结构力学第三章课件

第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾§3-2静定多跨梁§3-3静定刚架§3-4静定桁架§3-5组合结构§3-6三铰拱§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选§3-8刚体体系的虚功原理(1)内力的概念和表示(2)内力的计算方法(3)内力与荷载的关系(4)分段叠加法画弯矩图第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾(1)内1典型杆件截面上的内力

1.轴力（FN）横截面上应力在截面法线（杆轴）方向上的投影（或横截面上正应力）的代数和称为轴力。

3.弯矩（M）横截面上应力（或横截面上正应力）对截面中性轴的力矩代数和称为弯矩。2.剪力（FQ）横截面上应力在截面切线（垂直于杆轴）方向上投影（或横截面上切应力）的代数和称为剪力。

典型杆件截面上的内力1.轴力（FN）横截面上应力在截面法线2材料力学规定轴力FN

--拉力为正剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正内力图-表示结构上各截面内力值的图形横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值FN+dFNFNFQ+dFQFQMM+dMdxdx材料力学规定内力图-表示结构上各截面内力值的图形FN+dF3弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号FNBAFNABFQBAFQAB结构力学规定MABMBAA端B端杆端内力内力图弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号FNBAFNA4内力的计算方法

梁的内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用“截开、代替、平衡”六个字来描述：1.

截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体；隔离体与其周围的约束要全部截断。2.

代替----用截面内力代替该截面的应力之和；用相应的约束力代替截断约束。3.

平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。内力的计算方法梁的内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用5内力的计算方法利用截面法可得出以下结论：1.

轴力等于截面一边的所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和；2.

剪力等于截面一边所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；3.

弯矩等于截面一边所有外力对截面形心力矩的代数和。以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。内力的计算方法利用截面法可得出以下结论：6截面法求指定C截面内力截代平：截面法求指定C截面内力截代平：7载荷F、剪力Q、弯矩M之间的平衡关系载荷F、剪力Q、弯矩M之间的平衡关系8载荷集度、剪力和弯矩关系：荷载与内力的关系剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小

弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。FPq(x)q(y)1、微分关系dxFN+dFNFNFQ+dFQFQMM+dMq(y)q(x)载荷集度、剪力和弯矩关系：荷载与内力的关系剪力图上某点处的切9微分关系的应用---作FQ图和

M图（用于定形）2)分布力q(y)=常数时1)分布力q(y)=0时（无分布载荷）FQ图：M图：——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。微分关系的应用---作FQ图和M图（用于定形）2)分布10a.当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凸的二次曲线。b.当分布力的方向向下时FQ图：M图：M(x)——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。FQ图：M图：M(x)a.当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；b.当分112、增量关系

2、增量关系12一般为斜直线水平线抛物线(下凸)有极值为零处有尖角(向下）

有突变(突变值=

FP)有极值如变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线()一般水平线抛物有为有尖有突有如无变化有突变剪力图弯矩图梁133、积分关系

有连续分布荷载（荷载垂直于杆轴）的直杆段AB，B端的剪力等于A端的剪力减去该段分布荷载图的面积。B端的弯矩等于A端的弯矩加上该段剪力图的面积。梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值3、积分关系有连续分布荷载（荷载垂直于杆轴）的直杆段AB，14荷载与内力之间的关系

1.微分关系2.增量关系3.积分关系荷载与内力之间的关系1.微分关系2.增量关系3.积分关系15分段叠加法画弯矩图

1.叠加原理：几个力对杆件的作用效果，等于每一个力单独作用效果的总和。（若结构在线弹性阶段且为小变形即梁的跨长改变忽略不计时）=+=+分段叠加法画弯矩图1.叠加原理：几个力对杆件的作用效果，等162.分段叠加原理：上述叠加法同样可用于绘制结构中任意直杆段的弯矩图。（4）（2）（1）（3）注意：1、叠加是弯矩的代数值相加，也即图形纵坐标相加。2、每叠加一个弯矩图，都以紧前一次弯矩图外包线为新基线，并由此基线为所叠加的弯矩图的拉压分界线。例：下图为一简支梁，AB段的弯矩可以用叠加法进行计算2.分段叠加原理：上述叠加法同样可用于绘制结构中任意直杆段的17FP

aFPlabABABlqql2

2应熟记常用单跨梁的弯矩图FPaFPlabABABlqql2应熟记常用单跨梁的弯矩图18BAFlabFablBAqlql2

8BAFlabFabBAqlql219mBAablml

alm

blmmlmBAablmambmm20作图示梁的弯矩图和剪力图FA=58kNFB=12kN164618201826MEqMFFQFFQE10单位:kNm.FQ

图(kN

)作图示梁的弯矩图和剪力图FA=58kNFB=12kN1621作业3-1e3-1h作业3-1e22第三章静定结构受力分析

§3-1梁的内力计算回顾§3-2静定多跨梁§3-3静定刚架§3-4静定桁架§3-5组合结构§3-6三铰拱§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选§3-8刚体体系的虚功原理(1)静定多跨梁的受力特点(2)静定多跨梁的实例分析第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾(1)静23静定多跨梁实例基、附关系层叠图多跨静定梁简图基本部分--不依赖其它部分而能独立地维持其几何不变性的部分。

附属部分--依赖基本部分的存在才维持几何不变的部分。静定多跨梁实例基、附关系层叠图多跨静定梁简图基本部分24组成静定多跨梁的部件组成例子请画出叠层关系图组成组请画出叠层关系图25分析顺序：先附属部分，后基本部分。

荷载仅在基本部分上，只基本部分受力，附属部分不受力；荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。F2F1F1F2因此,计算静定多跨梁时,应遵守以下原则:1.先计算附属部分后计算基本部分。2.将附属部分的支座反力反向指向，作用在基本部分上，把多跨梁拆成多个单跨梁，依次解决。3.将单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。4.弯矩图和剪力图的画法同单跨梁相同。分析顺序：先附属部分，后基本部分。F2F1F1F2因此,计算26静定多跨梁的分析步骤(1)结构分析和绘层次图此梁的组成顺序为先固定梁AB，再固定梁BD，最后固定梁DE。由此得到层次图。(2)计算各单跨梁的支座反力

