类，这就提出了如何确定最佳分类的问题.最佳分类的确定在模糊聚类分析中，对于各个不同的∈[

设X

=(xij)n×m为n个元素m个指标的原始数据矩阵.

为总体样本的中心向量.

对应于值的分类数为r，第j类的样本数为nj，第j类的样本标记为第j类样本的中心向量为作F-

统计量：设X=(xij)n×m为n个元素m个指标的原始数

如果满足不等式F＞F

(r-1,n-r)的F值不止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，或者进一步考查差(F-F

)/F

的大小，从较大者中找一个满意的F值即可.

实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到比较满意的分类.如果满足不等式F＞F(r-1,n-r自我开放技术教学课件第11单元自我开放

自我开放亦称自我暴露、自我表露，是指咨询师提出自己的情感、思想、经验与求助者共同分担。第11单元自我开放自我开放亦称自我暴露、自我表露意义：自我开放在面谈中十分重要。原来只强调求助者的自我开放，以后逐渐认识到咨询师的自我开放有和求助者的自我开放相等的价值。自我开放可以建立并且促进咨访关系，能使求助者感到有人分担了他的困扰，感受到咨询师是一个普通的人，能借助于咨询师的自我开放来实现求助者更多的自我开放。意义：自我开放在面谈中十分重要。原来只强调求助者的自我开放，自我开放的两种形式一是咨询师把自己对求助者的体验感受告诉求助者二是咨询师向求助者开放自己的经验、喜怒哀乐自我开放的两种形式一是咨询师把自己对求助者的体验感受告诉求助一种是咨询师把自己对求助者的体验感受告诉求助者。若告知的信息是积极、正面、赞扬性的，则为正信息，如“对于你刚才的坦率，我非常高兴。”一般来说，正信息能使求助者得到正强化，能使求助者愉悦和受到鼓励，促进咨询关系建立和巩固，激励其行为以及相应的行为一种是咨询师把自己对求助者的体验感受告诉求助者。若告知的信息注意咨询师传达的正信息，应该具有：内容是实事求是的；态度是真诚欣赏的；时机是及时合适的；程度是恰到好处的；目标是对方需要的。注意咨询师传达的正信息，应该具有：若表达的是消极的、反面的、批评性的信息，则为负信息，如“你迟到了20分钟，我觉得有些不愉快。或许你有什么原因，你能告诉我吗？”若表达的是消极的、反面的、批评性的信息，则为负信息，如“你迟注意：传达负信息的自我开放时，应注意到它可能会产生的负作用，也就是说，不能只顾自己表达情绪而忽视了体谅求助者的心情，所以，上例中后半句是必要的。注意：传达负信息的自我开放时，应注意到它可能会产生的负作用，第二种形式咨询师暴露与求助者所谈内容有关的个人经验，借自我开放来表明自己理解并愿意分担求助者的情绪，促进求助者更多地自我开放。如，“你所提到的考试前紧张，我以前也有这种体验，每到大考前，我就开始不安、烦躁，晚上睡不好……”第二种形式咨询师暴露与求助者所谈内容有关的个人经验，借自我开案例分析案例分析自我开放四层次：第一层次：咨询师自动疏远求助者，闭口不谈自己地事；如果他提到自己一些事，也只是想达到自己地目的而已；当咨询师谈自己的事时，谈得很过分。第二层次：咨询师不主动谈自己的事，他只直接回答求助者所问的问题，或者回答得很犹豫及草率，结果求助者只知道他自己问的问题而已。第三层次：咨询师真诚地提出自己何求助者有关地态度和经验，他只提出表面的感觉，没有把内在或特殊的感觉说出；求助者了解到咨询师的想法和感觉，可能对他处理问题有帮助。第四层次：在讨论求助者关心的问题时，咨询师也自愿地谈到他自己的思想、经验及感觉。对咨询而言，这做法可能含有危险（可能遭到求助者地拒绝）。自我开放四层次：第一层次：咨询师自动疏远求助者，闭口不谈自己练习练习功能1，增进彼此的信任感2，鼓励求助者进一步吐露欲探讨问题3，对求助者产生示范作用4，协助求助者集中探讨问题的关键5，协助求助者获得启示6，让求助者领悟到咨询师的平凡，愿意对自己的问题负责。功能1，增进彼此的信任感适用时机1，咨询师与求助者建立了良好的关系；2，咨询师确信开放、表露自己的类似经验，有助于求助者问题的解决。适用时机1，咨询师与求助者建立了良好的关系；注意事项1．自我开放需建立在一定的咨访关系上，有一定的谈话背景，如果过于突如其来，可能会超出求助者的心理准备，反而起不到好效果。2．自我开放的内容、深度、广度都应与求助者所涉及的主题有关，适可而止。

3．咨询师的自我开放不是目的而是手段，应始终把重点放在求助者身上。故开放数量不宜多。咨询时间使求助者的。注意事项1．自我开放需建立在一定的咨访关系上，有一定的谈话背4，咨询师不可借自我开放的时机，批评求助者对问题的感觉、想法与行为反应。5，须避免自己成为咨询中的主角，使话题重心转到咨询师身上。6，咨询师的自我开放应协助求助者注意到问题的关键，以及求助者可以运用的资源上。4，咨询师不可借自我开放的时机，批评求助者对问题的感觉、想法自我开放原则总之，自我开放应以有助于促进咨询关系、促进求助者进一步自我开放和深入地了解自己、加强咨询效果为准则。凡是有悖于此，都要避免。

自我开放原则总之，自我开放应以有助于促进咨询关系、促进求助者讨论自我开放中会暴露咨询师的某些个人体验，其中一些可能有消极成分，这是否会影响咨询师在求助者心目中的形象？是否有必要注意？为什么？讨论自我开放技术教学课件第

2章

模糊聚类分析第2章

模糊聚类分析§2.1模糊矩阵

定义1

设R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵.

