粘性流体湍流运动课件

第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论1第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本粘性流体湍流流动现象雷诺实验中的层流与湍流流动现象2粘性流体湍流流动现象雷诺实验中的层流与湍流流

§1

湍流运动基本特性现象LES模拟紊流流动3§1湍流运动基本特性现象LES模拟紊

§1

湍流运动基本特性现象超生速湍流DNS模拟4§1湍流运动基本特性现象超生速湍流4（1）概念宏观上，流体微团做不规则随机脉动的流体运动称为湍流。

图1层流遇到障碍物转变为湍流图2龙卷风§1湍流运动基本特性概念5（1）概念宏观上，流体微团做不规则随机脉动的流体运动称为湍流壁面湍流和自由湍流各向同性湍流和剪切湍流拟湍流和真湍流图4圆管中充分发展的湍流流动1图5圆管中充分发展的湍流流动2图3壁面湍流（2）湍流分类

§1湍流运动基本特性分类6壁面湍流和自由湍流图4圆管中充分发展的湍流流动1图5圆

§1湍流运动基本特性基本性质湍流场具有完全不规则的瞬息变化的运动特征；湍流场具有某种规律的统计学特征；湍流场中任意两空间点的物理量的关联特性依赖于不同的湍流结构和边界条件；流体质点的不规则随机运动和分子运动不同。（3）湍流的基本性质7§1湍流运动基本特性基本性质湍流场（4）湍流的研究方法

§1湍流运动基本特性示波图湍流速度和压力脉动8（4）湍流的研究方法§1湍流运动基本特性雷诺平均方法1)时间平均2)空间平均3)系综平均严格的讲,时间平均适合定常流场,空间平均适合均匀流场,系综平均适合非定常非均匀流场.但由于实现整体平均比较困难,一般多采用时间平均的方法,只要适当选取周期T就可以了(高频变化流场除外)在周期T选取合适的条件下,三者等价(5)雷诺平均方法9雷诺平均方法1)时间平均2)空间平均3)系综平均严格雷诺时间平均值

§1湍流运动基本特性雷诺时均值雷诺平均雷诺时间平均性质10雷诺时间平均值§1湍流运动基本特性第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论11第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本直角坐标系雷诺方程§2雷诺方程动量微分方程12直角坐标系雷诺方程§2雷诺方程动量微分方程雷诺方程_分析直角坐标系形式雷诺方程矢量形式雷诺方程不可压缩流体雷诺方程可压缩流体雷诺方程雷诺应力粘性应力正应力13雷诺方程_分析直角坐标系形式雷诺方程矢量形式雷诺方程不可压缩第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论14第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本湍流流动能量方程我们已知湍流瞬时速度可看成是时间平均速度与脉动速度的和。因此平均速度场的动能不等于瞬时速度场的动能的平均值，后者包含脉动速度动能的时间平均值，即因此有:脉动速度湍动能方程:平均速度湍动能方程:瞬时速度湍动能方程:动量方程乘以瞬时速度得到动量方程乘以平均速度得到动量方程乘以平均速度得到15湍流流动能量方程我们已知湍流瞬时速度可看成是时间平均速湍动能方程微分形式积分形式湍动能16湍动能方程微分形式积分形式湍动能16湍流流动控制方程组雷诺方程:考虑了雷诺应力平均能量方程:考虑了湍流脉动影响湍动能方程:新方程质量守恒方程:形式相同17湍流流动控制方程组雷诺方程:考虑了雷诺应力平均能量方程:考虑湍流质量守恒方程18湍流质量守恒方程1819192020

§3湍动能方程瞬时速度动能方程动量方程乘以瞬时速度，然后进行时间平均，可得瞬时速度湍动能方程左边第一项

左边第二项右边第一项右边第二项右边第三项总动能方程21§3湍动能方程瞬时速度动能方程动量方体积为、面积为的流体单元，采用高斯（Gauss）定理，得到总动能方程：

§3湍动能方程总动能方程22体积为、面积为的流体单元，采用高斯（Gauss）定理微分形式：考虑到，可得积分形式是表观湍流剪切应力的对称张量

§3湍动能方程时均速度动能方程23微分形式：考虑到，可得积分脉动速度湍动能方程积分形式微分形式

§3湍动能方程脉动速度动能方程24脉动速度湍动能方程积分形式微分形式§3湍动能方§2雷诺方程动量方程粘性流体动量方程的积分形式25§2雷诺方程动量方程粘性流体动量方程的积分动量方程的微分形式在直角坐标系中可表示为：§2雷诺方程动量微分方程26动量方程的微分形式在直角坐标系中可表示为：§2雷诺方程动量方程的微分等式——流体单位体积的动量平衡如果是不可压缩性流体且无扩散发生，可得这就是所谓的雷诺方程。§2雷诺方程动量微分方程27动量方程的微分等式——流体单位体积的动量平衡如果是不可压动力相似条件：卡门（Kármán）数：卡门（Kármán）相似准则§2雷诺方程卡门相似准则28动力相似条件：卡门（Kármán）数：卡门（Kármán第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论29第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本