计算是根据层次图，将梁拆成单跨梁（c）进行计算，以先附属部分后基本部分，按顺序依次进行，求得各个单跨梁的支反力。静定多跨梁的分析步骤(1)结构分析和绘层次图(2)计算各单跨27(3)画弯矩图和剪力图

根据各梁的荷载和支座反力，依照弯矩图和剪力图的作图规律，分别画出各个梁的弯矩图及剪力图，再连成一体，即得到相应的弯矩图和剪力图。剪力图弯矩图(3)画弯矩图和剪力图剪力图弯矩图28例101810125叠层关系图先附属，后基本，先求控制弯矩，再区段叠加作内力图例101810125叠层关系图先附属，后基本，作内力图29例1899其他段仿此计算+99.5122.5554FN

图（kN）例1899其他段仿此计算+99.5122.5554FN图（30例：图示多跨静定梁全长受均布荷载q，各跨长度均为

l。欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相等，试确定铰B、E

的位置。由MC=AB跨中弯矩可求得x例：图示多跨静定梁全长受均布荷载q，各跨长度均为由MC=AB31结构力学第三章课件32例：作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。1m4m1m4m4m例：作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。1m4m133作图示多跨静定梁的内力图。如何求支座B反力?作图示多跨静定梁的内力图。如何34qqql请大家作图示斜梁内力图。qqql请大家作图示35作业3-5b3-6作业3-5b36第三章静定结构受力分析

§3-1梁的内力计算回顾§3-2静定多跨梁§3-3静定刚架§3-4静定桁架§3-5组合结构§3-6三铰拱§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选§3-8刚体体系的虚功原理(1)刚架的特点和分类(2)刚架的支座反力(3)刚架内力图(4)刚架内力图实例分析第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾(1)刚37刚架：由直杆组成具有刚结点的结构。刚架的特点:1.

杆件少，内部空间大，便于利用。2.

刚结点处各杆不能发生相对转动，因而各杆件夹角始终保持不变3.

刚结点处可以承受和传递力矩，因而在刚架中弯矩是主要内力。4.

刚架中的各杆通常情况下为直杆，制作加工较方便。当组成刚架的各杆的轴线和外力都在同一平面时，称作平面刚架。下图所示为一平面刚架（桁架）当B、C处为铰结点时为几何可变体，要使结构为几何不变体，则需增加杆AC或把B、C变为刚结点。刚架：由直杆组成具有刚结点的结构。当B、C处为铰结点时为几何38刚架的分类（1）（2）（3）刚架在工程中得到广泛的应用，静定平面刚架的类型有：1.

悬臂刚架：常用于火车站站台（图（1））、雨棚等。2.

简支刚架：常用于起重机的刚支架及渡槽横向计算所取的简图等（图（2））；3.

三铰刚架：常用于小型厂房、仓库、食堂等结构（图（3））。刚架的分类（1）（2）（3）刚架在工程中得到广泛的应用39

刚架的内力分析刚架是由若干单个杆件刚结而成，其内力分析仍用单跨梁内力分析的基本方法进行。刚架中杆件多为梁式杆，截面上内力有弯矩、剪力、轴力，内力图应绘M图，Q图、N图。一般取各杆段两端面为控制截面，先逐杆用截面法计算控制截面的内力，再按分段叠加法绘图。

内力图绘制规定：M图画在受拉侧，不标正负号；Q图、N图各分别画在杆轴两侧，必须标明正负号。Q、N的符号规定与梁相同：剪力顺时针转向为正；轴力拉为正

杆端内力的表示方法：内力符号右下角两个角标表示杆件，第一个角标表示求内力的截面，第二个角标表示该截面所在杆的另一端。刚架的内力分析刚架是由若干单个杆件刚40静定刚架计算步骤：1)求支座反力：悬臂刚架、简支刚架的支反力可利用整体平衡方程直接求出。三铰刚架的支座反力的求法主要是充分利用平衡条件来进行计算，分析时经常采用先整体后拆开的方法。2)求各杆端内力：（取半边结构研究）3)分段绘各杆内力图：（按内力图特征）4)校核内力图：（由杆件、结点处平衡条件）计算时应注意：1)内力的正负号2)结点处有不同的杆端截面3)正确选取隔离体4)结点处平衡静定刚架计算步骤：41作弯矩图试作图示刚架的内力图计算简图求反力求控制弯矩作弯矩图试作图示刚架的内力图计算简图求反力求控制弯矩42求控制剪力求控制轴力作剪力图作轴力图求控制剪力求控制轴力作剪力图作轴力图43试作图示刚架的内力图48kN42kN22kN1264814419212(单位：kNm).求反力试作图示刚架的内力图48kN42kN22kN126484448kN22kN12648144192(单位：kNm).FQFN试作图示刚架的内力图42kN48kN22kN12648144192(单位：kN45只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等，且同侧受拉。试作图示刚架的内力图FAyFByFBx快速作弯矩图求反力304080只有两杆汇交的刚结点，若结试作图示刚架的内力图FAyFByF4640kN80kN30kNDE30FNEDFNEB30FNDCFNDEFQFN408040kN80kN30kNDE30FNEDFNEB30F47例：作图示三铰刚架的内力图。解:1.求支座反力：由整体平衡：由左半边刚架平衡：

2.绘弯矩图:AD杆:DC杆:DC杆中点：右半边计算:由M图可知：对称结构作用正对称荷载，弯矩图正对称。例：作图示三铰刚架的内力图。解:1.求支座反力：由整体平衡483.绘剪力图：AD杆：DC杆：右半边计算：由Q图可知：对称结构作用正对称荷载，剪力图反对称。4.绘轴力图：求各杆端轴力：5.校核内力图：由N图可知：对称结构作用正对称荷载，轴力图正对称。3.绘剪力图：AD杆：DC杆：右半边计算：由Q图可知：对称结49例：作出下图所示简支刚架的内力图。

