李雅普洛夫稳定性分析

李亚普洛夫稳定性分析讲解人：123主要内容系统稳定性概述2.

李亚普洛夫稳定性定义3.李雅普诺夫判稳第一方法4.李雅普诺夫判稳第二方法5.李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4控制系统稳定性属于系统的基本结构特性，通常有两种定义：1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIBO)。2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。状态稳定。外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。1系统稳定性概述52）平衡状态——状态空间中满足属性的一个状态。3.系统稳定性系统运动稳定性的实质：自治系统平衡状态的稳定性。它是偏离平衡状态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结构因素使之限制在平衡状态的有限领域内或使之最终返回到平衡状态——系统偏差量过渡过程的收敛性。1）自治系统——不受外部影响即没有输入作用的一类动态系统。即3）受扰运动——自治系统因初始扰动X0引起的一类状态运动。用X0u(t)表示。其呈现为状态空间中从X0出发的一条轨线。62李亚普洛夫稳定性定义2.1系统的平衡状态2.2状态向量范数2.3李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）稳定渐近稳定大范围渐近稳定不稳定72.1系统的平衡状态平衡状态：对所有时间t，如果满足，称xe为系统的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。3、对任意，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。说明：1、对于线性定常系统：A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。89符号称为向量的范数，为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为：2.2状态向量范数①范数表示初始偏差都在以Xe为中心，δ为半径的闭球域S(δ)内.②表示X0u偏差都在以Xe为中心，ε为半径的闭球域S(ε)内10李氏稳定几何表示法：2.3李雅普诺夫意义下稳定性意义1、稳定与一致稳定：（系统的自由响应是有界的）设为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域或任意正实数，都可以找到另一个正实数或球域，当初始状态满足时，对由此出发的X的运动轨迹有，则称平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的。如果与初始时刻无关，则称平衡状态是一致稳定的。11如果与初始时刻无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋向于无穷大时，有：即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。渐近稳定几何表示法：2渐近稳定和一致渐近稳定123、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性，即：对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其渐近稳定的最大范围是整个状态空间。结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范围渐近稳定的。必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。（假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）134、不稳定如果对于某一实数，不论取得多么小，由内出发的轨迹，只要有一个轨迹超出，则称平衡状态xe是不稳定的。不稳定几何表示法：说明：虽然不稳定的轨迹超出了，但并不一定趋向于无穷远处，有可能趋向于外的某个极限环。143李雅普诺夫判稳第一方法李氏第一法判稳思路：（间接法）1、线性定常系统－特征值判断2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化系统的特征值判断15线性定常连续系统的传递函数是，当且仅当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。外部稳定性判据：稳定区不稳定区临界稳定S平面图解表示：3.1线性定常系统的李亚普洛夫第一法输出稳定(有界输入有界输出)的充要条件是传递函数G(S)=C(SI-A)-1B的极点具有负实部。16内部稳定性判据线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的根全部位于s平面的左半部。17[例]设系统方程为：试确定其外部稳定性、内部稳定性。[解]

（1）系统的传递函数为：极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。（2）

求系统的特征方程：系统不是渐近稳定的。1819203.2非线性系统的李亚普洛夫第一法对非线性系统当f(X,t)为与X同维的矢量函数，且对X具有连续偏导数，则可将其作线性化处理，在Xe领域内展开成泰勒级数。式中，R(X)为高价导数项，称为Jacobian矩阵21令ΔX=X–Xe，可得系统的线性化方程

1若A阵的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态X

e是渐近稳定的，且系统稳定性与R(X)无关。

2若A阵的特征值至少一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态X

e是不稳定的3若A阵的特征值至少一个零实部，则原非线性系统的平衡状态Xe稳定性取决于高价导数项R(X)，A阵的特征值无法确定。2223244李雅普诺夫判稳第二方法25264李雅普诺夫判稳第二方法1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即。那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。2）实际系统很难找到一个统一的能量函数。3）虚构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数（李氏函数），根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。4）第二法判稳的过程，只要找到一个正定的标量函数，而是负定的，这个系统就是稳定的。而就是李氏函数。