§3湍动能方程瞬时速度动能方程动量方程乘以瞬时速度，然后进行时间平均，可得瞬时速度湍动能方程左边第一项

左边第二项右边第一项右边第二项右边第三项总动能方程30§3湍动能方程瞬时速度动能方程动量方体积为、面积为的流体单元，采用高斯（Gauss）定理，得到总动能方程：

§3湍动能方程总动能方程31体积为、面积为的流体单元，采用高斯（Gauss）定理微分形式：考虑到，可得积分形式是表观湍流剪切应力的对称张量

§3湍动能方程时均速度动能方程32微分形式：考虑到，可得积分脉动速度湍动能方程积分形式微分形式

§3湍动能方程脉动速度动能方程33脉动速度湍动能方程积分形式微分形式§3湍动能方第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论34第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本§4混合长度理论图7表明混合长度的湍流速度剖面35§4混合长度理论图7表明混合长度的湍流速度剖面35纵向脉动速度（为负值）当流体质点由于横向脉动而向上运动时当流体质点由平均速度较大的上层运动到下层时一维平均流动的表观湍流剪切应力

§4混合长度理论脉动速度、剪切应力36纵向脉动速度（为负值）当流体质点由于横向脉动而向上运动时在混合层之间存在某距离，该处脉动速度、绝对值相等，这个长度是湍流的一个特征值。可以把它看成是一个相关因子，称之为混合长度。普朗特（Prandtl）

§4混合长度理论混合长度37在混合层之间存在某距离，该处脉动速度、卡门（Kármán）用相似理论引入了另一个概念。他假设如果流动区域内任意一点处质点的关联程度相同，那么混合长度才有真正的物理意义。卡门（Kármán）混合长度表观湍流剪切应力

§4混合长度理论混合长度38卡门（Kármán）用相似理论引入了另一个概念。他假第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论39第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本§5圆管湍流流动图8圆管中的湍流40§5圆管湍流流动图8圆管中的湍流40（1）一维轴对称流动的动量方程

§5圆管湍流流动动量方程41（1）一维轴对称流动的动量方程§5圆管圆柱表面上的粘性力为

§5圆管湍流流动粘性力42圆柱表面上的粘性力为§5圆管湍流流动假设为轴向对称分布，尽管它确实沿径向和轴变化。根据泰勒（Taylor）相关矩理论，我们可以用相同长度的脉动速度乘积积分的平均值代替速度脉动乘积的时间平均值。故有

§5圆管湍流流动微分方程43假设为轴向对称分布，尽管它确实沿径向和轴把计算的积分代回动量方程，两边除以，则得到圆管湍流的微分方程

§5圆管湍流流动微分方程44把计算的积分代回动量方程，两边除以，则得到对于层流底层粘性底层的微分方程变为引入附加假设层流底层的微分方程（2）层流底层的速度分布§5圆管湍流流动层流区速度分布45对于层流底层粘性底层的微分方程变为引入附加假设层流底层（3）湍流区的速度分布普朗特（Prandtl）的混合长度理论是估算雷诺应力的一种简单方法。据此卡门（Kármán）提出了下面的表达式：因此核心湍流区的运动方程为：§5圆管湍流流动湍流区速度分布46（3）湍流区的速度分布因此核心湍流区的运动方程为：§5圆速度分布在圆管的中心线达到最大值，为负值。因此再一次使用摩擦速度，我们得到两边取倒数积分§5圆管湍流流动湍流区速度分布47速度分布在圆管的中心线达到最大值，为负值。因此确定确定湍流区域速度分布湍流的速度剖面必须与层流底层的速度剖面相匹配§5圆管湍流流动湍流区速度分布48确定确定湍流区域速度分布湍流的速度剖面必须与层流底层的速度令则有所以实验确定径向的湍流速度分布§5圆管湍流流动湍流区速度分布49令则有所以实验确定径向的湍流速度分布§5圆管湍流流动横截面上的平均速度§5圆管湍流流动湍流区速度分布50横截面上的平均速度§5圆管湍流流动湍流图9圆管湍流速度分布§5圆管湍流流动湍流区速度分布51图9圆管湍流速度分布§5圆管湍流流动湍第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论52第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本§6湍流边界层流动图10平板上的湍流边界层53§6湍流边界层流动图10平板上的湍流边界层53（1）平板边界层湍流边界层的运动方程：连续性方程：是粘性应力和表观剪切应力的和