(1)求支反力以整体为脱离体ΣMA=0

FyB=75kN(向上)ΣMB=0FyA=45kN(向上)

ΣFX=0

FxA=10kN(向左)

例：作出下图所示简支刚架的内力图。(1)求支反力以整体为50(2)作弯矩图：逐杆分段计算控制截面的弯矩，用作图规律和叠加法作弯矩图。AC杆：MAC=0

MCA=40kN•m(右侧受拉)AC杆上无荷载，弯矩图为直线。CD杆：MDC=0

MCD=20kN•m(左侧受拉)CD杆上无荷载，弯矩图为直线。CE杆：MCE=60kN•m(下侧受拉)MEC=0kN•m

CE杆上为均布荷载，弯矩图为抛物线。利用叠加法求出中点截面弯矩MCE中=30+60=90kN•m弯矩图

(2)作弯矩图：逐杆分段计算控制截面的弯矩，用作图规律和叠加51(3)作剪力图：利用截面法和反力直接计算各杆端剪力。QCD=10kN

QCA=10kN

QCE=45kN

QEC=-75kN

QEB=0kN

剪力图一般为直线,求出杆端剪力后直接画出剪力图。AC杆上无荷载，剪力为常数。CE杆上有均布荷载，剪力图为斜线。剪力图

(3)作剪力图：利用截面法和反力直接计算各杆端剪力。QCD=52轴力图

(4)作轴力图：利用平衡条件，求各杆端轴力。NCA=NAC=-45kN；NEB=NBE=-75kN各杆上均无切向荷载，轴力均为常数。轴力图(4)作轴力图：利用平衡条件，求各杆端轴力。53(5)校核：结点C各杆端的弯矩、剪力、轴力，满足平衡条件：ΣMC=60-20-40=0ΣFX=10-10=0ΣFy=45-45=0同理，结点E处也满足平衡方程。(5)校核：结点C各杆端的弯矩、剪力、轴力，满足平衡条件：54有基、附关系的刚架基本部分附属部分有基、附关系的刚架基本部分附属部分55弯矩图如何?试作图示刚架的弯矩图基本部分附属部分弯矩图如何?试作图示刚架的弯矩图基本附属56结构力学第三章课件57少求或不求反力绘制弯矩图1.弯矩图的形状特征（微分关系）2.刚结点力矩平衡3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合)4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)5.区段叠加法作弯矩图

根据少求或不求反力绘制弯矩图1.弯矩图的形状特征（微分关系）根58FPFPFPFPaFPaFPaFPaFPa2FP2FPFPaFPFPFPFPaFPaFPaFPaFPa2FP2FPFPa59FByFAyFAx602401804040

M图kNm.FByFAyFAx602401804040M图.60FPaaaaaFPaFPaFPaFPa2FPa平行2FPFPaaaaaFPaFPaFPaFPa2FPa平行2FP61a/2a/2aFPa

/2FPaFPaFPaFPa/2FP2FP4

m4

m2

m2

m888628已知结构的弯矩图，试绘出其荷载。反问题13a/2a/2aFPa/2FPaFPaFPaFPa/2FP62作业3-9b3-10作业3-9b63第三章静定结构受力分析

§3-1梁的内力计算回顾§3-2静定多跨梁§3-3静定刚架§3-4静定桁架§3-5组合结构§3-6三铰拱§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选§3-8刚体体系的虚功原理(1)静定平面桁架的特点(2)结点法(3)截面法(4)联合法第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾(1)静64桁架结构（trussstructure）主桁架纵梁

横梁桁架结构（trussstructure）主桁架纵梁65经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷载作用的直杆、铰结体系”的工程结构.特性：只有轴力，而没有弯矩和剪力。轴力又称为主内力（primaryinternalforces）。上弦杆下弦杆竖杆斜杆跨度桁高

弦杆腹杆节间d经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷载作用的直杆、铰结66静定平面桁架的特点静定平面桁架：由若干直杆在两端铰接组成的静定结构。桁架在工程实际中得到广泛的应用，但是，结构力学中的桁架与实际有差别，主要进行了以下简化：(1)所有结点都是无摩擦的理想铰；(理想铰)(2)各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；(平直杆)(3)荷载和支座反力都作用在结点上。（力结点）桁架的受力特点：桁架的杆件都在两端受轴向力，因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。静定平面桁架的特点静定平面桁架：由若干直杆在两端铰接组成的67桁架的分类简单桁架：由一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图1、2）联合桁架：由几个简单桁架，按两刚片法则或三刚片法则所组成的几何不变体。（图3）复杂桁架：不属于前两种的桁架。（图4）图1

图2

图3

图4

桁架的分类简单桁架：由一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体68结点法结点法：截取桁架的一个结点为脱离体计算桁架内力的方法。

(2)每一个结点只能求解两根杆件的内力，因此，结点法最适用于计算简单桁架。(3)由于静定桁架的自由度为零，即W=2j-b=0，于是：b=2j。因此，利用j个结点的2j个独立的平衡方程，便可求出全部b个杆件或支杆的未知力。(1)结点上的荷载、反力和杆件内力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法是利用平面汇交力系求解内力的。结点法结点法：截取桁架的一个结点为脱离体计算桁架内力的方法。69结点法在建立平衡方程式，一般将斜杆的轴力F分解为水平分力Fx和竖向分力Fy。此三个力与杆长l及其水平投影lx和竖向投影ly存在以下关系：分析时,各个杆件的内力一般先假设为受拉,当计算结果为正时,说明杆件受拉;为负时,杆件受压。利用结点法最好计算简单桁架，且能够求出全部杆件内力。结点法在建立平衡方程式，一般将斜杆的轴力F分解为水平分力Fx70对称结构在对称或反对称的荷载作用下，结构的内力和变形（也称为反应）必然对称或反对称，这称为对称性（symmetry）。1.对称性的利用