当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.

当模糊方阵R

=(rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.定义2设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，相等：A

=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；并：A∪B

=(aij∨bij)m×n；交：A∩B

=(aij∧bij)m×n；余：Ac

=(1-

aij)m×n.§2.1模糊矩阵定义1设R=(rij)m×模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：

A∪O=A，A∩O=O；

A∪E=E，A∩E=A；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,

(A∩B)c=Ac∪Bc.模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律：A∪A=A，A∩A模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂

设A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，定义模糊矩阵A与B的合成为：A

°

B

=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊方阵的幂

定义：若A为n阶方阵，定义A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂设A=(aik)合成(°

)运算的性质：性质1：(A°

B)°

C=A°(B°C)；性质2：Ak

°

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A°

(B∪C)=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性质5：A≤B，C≤DA°

C≤B°

D.注：合成(°

)运算关于(∩)的分配律不成立，即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)合成(°)运算的性质：性质1：(A°B)°C=(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°C(A°C)∩(B°C模糊矩阵的转置

定义设A=(aij)m×n,

称AT

=(aijT

)n×m为A的转置矩阵，其中aijT

=aji.转置运算的性质：性质1：(AT)T

=A；性质2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：A≤BAT≤BT.模糊矩阵的转置定义设A=(aij)m×n,证明性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n.证明：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,

记(A°

B)T=(cijT

)n×m,AT

=(aijT

)s×m,

BT

=(bijT

)n×s,

由转置的定义知,

cijT

=cji,aijT

=aji,bijT

=bji.

BT

°

AT=[∨(bikT∧akjT

)]n×m

=[∨(bki∧ajk)]n×m

=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m

=(cijT

)n×m=(A°

B)T.证明性质3：(A°B)T=BT°AT；(A模糊矩阵的

-

截矩阵

定义7设A=(aij)m×n,对任意的∈[0,1]，称A=(aij())m×n,为模糊矩阵A的

-

截矩阵,其中

当aij≥

时，aij()=1；当aij＜时，aij()=0.

显然，A的

-

截矩阵为布尔矩阵.

模糊矩阵的-截矩阵定义7设A=(aij)对任意的∈[0,1]，有性质1：A≤BA

≤B；性质2：(A∪B)

=A∪B，(A∩B)

=A∩B；性质3：(A°

B)

=A

°

B；性质4：(AT

)=(A

)T.下面证明性质1：A≤BA

≤B和性质3.性质1的证明：A≤Baij≤bij；当≤aij≤bij时，aij()=bij()=1；当aij＜

≤bij时，aij()=0,bij()=1；当aij≤bij＜时，aij()=bij()=0；综上所述aij()≤bij()时，故A

≤B.对任意的∈[0,1]，有性质1：A≤BA≤B性质3的证明：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij()=1cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥,bkj≥

k,aik()=bkj()=1∨(aik()∧bkj())=1cij()=0cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜或bkj＜

k,aik()=0或bkj()=0∨(aik()∧bkj())=0所以,cij()=∨(aik()∧bkj()).(A°

B)

=A

°

B.性质3的证明：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n§2.2模糊关系

与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.

设有论域X，Y，XY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.

模糊子集R的隶属函数为映射R:XY[0,1].并称隶属度R(x,y)为

(x,y)关于模糊关系R的相关程度.

特别地，当X=Y时，称之为X上各元素之间的模糊关系.§2.2模糊关系与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系的运算

由于模糊关系R就是XY的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.设R，R1，R2均为从X到Y的模糊关系.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2的隶属函数为

(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隶属函数为(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-

R(x,y).模糊关系的运算由于模糊关系R就是XY的一个

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.模糊关系的矩阵表示

对于有限论域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，则X到Y模糊关系R可用m×n阶模糊矩阵表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)关于模糊关系R的相关程度.

又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与

yj之间要么有关系(rij=1),要么没有关系(rij=0).(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关

例设身高论域X={140,150,160,170,180}(单位：cm),体重论域Y={40,50,60,70,80}(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81例设身高论域X={140,150,160,模糊关系的合成

设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1°

R2是X到Z上的一个关系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.

设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的模糊关系R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊关系的合成设R1是X到Y的关系,R模糊关系合成运算的性质性质1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性质2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；性质4：AB，CDA°CB°D.注：(1)合成(°

)运算关于(∩)的分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.模糊关系合成运算的性质性质1：(A°B)°C=A§2.3模糊等价矩阵模糊等价关系

若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：

(1)自反性：R(x,x)=1；

(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；

(3)传递性：R2R,

则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.

当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时,X上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵,即R满足：I≤R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2≤R.R2≤R(∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).§2.3模糊等价矩阵模糊等价关系若模糊关系R是X模糊等价矩阵的基本定理

定理1

若R具有自反性(I≤R)和传递性(R2≤R),则R2=R.

定理2

若R是模糊等价矩阵,则对任意∈[0,1]，R是等价的Boole矩阵.∈[0,1]，A≤BA≤B；(A°B)=A°B；(AT

)=(A)T

证明如下：

(1)自反性：I≤R∈[0,1]，I≤R

∈[0,1]，I

≤R，即R具有自反性；

(2)对称性：RT=R

(RT)=R

(R)T=R，即R具有对称性；

(3)传递性：R2≤R(R)2≤R，即R具有传递性.模糊等价矩阵的基本定理定理1若R具有自反性(I≤R)

定理3

若R是模糊等价矩阵,则对任意的0≤＜≤1,R