§6湍流边界层流动平板边界层54（1）平板边界层湍流边界层的运动方程：连续性方程：是粘利用普朗特（Prandtl）表观湍流剪切应力假设和卡门（Kármán）混合长度定义，得表观湍流剪切应力为：湍流边界层运动方程：

§6湍流边界层流动平板边界层55利用普朗特（Prandtl）表观湍流剪切应力假设和卡门（Ká速度梯度为正值，连续性方程和动量方程修正

§6湍流边界层流动平板边界层56速度梯度为正值，连续性方程和动量方程修正§6湍基于以上假设求积分

§6湍流边界层流动平板边界层57基于以上假设求积分§6湍流边界层流动因此，我们得到边界层卡门（Kármán）动量积分方程根据位移损失厚度和动量损失厚度，边界层卡门（Kármán）动量积分方程可写为：整理得

§6湍流边界层流动平板边界层58因此，我们得到边界层卡门（Kármán）动量积分方程根据位移若将位移厚度与动量厚度的比值定义为表征边界层形态的参数，则有此时边界层积分方程

§6湍流边界层流动平板边界层59若将位移厚度与动量厚度的比值定义为表征边界层形态此时边界层积考察零攻角平板湍流边界层（2）平板湍流边界层的表面摩擦阻力假设边界层速度分布稳定摩擦速度

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力60考察零攻角平板湍流边界层（2）平板湍流边界层的表面摩擦阻力边界层边缘处有上两式相减得

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力61边界层边缘处有上两式相减得§6湍流边代入动量厚度方程式中积分常数

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力将62代入动量厚度方程式中积分常数§6湍流边界层流动福尔克纳（Falkner）给出了一个简单公式利用此式，由动量方程积分整理

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力63福尔克纳（Falkner）给出了一个简单公式利用此式，由动量平板的总阻力系数忽略层流边界层区域，处，动量厚度沿平板流动方向的增长规律为

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力64平板的总阻力系数忽略层流边界层区域，处，动量厚度沿图11平板阻力系数

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力65图11平板阻力系数§6湍流边界层流动第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论66第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本§7环空湍流图12环空湍流速度剖面67§7环空湍流图12环空湍流速度剖面67假设流动是一维的，则：故稳定不可压缩流动的微分方程为：

§7环空湍流运动方程68假设流动是一维的，则：故稳定不可压缩流动的微分方程为：根据混合长度理论，表观剪切应力用混合长度表示为又据卡门（Kármán）假设则运动方程改写为

§7环空湍流运动方程69根据混合长度理论，表观剪切应力用混合长度表示为又据卡门（Ká表观剪切应力用混合长度表示

§7环空湍流表观剪切应力70表观剪切应力用混合长度表示§7环空湍流分四个区间求解动量方程：两个层流底层、一个湍流应力增长区域和一个湍流应力减小区域。图13速度剖面§7环空湍流速度分布71分四个区间求解动量方程：两个层流底层、一个湍流应力增长区域和对于层流底层得到的线性速度分布为：摩擦速度分别为：

§7环空湍流速度分布72对于层流底层得到的线性速度分布为：摩擦速度分别为：区间内，动量方程可写为：

§7环空湍流动量方程73区间内，动量方程可写为：§7环空湍流§7环空湍流动量方程74§7环空湍流动量方程74在层流与湍流界面上，即，处，依据边界匹配条件有

§7环空湍流层流、湍流界面速度75在层流与湍流界面上，即，处，由于，，假定普朗特（Prandtl）假设对两个层流底层都有效，则推出

§7环空湍流层流、湍流界面速度76由于，，假定普朗特（第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论77第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本最常用的无因次量摩阻系数定义为：范宁方程为：

§8圆管湍流摩阻压降摩阻系数78最常用的无因次量摩阻系数定义为：范宁方程为：§8柯罗布鲁克（Colebrook）圆管紊流摩阻系数的经验公式为：克兰德(Cullender)和史密斯(Smith)光滑管道摩阻系数方程为：

§8圆管湍流摩阻压降摩阻系数79柯罗布鲁克（Colebrook）圆管紊流摩阻系数的经验克兰德勃拉休斯（Blassius）给出的近似表达式为：范宁公式变形后可得圆管中紊流的摩阻损失公式（工程单位）为：