如果结构的杆件轴线对某轴（空间桁架为某面）对称，结构的支座也对同一条轴对称的静定结构，则该结构称为对称结构（symmetricalstructure）。计算简化

在用结点法进行计算时，注意以下三点，可使计算简化对称结构在对称或反对称的荷载作用下，结构的内力和变形（也称为71FAyFBy

简化结果对称结构受正对称荷载作用,内力和反力均为对称:E点无荷载,红色杆不受力FAyFBy72FAyFBy

对称结构受反对称荷载作用,内力和反力均为反对称:垂直对称轴的杆不受力FAyFBy对称结构受反对称荷载作用,内力73对称轴处的杆不受力对称轴处的杆不受力742、结点单杆：在同一结点的所有内力为未知的各杆中,除结点单杆外,其余杆件均共线。结点单杆主要有以下两种情况：1、结点只包含两个未知力杆，且此二杆不共线，则每杆都是单杆2、结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，则第三杆是单杆结点单杆的性质及应用1、结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。2、当结点无荷载时，则单杆内力必为零(零杆)。3、如果依靠拆除结点单杆的方法可将整个桁架拆完，则此桁架可应用结点法按照每次只解一个未知力的方式求出各杆内力。2、结点单杆：在同一结点的所有内力为未知的各杆中,除结点单杆75解:由于桁架和荷载都是对称的，相应的杆的内力和支座反力也必然是对称的，故计算半个桁架的内力即可。（1）计算支座反力FR1=FR2=10KN（2）计算各杆内力由于只有结点1、8处仅包含两个未知力，故从结点1开始计算，逐步依次进行。例：求出下图所示桁架所有杆件的轴力。解:由于桁架和荷载都是对称的，相应的杆的内力和支座反力也必然76结点1列平衡方程：由比例关系可得：结点1列平衡方程：由比例关系可得：77结点2列平衡方程：结点2列平衡方程：78结点3列平衡方程（为什么?）

再利用比例关系，可求：结点3列平衡方程（为什么?）再利用比例关系，可求：79校核校核：利用结点4校核校核：利用结点4802)由三杆构成的结点，有两杆共线且无荷载作用时，则不共线的第三杆内力必为零，共线的的两杆内力相等，符号相同F1=F2，F3=03.零杆

：零内力杆简称零杆1)不共线的两杆结点，当无荷载作用时，则两杆内力为零F1=F2=0。

FN2=0FN1=0FN=0FN=02)由三杆构成的结点，有两杆共线且无荷载作用时，则不共线的第814)由四根杆件构成的X型结点，各杆两两共线，在无荷载作用时，则共线的内力相等，且符号相同F1=F2，F3=F4。3)由四根杆件构成的K型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧且夹角相同，在无荷载作用时，则不共线的两杆内力相等，符号相反F3=-F4。

讨论：利用零杆判断，上个例题可以直接判断出哪几根杆的内力是零？最终只求几根杆即可？4)由四根杆件构成的X型结点，各杆两两共线，在无荷载作用时，82FP/2FP/2FPFPFP判断结构中的零杆FP/2FP/2FPFPFP判断结构中的零杆83几点结论：（1）结点法适用于简单桁架，从最后装上的结点开始计算。（2）每次所取结点的未知力不能多于两个。（3）计算前先判断零杆。几点结论：（1）结点法适用于简单桁架，从最后装上的结点（2）84截面法截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。(1)截面法最适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。在计算中，轴力也一般假设为拉力。(2)为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力。(3)另外，有时轴力的计算可直接计算，可以不进行分解。截面法截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结85截面单杆：如果某一截面所截的内力为未知的各杆中,除某一根杆件外，其余各杆都汇交于一点(或平行),此杆称为该截面的单杆。截面单杆主要在以下情况中：1、截面只截断三根杆，此三杆不完全汇交也不完全平行，则每一根杆均是截面单杆。2、截面所截杆数大于3，除一根杆外，其余杆件均汇交于一点（或平行），则这根杆为截面单杆。性质：截面单杆的内力可由本截面相应的隔离体的平衡方程直接求出。（平衡方程的选取：坐标轴与未知力平行、矩心选在未知力的交点处。）截面单杆：如果某一截面所截的内力为未知的各杆中,除某一根杆件86

相交情况FPFPFPFPFPFPa为截面单杆相交情况FPFPFPFPFPFP87平行情况FPFPb为截面单杆平行情况FPFPb为截面单杆88例题分析求出图示杆件1、2、3的内力。例题分析求出图示杆件1、2、3的内力。891.求支反力1.求支反力90将桁架沿1-1截开，选取右半部分为研究对象，截开杆件处用轴力代替，列平衡方程：2.截面法将桁架沿1-1截开，选取右半部分为研究对象，截开杆件2.截面91计算结果无误!问题：如果用左半部分如何计算？3.校核计算结果无误!问题：如果用左半部分如何计算？3.校核92m6mABFPFPFPFPFP1234试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。2.5FP2.5FPmmnnFN1=-3.75FPFN2=3.33FPFN3=-0.50FPFN4=0.65FPm6mABFPFPFPFPFP1234试用截面法求图示桁架指93FPFPFPFN2FN1FN3FAyFPFP用截面法灵活截取隔离体123FPFPFPFN2FN1FN3FAyFPFP用截面法灵活截取94以下几种情况中就是几种截面单杆的例子

以下几种情况中就是几种截面单杆的例子95联合法在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时需要将这两种方法进行联合，从而进行解题，解题的关键是从几何构造分析，利用结点单杆、截面单杆，使问题可解。联合法在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能96例:如图所示的桁架中，当求出支反力后，只有A、B两个结点可解，其余各个结点均包含有三个未知杆件，不能利用结点法进行求解，但是，m-m截开后，由三根截面单杆，可利用截面法直接求解，当求出这三根杆件后，其它的结点也就可解，进而求出全部内力。