李氏第二法思路：直接法，用能量观点分析稳定性274.1李雅普诺夫函数说明

1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导数为(半)负定。2）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。3）李氏函数最简单形式是二次型，P是正定实对称方阵。284.2标量函数V(x)的符号性质标量函数V(x)：1）正定性：当且仅当x=0时，才有；对任意非零X，恒有，则为正定。2）负定性：当仅当X=0时，才有；对任意非零x,恒有，则为负定。293）半正定和半负定如果对任意，恒有,则V(X)为半正定。如果对任意，恒有,则V(X)为半负定。5）不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(x)为不定。4）(半)正定和(半)负定间的关系

V(x)为正定，则－V(x)为负定；

V(x)为半正定，则－V(x)为半负定；30314.3二次型标量函数XTPX如果，则称P为实对称矩阵。1、二次型函数V(x)：321）二次型为正定，或实对称矩阵P为正定的充要条件是P的所有主子行列式均为正，即：则P为正定，即V(x)正定。如果2）二次型为负定，或实对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足；（i为偶数）i=1，2，3，…,n。2、二次型函数V(x)正(负)定性判定：赛尔维斯特判据33判据1：设系统的状态方程为为其平衡状态，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：1）是正定的。2）是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着，有，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。4.4稳定性判据34判据2：设系统的状态方程为为其唯一的平衡状态，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：1）是正定的。2）是半负定的。3）对任意初始时刻时的任意状态，在时，除了在时有外，不恒等于零。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着，有，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。说明：恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面。不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定的曲面相切。35判据3：设系统状态方程为：为其平衡状态。如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件：在原点的某一邻域内是正定的，在同样的邻域内是正定的，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。36令，得是系统唯一的平衡状态。2）选取李氏函数选，则正定的

[解]：1）平衡状态3）当，即，得则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由判据1可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。[例]设系统方程为，试确定其平衡状态的稳定性。37[例]设系统方程为：试确定其平衡状态的稳定性。[解]：1）平衡状态令，得是系统唯一的平衡状态。同时有不可能恒为零。2）选李氏函数由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。38[例]判断下列线性系统的平衡状态稳定性：解原点是平衡状态。设，，显见负半定，且在任意非零状态恒为零，故系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。39[例]判断下列线性系统的平衡状态稳定性：解原点是平衡状态。设，，由于与无关，显见非零状态有，故正半定。令，知，，由状态方程知，得全零解，表明非零状态不恒为零,且大于零，故原点不稳定，即线性系统不稳定。40讨论：选择二次型函数为李氏函数。目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统的稳定性负定正定由上一节讨论的判据1知道系统渐近稳定，故有以下判据：且标量函数就是系统的一个李氏函数。判据4：线性连续定常系统：在平衡状态处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：5.1线性定常连续系统的稳定性分析5李雅普诺夫方法在线性系统中的应用411）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取。2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。说明：3）如果除了在时有外，不恒等于零,则由上一节判据2可知，Q可取做半正定。为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：42[例]用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。[解]：1、写出状态空间表达式43状态空间描述为：2、用李氏第二法判稳（令u=0）1）Q能不能取做半正定？2）计算使实对称矩阵P为正定的k值范围由判据4得：44注意：P为正定实对称矩阵。解得：根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则12-2k>0，且k>0所以系统稳定的k值范围为0<k<645[例]试用李雅普诺夫方程判断下列线性系统的稳定性解利用线性定常系统特征值判据，显见特征值为-2、1，故系统不稳定。46令于是有解得47校验的正定性：故不定。系统非渐近稳定，属不稳定。485.2线性定常离散系统的稳定性分析判据5：线性定常离散系统的状态方程为则系统在平衡点Xe=0处渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在对称正定矩阵P，使得：且系统的李雅普诺夫函数是：推导：49当取时：说明2：如果沿任意一解序列不恒等于零，Q也可取为半正定的。说明1：仿线性连续系统，先给出正定对称矩阵Q，从以下方程中解出实对称阵P，然后验证P是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。50试用李氏第二法确定系统在平衡点为渐近稳定的k值范围。根据得：[解]