§8圆管湍流摩阻压降摩阻系数80勃拉休斯（Blassius）给出的近似表达式为：范宁公式变

§8圆管湍流摩阻压降例题〖例〗一水平直圆管连接两个盛水容器，已知入口、出口压力分别为：，，管径：，管长：。若管中的平均流是定常湍流，水的运动粘性系数为：，求管中流量。81§8圆管湍流摩阻压降例题〖例〗〖解〗设管中平均流速为，不考虑进出口的能量损失，管中阻力系数为则由尼古拉滋阻力公式这样，平均流速与雷诺数、阻力系数需用迭代方法求解。

§8圆管湍流摩阻压降例题82〖解〗设管中平均流速为，不考虑进出口的能量损失，管中阻力系设平均流速51428550.016464.228444.231208550.017004.160744.161188550.017064.153424.1531186550.017064.15342初始值为，根据以上公式及已知条件列出下表由以上计算表可见，平均流速流量为

§8圆管湍流摩阻压降例题83设平均流速51428550.016464.228444.2经常用来求非圆管的等价圆管直径的一个判据是管子的横截面积与其湿周长度之比，称为水力半径。比较狭缝与环空中层流情况下压力损失方程，有：

§8圆管湍流摩阻压降非圆管的换算84经常用来求非圆管的等价圆管直径的一个判据是管子的横截面积与其第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论85第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本§9工程湍流模式理论

湍流理论的核心问题之一是求纳维-斯托克斯方程的统计解。雷诺方程与连续性方程所组成的方程组对速度和压强的时均量是不封闭的，因而无法求解。普朗特(Prandtl)的混合长度理论封闭了雷诺应力，从而可以求解湍流流动。混合长度理论的湍流模型应用较为广泛且十分简单。但这个理论在物理概念上有不足之处。比如：(1)假定流体微团要经过一段距离才发生混合，而实际混合过程是一个连续的过程不符合；(2)按照混合长度的理论，若速度梯度为零则湍流粘性系数为零，这无疑也是不符合实际的。

86§9工程湍流模式理论湍流理论的核心问题之一是求纳维由于混合长度理论的上述缺点，使它在应用方面受到了限制，特别是需要较多地依靠经验来确定混合长度，促使人们发展更高级更准确的封闭形式。

在当今的工程湍流问题中常用的湍流模型有湍流涡粘性系数模型和雷诺应力模型，近年来对多尺度模型和双流体模型的研究也日益被重视。§9工程湍流模式理论87由于混合长度理论的上述缺点，使它在应用方面受到了限制湍动能模型非稳态项对流项扩散项产生项耗散项其中

§9工程湍流模式理论湍动能模型88湍动能模型非稳态项对流项扩散项产生项耗散项其中两方程模型—(是湍流耗散率）§9工程湍流模式理论两方程模型89两方程模型—(是湍流耗散率）§9工程湍流模式理§9工程湍流模式理论方程直角坐标下模型（1）连续性方程：对于系统，由质量守恒定律有：应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时质量守恒方程可表述为：局部质量变化率对流质量通量或90§9工程湍流模式理论方程§9工程湍流模式理论方程直角坐标下模型（1）连续性方程：传导质量通量是由密度梯度引起的，就是所谓的普通扩散，Fick定律给出：为扩散系数。在考虑的单位体积内还有质量源或汇，质量平衡方程则变为：上述个方程相加得：91§9工程湍流模式理论方程§9工程湍流模式理论方程直角坐标下模型（1）连续性方程：运用高斯散度定理，则有质量守恒定律的积分形式：质量守恒定律的微分形式：或对不可压缩流体：92§9工程湍流模式理论方程直角坐标下模型（2）动量方程：（微元体中流体流量的增加率）=（作用在微元体上各种力之和）引入Newon切应力公式及Stokes的表达式，可得3个速度分量的动量方程，以X方向动量为例：

§9工程湍流模式理论方程

93直角坐标下模型（2）动量方程：（微元体中流体直角坐标下模型（2）动量方程：上式中：：流体的动力粘度；：流体的第2分子粘度，对气体可取-2/3。

§9工程湍流模式理论方程

94直角坐标下模型（2）动量方程：上式中：：直角坐标下模型（2）动量方程：对于不可压缩流体可得动量方程为：取

§9工程湍流模式理论方程

95直角坐标下模型（2）动量方程：对于不可压缩流直角坐标下模型（2）动量方程：同理可得方向的动量方程：

§9工程湍流模式理论方程

96直角坐标下模型（2）动量方程：同理可得直角坐标下模型（3）湍动能方程：左边：

§9工程湍流模式理论方程

控制方程：97直角坐标下模型（3）湍动能方程：左边：§直角坐标下模型（3）湍动能方程：右边：

§9工程湍流模式理论方程

控制方程：98直角坐标下模型（3）湍动能方程：右边：§§9工程湍流模式理论方程直角坐标下模型（3）湍动能方程：99§9工程湍流模式理论方程直角坐标下模型（4）耗散率方程：左边：