对于联合桁架，先用截面法将联合杆件的内力求出，然后再对各简单桁架进行分析。例:如图所示的桁架中，当求出支反力后，只有A、B两个结点可解97结构力学第三章课件98几点结论：(1)用截面法求内力时，一般截断的杆件一次不能多于三个(特殊情况例外)。(2)对于简单桁架，求全部杆件内力时，应用结点法；若只求个别杆件内力，用截面法。(3)对于联合桁架，先用截面法将联合杆件的内力求出，然后再对各简单桁架进行分析。几点结论：(1)用截面法求内力时，一般截断的99作业3-18e作业3-18e100第三章静定结构受力分析

§3-1梁的内力计算回顾§3-2静定多跨梁§3-3静定刚架§3-4静定桁架§3-5组合结构§3-6三铰拱§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选§3-8刚体体系的虚功原理第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾1013.5静定组合结构组合结构是由链杆和梁式杆所组成的、常用于房屋建筑中的屋架、吊车梁以及桥梁的承重结构。计算组合结构时，先分清各杆内力性质，并进行几何组成分析，对可分清主次结构的，按层次图，由次要结构向主要结构的顺序，逐步进行内力分析；对无主次结构关系的，则需在求出支座反力后，先求联系桁杆的内力，再分别求出其余桁杆以及梁式杆的内力，最后，作出其M、FQ和FN图。FPFPqAABBCC3.5静定组合结构组合结构是由链杆和梁式杆所组成的、常用于102需强调的是，要注意区分链杆和梁式杆。二者的内力不同，粱式杆的内力有：轴力、剪力、弯矩。在建立平衡方程计算中，要尽可能避免截取由链杆和梁式杆相连的结点。FPAAAABBBBCCC链杆链杆梁式杆梁式杆（全铰）（组合结点）需强调的是，要注意区分链杆和梁式杆。二者的内力不同，粱式杆的103例：下图所示一组合结构，根据分析画出内力图。分析：1.支反力可直接计算（如图）例：下图所示一组合结构，根据分析画出内力图。分析：1.支反1042.由于AE、CE、BG、CG不是链杆，A、B点是不可直接计算。为了求解，根据对称性，取半结构，以C为矩心可直接求出DF杆内力。依次求各杆内力，计算方法与以前所讲相同。0202.由于AE、CE、BG、CG不是链杆，A、B点是不可直接计1052020106第三章静定结构受力分析

§3-1梁的内力计算回顾§3-2静定多跨梁§3-3静定刚架§3-4静定桁架§3-5组合结构§3-6三铰拱§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选§3-8刚体体系的虚功原理(1)三铰拱的支座反力和内力(2)三铰拱的压力线(3)三铰拱的合理轴线第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾(1)三107拱式结构的特征及其应用定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。

特点：（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。（2）可用抗压性能强的砖石材料。（3）用料省、自重轻、跨度大。（4）构造复杂，施工费用高。拱式结构的特征及其应用定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用108拱(arch)一、简介曲梁杆轴线为曲线在竖向荷载作用下不产生水平反力。拱--杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生水平推力的结构。FP三铰拱拱(arch)曲梁杆轴线为曲线拱--杆轴线为曲FP三铰拱109拱的有关名称跨度拱趾铰拱趾铰顶铰拱高斜拱拉杆拱平拱拱肋拱肋拱的有关名称跨度拱趾铰拱趾铰顶铰拱高斜拱拉杆拱平拱拱肋拱肋110拱的有关名称三铰拱两铰拱无铰拱静定拱超静定拱超静定拱拱的有关名称三铰拱两铰拱无铰拱静定拱超静定拱超静定拱111三铰拱的内力计算一、支座反力的计算1、竖向支座反力拱的竖向反力与相当简支梁的竖向反力相同FP1FP1FP2FP2l/2l/2l/2l/2lla1

a2A

ABBCCKKFHAFHBFVAFVBxyf三铰拱的内力计算一、支座反力的计算1、竖向支座反力拱的竖向1122、水平支座反力FHA=FHB

=FH

由三铰拱整体平衡条件，可得取铰C左边隔离体，由，可得FP1FP1FP2FP2l/2l/2l/2l/2lla1

a2A

ABBCCKKFHAFHBFVAFVBxyf2、水平支座反力FHA=FHB=FH 由三铰拱整113小结(1)三铰拱支座反力计算公式为(2)支座反力与l和f（亦即三个铰的位置）以及荷载情况有关，而与拱轴线形式无关。(3)推力FH与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果f→0，则FH

→∞，这时，三铰在一直线上，成为几何可变体系。该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。小结(1)三铰拱支座反力计算公式为(2)支座反力与l和114二、内力的计算试求指定截面K的内力，约定弯矩以拱内侧受拉为正(1)由∑MK=0，得(2)由∑FR=0，得(3)由∑FS=0，得l/2l/2l/2l/2llFP1FP1FP1FP2FP2FP1xxyyFHAFHAAAABBFVAFVAFVBFHBCCKKKa2a10KR

SFHj

M二、内力的计算试求指定截面K的内力，约定弯矩以拱内侧受拉为115小结

(1)三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）(2)由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项），拱与相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。(3)在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为正、压力为负）。小结(1)三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）(116(4)内力与拱轴线形式(y,j)有关。(5)关于φ值的正负号：左半跨φ取正号；右半跨φ取负号，即cos(-φ)=cosφ，sin(-φ)=-sinφ。三、内力图的绘制一般可将拱沿跨长分为若干等分（如8、12、20…等分），应用公式分别计算其内力值（注意：各截面的x、y和φ均不相同，可列表计算），然后逐点描迹，连成曲线。弯矩绘在受拉侧，剪力图和轴力图须注明正负号。(4)内力与拱轴线形式(y,j)有关。(5)关于φ值的117【例】已知拱轴线方程，试作图示三铰拱的内力图。解：(1)计算支座反力

q=10kN/m

FP=40kN

AABCDEf=4m

xyyE

FH=60kN

FH=60kNjE

4m4m4m4ml=16mFVA=70kN

FVB=50kNBCDEq=10kN/mFP=40kN16m【例】已知拱轴线方程118(2)计算各截面几何参数（y和φ）1)求y

将l和f代入拱轴线方程得2)求φ代入各x值，即可查得相应的φ值。为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面，求出各截面的y、φ等值，列于表中。q=10kN/m

FP=40kN

AABCDEf=4m

xyyE

FH=60kN

FH=60kNjE

4m4m4m4ml=16mFVA=70kN

FVB=50kNBCDEq=10kN/mFP=40kN16m(2)计算各截面几何参数（y和φ）1)求y将l和f119(3)计算内力以截面E为例，计算其内力值。将x=12m代入y和式中，得yE=3m，=-0.5，查得φ

E

=-26º34′。因此，有sinφ

E=-0.447cosφ

E

=0.894将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值1）弯矩计算

q=10kN/mFP=40kNABCDEf=4mjEyExyFH=60kNFH=60kNFVA=70kNFVB=50kN4m4m4m4ml=16m(3)计算内力以截面E为例，计算其内力值。将x=12m代入1202）剪力计算3）轴力计算

2）剪力计算3）轴力计算121用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如表所示。用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，122(4)作内力图M图(kN·m)

1515205520AAAABBBBCCCCDDDDEEEEFQ图(kN)

7.144.9104.917.917.947FN图(kN)91.9786760.66060.67877.87658.1q=10kN/mFP=40kNf=4mFH=60kNFH=60kNFVA=70kNFVB=50kN4m4m4m4ml=16mxyyEjE(4)作内力图M图(kN·m)1515205520AAA123拱轴上内力有以下3个特点：1.不管是在均布荷载下还是在集中荷载下，拱的三个内力图都是曲线图形。2.在有竖向集中力作用点两侧截面，轴力图和剪力图都有突变，突变值等于相应简支梁的剪力分别在拱的轴力和剪力方向上的投影。3.有集中力偶作用点两侧截面，弯矩图有突变，突变值仍等于所作用的集中力偶。

拱轴上内力有以下3个特点：1.不管是在均布荷载下还是在集中荷124思考：如果有水平方向外荷载作用呢？公式还能用吗？思考：如果有水平方向外荷载作用呢？公式还能用吗？125例：下图所示三铰拱的拱轴为半圆形。计算截面K1、K2的内力。

例：下图所示三铰拱的拱轴为半圆形。计算截面K1、K2的内力。126解1)求支座反力竖向反力

解1)求支座反力竖127水平支座反力

水128支座反力图

支座反力图129建立截面上轴力、剪力方向上的投影方程及截面形心为矩心的力矩方程取截面K1左侧2）求K1截面内力建立截面上轴力、剪力方向上的投影方程及截面形心为矩心的力矩方130K2截面以右——取K2R以右部分：（隔离体上无集中力所用）

3)求K2截面内力因截面K2上作用有竖向集中力FP，所以在该截面两侧的轴力和剪力都将有突变。K2截面的内力要区分截面左、右两个截面分别考虑。

K2截面以右——取K2R以右部分：（隔离体上无集中力所用）131K2截面以左——取K2L以右部分：（隔离体上有集中力所用）

K2截面以左——取K2L以右部分：（隔离体上有集中力所用）132三铰拱的压力线和合理拱轴一、压力线1、压力线的意义拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱各横截面上合力作用点的连线，称为压力线，代表拱内压力经过的路线。如果三铰拱中，某截面D左边(或右边)所有外力的合力FRD已经确定，则由此合力便可分解为该截面形心上的三个内力rD为由截面形心到合力FRD的垂直距离；aD为合力FRD与D点拱轴切线之间的夹角。D

MD

FND

FQD

rD

合力FRD

aD

aD三铰拱的压力线和合理拱轴一、压力线1、压力线的意义拱中外力1332、压力线的图解法

(1)确定各截面合力的大小和方向由力多边形的射线来确定FP1FP1FP2FP2FP3FP3FRAFRBFRAFRBABCDFGHK1

K2K3压力线（一种特殊的索多边形）12122323自行封闭的力多边形

极点O

2、压力线的图解法(1)确定各截面合力的大小和方向由力多134(2)确定各截面合力的作用线三铰拱各截面合力的作用线可由索多边形中的各索线来确定,当某段内竖向力连续分布时，该段的压力线为曲线。FP1FP1FP2FP2FP3FP3FRAFRBFRAFRBABCDFGHK1

K2K3压力线（一种特殊的索多边形）12122323自行封闭的力多边形

极点O

(2)确定各截面合力的作用线三铰拱各截面合力的作用线可由索1353、压力线的用途

(1)求任一拱截面的内力(2)选择合理拱轴由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。3、压力线的用途(1)求任一拱截面的内力(2)选择合理拱136三铰拱的合理拱轴线1、合理拱轴线在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线，称为合理拱轴线。2、合理拱轴的解法由得上式表明，在固定荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线y与相当简支梁弯矩图的竖标M

0成正比。三铰拱的合理拱轴线1、合理拱轴线在固定荷载作用下，使拱处于137(1)满跨竖向均布荷载【例】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。解:三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为一抛物线。在方程中，拱高f没有确定。因此，具有不同高跨比的任一抛物线都是合理拱轴。

qqAABBCl/2l/2lxyxql/2

ql/2f(1)满跨竖向均布荷载【例】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布138(2)竖向连续分布荷载【例】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为γ，拱所受的竖向分布荷载为q=qC+γy。解：将式对x微分两次，得用q(x)表示沿水平线单位长度的荷载值，则这就是在竖向荷载作用下拱的合理轴线的微分方程ABCxyfl/2l/2qC+gf

qC(2)竖向连续分布荷载【例】设在三铰拱的上面填土，填土表面139式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应该取正号，即将q=qC+γ

y代入上式，得这个微分方程的解答可用双曲线函数表示为式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应该取正号，140两个常数A和B，可由边界条件求出如下：在x=0处，y=0，得在x=0处，=0，得B=0。因此在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线