§9工程湍流模式理论方程

控制方程：100直角坐标下模型（4）耗散率方程：左边：§直角坐标下模型（4）耗散率方程：右边：

§9工程湍流模式理论方程

控制方程：101直角坐标下模型（4）耗散率方程：右边：§§9工程湍流模式理论方程直角坐标下模型（4）可得耗散率方程：102§9工程湍流模式理论方程§9工程湍流模式理论方程圆柱坐标下模型（1）连续性方程：推导过程如同直角坐标：103§9工程湍流模式理论方程圆柱坐标下模型（2）动量方程：方向动量方程：

§9工程湍流模式理论方程

104圆柱坐标下模型（2）动量方程：方向动量方程：圆柱坐标下模型（2）动量方程：方向动量方程：（推导过程同直角坐标）

§9工程湍流模式理论方程

105圆柱坐标下模型（2）动量方程：方向动量方程：圆柱坐标下模型（2）动量方程：同理可得方向的动量方程：

§9工程湍流模式理论方程

106圆柱坐标下模型（2）动量方程：同理可得方圆柱坐标下模型（2）动量方程：同理可得方向的动量方程：

§9工程湍流模式理论方程

107圆柱坐标下模型（2）动量方程：同理可得方§9工程湍流模式理论方程圆柱坐标下模型（3）湍动能方程：（推导过程如同直角坐标系）108§9工程湍流模式理论方程§9工程湍流模式理论方程圆柱坐标下模型（4）耗散率方程：（推导过程如同直角坐标系）109§9工程湍流模式理论方程雷诺应力模型——由各向异性的前提出发，直接封闭和求解雷诺应力的输运方程，计算这些应力分量。

§9工程湍流模式理论应力分量110雷诺应力模型——由各向异性的前提出发，直接封闭和求解雷诺应力第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论111第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本粘性流体湍流流动现象雷诺实验中的层流与湍流流动现象112粘性流体湍流流动现象雷诺实验中的层流与湍流流

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湍流运动基本特性现象LES模拟紊流流动113§1湍流运动基本特性现象LES模拟紊

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湍流运动基本特性现象超生速湍流DNS模拟114§1湍流运动基本特性现象超生速湍流4（1）概念宏观上，流体微团做不规则随机脉动的流体运动称为湍流。

图1层流遇到障碍物转变为湍流图2龙卷风§1湍流运动基本特性概念115（1）概念宏观上，流体微团做不规则随机脉动的流体运动称为湍流壁面湍流和自由湍流各向同性湍流和剪切湍流拟湍流和真湍流图4圆管中充分发展的湍流流动1图5圆管中充分发展的湍流流动2图3壁面湍流（2）湍流分类

§1湍流运动基本特性分类116壁面湍流和自由湍流图4圆管中充分发展的湍流流动1图5圆

§1湍流运动基本特性基本性质湍流场具有完全不规则的瞬息变化的运动特征；湍流场具有某种规律的统计学特征；湍流场中任意两空间点的物理量的关联特性依赖于不同的湍流结构和边界条件；流体质点的不规则随机运动和分子运动不同。（3）湍流的基本性质117§1湍流运动基本特性基本性质湍流场（4）湍流的研究方法

§1湍流运动基本特性示波图湍流速度和压力脉动118（4）湍流的研究方法§1湍流运动基本特性雷诺平均方法1)时间平均2)空间平均3)系综平均严格的讲,时间平均适合定常流场,空间平均适合均匀流场,系综平均适合非定常非均匀流场.但由于实现整体平均比较困难,一般多采用时间平均的方法,只要适当选取周期T就可以了(高频变化流场除外)在周期T选取合适的条件下,三者等价(5)雷诺平均方法119雷诺平均方法1)时间平均2)空间平均3)系综平均严格雷诺时间平均值

§1湍流运动基本特性雷诺时均值雷诺平均雷诺时间平均性质120雷诺时间平均值§1湍流运动基本特性第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论121第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本直角坐标系雷诺方程§2雷诺方程动量微分方程122直角坐标系雷诺方程§2雷诺方程动量微分方程雷诺方程_分析直角坐标系形式雷诺方程矢量形式雷诺方程不可压缩流体雷诺方程可压缩流体雷诺方程雷诺应力粘性应力正应力123雷诺方程_分析直角坐标系形式雷诺方程矢量形式雷诺方程不可压缩第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论124第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本湍流流动能量方程我们已知湍流瞬时速度可看成是时间平均速度与脉动速度的和。因此平均速度场的动能不等于瞬时速度场的动能的平均值，后者包含脉动速度动能的时间平均值，即因此有:脉动速度湍动能方程:平均速度湍动能方程:瞬时速度湍动能方程:动量方程乘以瞬时速度得到动量方程乘以平均速度得到动量方程乘以平均速度得到125湍流流动能量方程我们已知湍流瞬时速度可看成是时间平均速湍动能方程微分形式积分形式湍动能126湍动能方程微分形式积分形式湍动能16湍流流动控制方程组雷诺方程:考虑了雷诺应力平均能量方程:考虑了湍流脉动影响湍动能方程:新方程质量守恒方程:形式相同127湍流流动控制方程组雷诺方程:考虑了雷诺应力平均能量方程:考虑湍流质量守恒方程128湍流质量守恒方程181291913020