(3)均匀径向荷载作用(推导略)三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条圆弧线。两个常数A和B，可由边界条件求出如下：在x=0处，y=0，141在实际工程中，同一拱结构往往要受到不同荷载的作用，而对应不同的荷载就有不同的合理轴线。通常，是以主要荷载作用下的合理轴线作为拱的轴线。这样，在一般荷载作用下，拱仍会产生不大的弯矩。在实际工程中，同一拱结构往往要受到不同荷载的作用，而对应不同142第三章静定结构受力分析

§3-1梁的内力计算回顾§3-2静定多跨梁§3-3静定刚架§3-4静定桁架§3-5组合结构§3-6三铰拱§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选§3-8刚体体系的虚功原理第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾143对静定结构来说，所能建立的独立的平衡方程的数目=方程中所含的未知力的数目。为了避免解联立方程应按一定的顺序截取单元，尽量使一个方程中只含一个未知量。qa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaABCDEFABC↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓CDDEFYAXAYCXCXCYCXDYDYDXDYBYFYE§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选对静定结构来说，所能建立的独立的平衡方程的数目=1441、隔离体的形式、约束力结点：杆件：杆件体系：桁架的结点法、刚架计算中已知Q求N时取结点为单元。多跨静定梁的计算、刚架计算中已知M求Q时取杆件为单元。桁架的截面法取杆件体系为单元。约束力的数目是由所截断的约束的性质决定的。截断链杆只有未知轴力；

在平面结构中，截断梁式杆，未知力有轴力、剪力和弯矩；

在铰处截断，有水平和竖向未知力。1、隔离体的形式、约束力桁架的结点法、刚架计算中已知Q求N时145

单元的自由度数，不一定等于单元上的未知力的数目隔离体的独立平衡方程个数单元平衡方程的数目=2、计算的简化和隔离体截取顺序的优选a)选择恰当的平衡方程，尽量使一个方程中只含一个未知量;b)根据结构的内力分布规律来简化计算;①在桁架计算中先找出零杆,常可使简化计算;②对称结构在对称荷载作用下,内力和反力也是对称的;c)分析几何组成,合理地选择截取单元的次序;①主从结构,先算附属部分,后算基本部分;②简单桁架,按去除二元体的次序截取结点;③联合桁架,先用截面法求出连接杆的轴力,再计算其它杆。

146aBYaXaPYNaa3525-==32PYa-=dYdPMaA032=×+×=åAEPNa3d3dAEBCPPP3daBYaXaPYNaa3525-==32PYa-=dYdPM147aⅠⅠB3d3dAEBCYaXaPYNaa3525-==32PYa-=dYdPMaA032=×+×=åACEPNaPPbⅡⅡaⅠⅠB3d3dAEBCYaXaPYNaa3525-==32148PAaaPPa/2Pa/2aamm00PAaaPPa/2Pa/2aamm00149↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/80.207l0.207l0.207lql2/48ql2/48fql2/32ff/6ql2/48ql2/48无弯矩状态↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓7f/125f/12l/4l/4l/4l/4ql2/192ql2/192无弯矩状态简支梁M最大(使用于小跨度结构)；伸臂梁、多跨静定梁、三铰刚架、组合结构M次之(使用于较大跨度结构)；桁架、具有合理轴线的三铰拱M为零(使用于大跨度结构)。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/80.150结论：对于静定结构，只要遵循求解步骤与结构组成顺序相反，适当选取隔离体（结点或部分），利用平衡条件，总可求得全部反力和内力。这是最基本的。受弯结构的内力以弯矩为主。弯矩图作于受拉侧，步骤为：一般先求反力，然后分单元（杆段），用截面法求“控制截面”弯矩值，在结构上对各单元由控制弯矩、单元荷载用区段叠加法（注意微分关系）作弯矩图。剪力和轴力图可在作出弯矩图后以单元、结点为对象，用平衡条件在求得控制剪力和轴力后作出。通过判断单杆、零杆，利用对称性，以及适当地选取截面（这要在练习过程中归纳、总结来积累），可使桁架分析过程大为简化。各种结构形式都有自身特点，桁架杆只受轴力，根据主要荷载设计的拱（具有对应此荷载的合理拱轴）主要承压，这两种情形下材料都能充分发挥作用；虽然弯曲正应力在截面形心处很小，材料不能充分发挥作用。但是，梁结构简单、刚架的可用空间大，设计时要综合考虑这些因素，以便合理地确定结构选形。结论：151第三章静定结构受力分析

§3-1梁的内力计算回顾§3-2静定多跨梁§3-3静定刚架§3-4静定桁架§3-5组合结构§3-6三铰拱§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选§3-8刚体体系的虚功原理第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾152§3-8刚体体系的虚功原理1、虚功原理设在具有理想约束（约束力在可能位移上所作的功恒为零，如光滑的铰结和刚性链杆）的刚体体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移(可能位移)，则主动力在位移上所作的虚功总和恒为零。虚功原理的应用1）虚设位移求未知力（虚位移原理）2）虚设力系求位移（虚力原理）基本方法：选分离体，列平衡方程。虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。§3-8刚体体系的虚功原理1、虚功原理虚功原理1）虚设位153注：1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。如第一个式子就是力矩平衡方程∑MC＝02）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可以随意虚设，如设δX=1。3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平衡问题。abACB

1）虚设位移求未知力（虚位移原理）PX求杠杆在图示位置平衡时X的值。XΔX－PΔP=0（X－P）XPDDδX=1，δP=b/aPabPXP==dPXP=-·d01ΔX=0=0

abababababδP

1

ΔPΔX注：1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡abACB154例：各段杆长为a，求该机构在图示位置平衡时，P与X的关系。ΔPΔxbyPXθ1、虚设位移，建立位移之间的关系,Pctgq23=PXPX0=D-DqdaPqcos3=Dq,daXqsin2=Ddadyqqcos3=dadbqq,sin2-=ayqsin3=abqcos2==PXXPDD2、建立虚功方程，求未知力虚功法的特点：1、将平衡问题归结为几何问题求解；2、直接建立荷载与未知力之间的关系，而不需求其它未知力。例：各段杆长为a，求该机构在图示位置平衡时，P与X的关系。155byPXθbyPθ2）应用虚功原理求静定结构的约束力byPXθbyPθ2）应用虚功原理求静定结构的约束力156应用虚功原理求静定结构某一约束力X的方法1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度的机构，使原来的约束力X变成主动力。2）沿X方向虚设单位虚位移。作出机构可能发生的刚体虚位移图；利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。3）建立虚功方程，求未知力。应用虚功原理求静定结构某一约束力X的方法2）沿X方向虚设单位157例：求C点支反a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2qFEDCBAδX=11.50.75YCq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa20.75/a虚功方程为:YC×1+qa×0.75－qa2×0.75/a－q×3a×1.5/2＝0YC=2.25qa例：求C点支反a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓158求截面C的弯矩mbaclmbalbaclqbalq求截面C的剪力求截面C的弯矩mbaclmbalbaclqbalq求截面C的159a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2qFEDCBA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2QCQC

10.50.25虚功方程为:QC×10.25/a+qa×0.25－qa2×0.25/a－q×(2a×1/2+a×0.5/2)＝0QC=1.25qa例：求C截面剪力右截面剪力a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa160a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa2qFEDCBA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa20.5a0.25a虚功方程为:MA×10.25MA1a(上拉)+qa×0.25a－qa2×0.25+q×(2a×a/2－a×0.5a/2MA=－0.75qa2)＝0例：求A点弯矩a2aa2aa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qaqa161PPPXXPPP4aaθθaaaa2a虚功方程为：X(2a)

－P(a+2a+a)=0X=2P例：求下弦杆轴力PPPXXPPP4aaθθaaaa2a虚功方程162本章的要求：运用基本原理熟练、准确地解决

各种静定结构的内力计算问题。本章的要求：163第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾§3-2静定多跨梁§3-3静定刚架§3-4静定桁架§3-5组合结构§3-6三铰拱§3-7隔离体方法及其截取顺序的优选§3-8刚体体系的虚功原理(1)内力的概念和表示(2)内力的计算方法(3)内力与荷载的关系(4)分段叠加法画弯矩图第三章静定结构受力分析§3-1梁的内力计算回顾(1)内164典型杆件截面上的内力

1.轴力（FN）横截面上应力在截面法线（杆轴）方向上的投影（或横截面上正应力）的代数和称为轴力。

3.弯矩（M）横截面上应力（或横截面上正应力）对截面中性轴的力矩代数和称为弯矩。2.剪力（FQ）横截面上应力在截面切线（垂直于杆轴）方向上投影（或横截面上切应力）的代数和称为剪力。

典型杆件截面上的内力1.轴力（FN）横截面上应力在截面法线165材料力学规定轴力FN

--拉力为正剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正内力图-表示结构上各截面内力值的图形横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值FN+dFNFNFQ+dFQFQMM+dMdxdx材料力学规定内力图-表示结构上各截面内力值的图形FN+dF166弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号FNBAFNABFQBAFQAB结构力学规定MABMBAA端B端杆端内力内力图弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号FNBAFNA167内力的计算方法

梁的内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用“截开、代替、平衡”六个字来描述：1.

截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体；隔离体与其周围的约束要全部截断。2.

代替----用截面内力代替该截面的应力之和；用相应的约束力代替截断约束。3.

平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。内力的计算方法梁的内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用168内力的计算方法利用截面法可得出以下结论：1.

轴力等于截面一边的所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和；2.

剪力等于截面一边所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；3.

弯矩等于截面一边所有外力对截面形心力矩的代数和。以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。内力的计算方法利用截面法可得出以下结论：169截面法求指定C截面内力截代平：截面法求指定C截面内力截代平：170载荷F、剪力Q、弯矩M之间的平衡关系载荷F、剪力Q、弯矩M之间的平衡关系171载荷集度、剪力和弯矩关系：荷载与内力的关系剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小

弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。FPq(x)q(y)1、微分关系dxFN+dFNFNFQ+dFQFQMM+dMq(y)q(x)载荷集度、剪力和弯矩关系：荷载与内力的关系剪力图上某点处的切172微分关系的应用---作FQ图和

M图（用于定形）2)分布力q(y)=常数时1)分布力q(y)=0时（无分布载荷）FQ图：M图：——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。微分关系的应用---作FQ图和M图（用于定形）2)分布173a.当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凸的二次曲线。b.当分布力的方向向下时FQ图：M图：M(x)——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。FQ图：M图：M(x)a.当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；b.当分1742、增量关系

2、增量关系175一般为斜直线水平线抛物线(下凸)有极值为零处有尖角(向下）

有突变(突变值=

FP)有极值如变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线()一般水平线抛物有为有尖有突有如无变化有突变剪力图弯矩图梁1763、积分关系

有连续分布荷载（荷载垂直于杆轴）的直杆段AB，B端的剪力等于A端的剪力减去该段分布荷载图的面积。B端的弯矩等于A端的弯矩加上该段剪力图的面积。梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值3、积分关系有连续分布荷载（荷载垂直于杆轴）的直杆段AB，177荷载与内力之间的关系

1.微分关系2.增量关系3.积分关系荷载与内力之间的关系1.微分关系2.增量关系3.积分关系178分段叠加法画弯矩图

1.叠加原理：几个力对杆件的作用效果，等于每一个力单独作用效果的总和。（若结构在线弹性阶段且为小变形即梁的跨长改变忽略不计时）=+=+分段叠加法画弯矩图1.叠加原理：几个力对杆件的作用效果，等