§3湍动能方程瞬时速度动能方程动量方程乘以瞬时速度，然后进行时间平均，可得瞬时速度湍动能方程左边第一项

左边第二项右边第一项右边第二项右边第三项总动能方程131§3湍动能方程瞬时速度动能方程动量方体积为、面积为的流体单元，采用高斯（Gauss）定理，得到总动能方程：

§3湍动能方程总动能方程132体积为、面积为的流体单元，采用高斯（Gauss）定理微分形式：考虑到，可得积分形式是表观湍流剪切应力的对称张量

§3湍动能方程时均速度动能方程133微分形式：考虑到，可得积分脉动速度湍动能方程积分形式微分形式

§3湍动能方程脉动速度动能方程134脉动速度湍动能方程积分形式微分形式§3湍动能方§2雷诺方程动量方程粘性流体动量方程的积分形式135§2雷诺方程动量方程粘性流体动量方程的积分动量方程的微分形式在直角坐标系中可表示为：§2雷诺方程动量微分方程136动量方程的微分形式在直角坐标系中可表示为：§2雷诺方程动量方程的微分等式——流体单位体积的动量平衡如果是不可压缩性流体且无扩散发生，可得这就是所谓的雷诺方程。§2雷诺方程动量微分方程137动量方程的微分等式——流体单位体积的动量平衡如果是不可压动力相似条件：卡门（Kármán）数：卡门（Kármán）相似准则§2雷诺方程卡门相似准则138动力相似条件：卡门（Kármán）数：卡门（Kármán第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论139第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本

§3湍动能方程瞬时速度动能方程动量方程乘以瞬时速度，然后进行时间平均，可得瞬时速度湍动能方程左边第一项

左边第二项右边第一项右边第二项右边第三项总动能方程140§3湍动能方程瞬时速度动能方程动量方体积为、面积为的流体单元，采用高斯（Gauss）定理，得到总动能方程：

§3湍动能方程总动能方程141体积为、面积为的流体单元，采用高斯（Gauss）定理微分形式：考虑到，可得积分形式是表观湍流剪切应力的对称张量

§3湍动能方程时均速度动能方程142微分形式：考虑到，可得积分脉动速度湍动能方程积分形式微分形式

§3湍动能方程脉动速度动能方程143脉动速度湍动能方程积分形式微分形式§3湍动能方第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论144第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本§4混合长度理论图7表明混合长度的湍流速度剖面145§4混合长度理论图7表明混合长度的湍流速度剖面35纵向脉动速度（为负值）当流体质点由于横向脉动而向上运动时当流体质点由平均速度较大的上层运动到下层时一维平均流动的表观湍流剪切应力

§4混合长度理论脉动速度、剪切应力146纵向脉动速度（为负值）当流体质点由于横向脉动而向上运动时在混合层之间存在某距离，该处脉动速度、绝对值相等，这个长度是湍流的一个特征值。可以把它看成是一个相关因子，称之为混合长度。普朗特（Prandtl）

§4混合长度理论混合长度147在混合层之间存在某距离，该处脉动速度、卡门（Kármán）用相似理论引入了另一个概念。他假设如果流动区域内任意一点处质点的关联程度相同，那么混合长度才有真正的物理意义。卡门（Kármán）混合长度表观湍流剪切应力

§4混合长度理论混合长度148卡门（Kármán）用相似理论引入了另一个概念。他假第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论149第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本§5圆管湍流流动图8圆管中的湍流150§5圆管湍流流动图8圆管中的湍流40（1）一维轴对称流动的动量方程

§5圆管湍流流动动量方程151（1）一维轴对称流动的动量方程§5圆管圆柱表面上的粘性力为

§5圆管湍流流动粘性力152圆柱表面上的粘性力为§5圆管湍流流动假设为轴向对称分布，尽管它确实沿径向和轴变化。根据泰勒（Taylor）相关矩理论，我们可以用相同长度的脉动速度乘积积分的平均值代替速度脉动乘积的时间平均值。故有

§5圆管湍流流动微分方程153假设为轴向对称分布，尽管它确实沿径向和轴把计算的积分代回动量方程，两边除以，则得到圆管湍流的微分方程

§5圆管湍流流动微分方程154把计算的积分代回动量方程，两边除以，则得到对于层流底层粘性底层的微分方程变为引入附加假设层流底层的微分方程（2）层流底层的速度分布§5圆管湍流流动层流区速度分布155对于层流底层粘性底层的微分方程变为引入附加假设层流底层（3）湍流区的速度分布普朗特（Prandtl）的混合长度理论是估算雷诺应力的一种简单方法。据此卡门（Kármán）提出了下面的表达式：因此核心湍流区的运动方程为：§5圆管湍流流动湍流区速度分布156（3）湍流区的速度分布因此核心湍流区的运动方程为：§5圆速度分布在圆管的中心线达到最大值，为负值。因此再一次使用摩擦速度，我们得到两边取倒数积分§5圆管湍流流动湍流区速度分布157速度分布在圆管的中心线达到最大值，为负值。因此确定确定湍流区域速度分布湍流的速度剖面必须与层流底层的速度剖面相匹配§5圆管湍流流动湍流区速度分布158确定确定湍流区域速度分布湍流的速度剖面必须与层流底层的速度令则有所以实验确定径向的湍流速度分布§5圆管湍流流动湍流区速度分布159令则有所以实验确定径向的湍流速度分布§5圆管湍流流动横截面上的平均速度§5圆管湍流流动湍流区速度分布160横截面上的平均速度§5圆管湍流流动湍流图9圆管湍流速度分布§5圆管湍流流动湍流区速度分布161图9圆管湍流速度分布§5圆管湍流流动湍第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论162第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本§6湍流边界层流动图10平板上的湍流边界层163§6湍流边界层流动图10平板上的湍流边界层53（1）平板边界层湍流边界层的运动方程：连续性方程：是粘性应力和表观剪切应力的和

§6湍流边界层流动平板边界层164（1）平板边界层湍流边界层的运动方程：连续性方程：是粘利用普朗特（Prandtl）表观湍流剪切应力假设和卡门（Kármán）混合长度定义，得表观湍流剪切应力为：湍流边界层运动方程：

§6湍流边界层流动平板边界层165利用普朗特（Prandtl）表观湍流剪切应力假设和卡门（Ká速度梯度为正值，连续性方程和动量方程修正

§6湍流边界层流动平板边界层166速度梯度为正值，连续性方程和动量方程修正§6湍基于以上假设求积分

§6湍流边界层流动平板边界层167基于以上假设求积分§6湍流边界层流动因此，我们得到边界层卡门（Kármán）动量积分方程根据位移损失厚度和动量损失厚度，边界层卡门（Kármán）动量积分方程可写为：整理得

§6湍流边界层流动平板边界层168因此，我们得到边界层卡门（Kármán）动量积分方程根据位移若将位移厚度与动量厚度的比值定义为表征边界层形态的参数，则有此时边界层积分方程

§6湍流边界层流动平板边界层169若将位移厚度与动量厚度的比值定义为表征边界层形态此时边界层积考察零攻角平板湍流边界层（2）平板湍流边界层的表面摩擦阻力假设边界层速度分布稳定摩擦速度

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力170考察零攻角平板湍流边界层（2）平板湍流边界层的表面摩擦阻力边界层边缘处有上两式相减得

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力171边界层边缘处有上两式相减得§6湍流边代入动量厚度方程式中积分常数

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力将172代入动量厚度方程式中积分常数§6湍流边界层流动福尔克纳（Falkner）给出了一个简单公式利用此式，由动量方程积分整理

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力173福尔克纳（Falkner）给出了一个简单公式利用此式，由动量平板的总阻力系数忽略层流边界层区域，处，动量厚度沿平板流动方向的增长规律为

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力174平板的总阻力系数忽略层流边界层区域，处，动量厚度沿图11平板阻力系数

§6湍流边界层流动表面摩擦阻力175图11平板阻力系数§6湍流边界层流动第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论176第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本§7环空湍流图12环空湍流速度剖面177§7环空湍流图12环空湍流速度剖面67假设流动是一维的，则：故稳定不可压缩流动的微分方程为：

§7环空湍流运动方程178假设流动是一维的，则：故稳定不可压缩流动的微分方程为：根据混合长度理论，表观剪切应力用混合长度表示为又据卡门（Kármán）假设则运动方程改写为

§7环空湍流运动方程179根据混合长度理论，表观剪切应力用混合长度表示为又据卡门（Ká表观剪切应力用混合长度表示

§7环空湍流表观剪切应力180表观剪切应力用混合长度表示§7环空湍流分四个区间求解动量方程：两个层流底层、一个湍流应力增长区域和一个湍流应力减小区域。图13速度剖面§7环空湍流速度分布181分四个区间求解动量方程：两个层流底层、一个湍流应力增长区域和对于层流底层得到的线性速度分布为：摩擦速度分别为：

§7环空湍流速度分布182对于层流底层得到的线性速度分布为：摩擦速度分别为：区间内，动量方程可写为：

§7环空湍流动量方程183区间内，动量方程可写为：§7环空湍流§7环空湍流动量方程184§7环空湍流动量方程74在层流与湍流界面上，即，处，依据边界匹配条件有

§7环空湍流层流、湍流界面速度185在层流与湍流界面上，即，处，由于，，假定普朗特（Prandtl）假设对两个层流底层都有效，则推出

§7环空湍流层流、湍流界面速度186由于，，假定普朗特（第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论187第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本最常用的无因次量摩阻系数定义为：范宁方程为：

§8圆管湍流摩阻压降摩阻系数188最常用的无因次量摩阻系数定义为：范宁方程为：§8柯罗布鲁克（Colebrook）圆管紊流摩阻系数的经验公式为：克兰德(Cullender)和史密斯(Smith)光滑管道摩阻系数方程为：

§8圆管湍流摩阻压降摩阻系数189柯罗布鲁克（Colebrook）圆管紊流摩阻系数的经验克兰德勃拉休斯（Blassius）给出的近似表达式为：范宁公式变形后可得圆管中紊流的摩阻损失公式（工程单位）为：

§8圆管湍流摩阻压降摩阻系数190勃拉休斯（Blassius）给出的近似表达式为：范宁公式变

§8圆管湍流摩阻压降例题〖例〗一水平直圆管连接两个盛水容器，已知入口、出口压力分别为：，，管径：，管长：。若管中的平均流是定常湍流，水的运动粘性系数为：，求管中流量。191§8圆管湍流摩阻压降例题〖例〗〖解〗设管中平均流速为，不考虑进出口的能量损失，管中阻力系数为则由尼古拉滋阻力公式这样，平均流速与雷诺数、阻力系数需用迭代方法求解。

§8圆管湍流摩阻压降例题192〖解〗设管中平均流速为，不考虑进出口的能量损失，管中阻力系设平均流速51428550.016464.228444.231208550.017004.160744.161188550.017064.153424.1531186550.017064.15342初始值为，根据以上公式及已知条件列出下表由以上计算表可见，平均流速流量为

§8圆管湍流摩阻压降例题193设平均流速51428550.016464.228444.2经常用来求非圆管的等价圆管直径的一个判据是管子的横截面积与其湿周长度之比，称为水力半径。比较狭缝与环空中层流情况下压力损失方程，有：

§8圆管湍流摩阻压降非圆管的换算194经常用来求非圆管的等价圆管直径的一个判据是管子的横截面积与其第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本特性第二节雷诺方程第三节湍动能方程第四节混合长度理论第五节圆管湍流流动第六节湍流边界层流动第七节环空湍流第八节圆管湍流摩阻压降第九节工程湍流模式理论195第六章粘性流体湍流运动第一节湍流运动基本§9工程湍流模式理论

湍流理论的核心问题之一是求纳维-斯托克斯方程的统计解。雷诺方程与连续性方程所组成的方程组对速度和压强的时均量是不封闭的，因而无法求解。普朗特(Prandtl)的混合长度理论封闭了雷诺应力，从而可以求解湍流流动。混合长度理论的湍流模型应用较为广泛且十分简单。但这个理论在物理概念上有不足之处。比如：(1)假定流体微团要经过一段距离才发生混合，而实际混合过程是一个连续的过程不符合；(2)按照混合长度的理论，若速度梯度为零则湍流粘性系数为零，这无疑也是不符合实际的。

196§9工程湍流模式理论湍流理论的核心问题之一是求纳维由于混合长度理论的上述缺点，使它在应用方面受到了限制，特别是需要较多地依靠经验来确定混合长度，促使人们发展更高级更准确的封闭形式。

在当今的工程湍流问题中常用的湍流模型有湍流涡粘性系数模型和雷诺应力模型，近年来对多尺度模型和双流体模型的研究也日益被重视。§9工程湍流模式理论197由于混合长度理论的上述缺点，使它在应用方面受到了限制湍动能模型非稳态项对流项扩散项产生项耗散项其中

§9工程湍流模式理论湍动能模型198湍动能模型非稳态项对流项扩散项产生项耗散项其中两方程模型—(是湍流耗散率）§9工程湍流模式理论两方程模型199两