直线的一般式方程课件

3.2.3直线的一般式方程3.2.3直线的一般式方程一、直线与二元一次方程的对应1.平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的_____________表示.2.关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零),它都表示_________.二元一次方程一条直线一、直线与二元一次方程的对应二元一次方程一条直线思考:当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0表示什么?提示:当C=0时,方程对任意的x,y都成立,故方程表示整个坐标平面;当C≠0时,方程无解,方程不表示任何图象.故方程Ax+By+C=0不一定代表直线,只有当A,B不同时为零,即A2+B2≠0时,方程才代表直线.思考:当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0表示什么?二、直线的一般式方程1.式子:关于x,y的二元一次方程__________.2.条件:A,B___________.3.简称:_______.Ax+By+C=0不同时为零一般式二、直线的一般式方程Ax+By+C=0不同时为零一般式判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何直线方程都能表示为一般式.

(

)(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.

(

)(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示垂直于x轴的直线.

(

)判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)提示:(1)正确.因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.(2)错误.当一般式方程中的B=0时,直线的斜率不存在,不能化成其他形式;当C=0时,直线过原点,不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.(3)错误.当A=0,B≠0时,方程表示垂直于y轴的直线.答案:(1)√

(2)×

(3)×提示:(1)正确.因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x,【知识点拨】1.二元一次方程与直线的关系(1)二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.(2)二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的,因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.【知识点拨】2.解读直线方程的一般式(1)方程是关于x,y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.2.解读直线方程的一般式3.一般式方程表示的特殊直线(1)当A=0,B≠0时,方程表示垂直于y轴的直线,当A=0且C=0时,直线与x轴重合.(2)当A≠0,B=0时,方程表示垂直于x轴的直线,当A≠0且C=0时,直线与y轴重合.(3)当C=0时,方程表示过原点的直线.(4)当AB≠0时,方程表示与两坐标轴都相交的直线.3.一般式方程表示的特殊直线类型一直线的一般式方程【典型例题】1.直线经过(1,2)且斜率为-1,则该直线的一般式方程为

.2.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.(1)斜率是,且经过点A(5,3).(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2.(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点.(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.类型一直线的一般式方程【解题探究】1.已知过某点和斜率,如何写出直线的方程?2.化为直线的一般式方程时有何具体要求?探究提示:1.可利用点斜式写出直线的方程.2.(1)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.(2)x的系数一般不为分数和负数.【解析】1.由直线的点斜式方程可得y-2=-1×(x-1),化为一般式方程为x+y-3=0.答案:x+y-3=0【解题探究】1.已知过某点和斜率,如何写出直线的方程?2.(1)由直线方程的点斜式得y-3=(x-5),即(2)由斜截式得直线方程为y=4x-2,即4x-y-2=0.(3)由两点式得即2x+y-3=0.(4)由截距式得直线方程为即x+3y+3=0.2.(1)由直线方程的点斜式得y-3=(x-5),即【互动探究】若直线经过(1，2)和(-1，2)两点，则该直线的方程为_______.【解析】因为直线经过(1，2)和(-1，2)两点，此两点纵坐标都是2，相等，故该直线的方程为：y=2.答案：y=2【互动探究】若直线经过(1，2)和(-1，2)两点，则该直线【拓展提升】直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤①移项得By=-Ax-C;②当B≠0时，得斜截式：(2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax+By=-C;②当C≠0时,方程两边同除以-C,得【拓展提升】直线的一般式转化为其他形式的步骤③化为截距式：由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.③化为截距式：类型二平行与垂直的应用【典型例题】1.(1)过点A(2,2)且与直线3x+4y-20=0平行的直线方程为

.(2)过点A(2,2)且与直线3x+4y-20=0垂直的直线方程为

.2.已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1∥l2?l1⊥l2?类型二平行与垂直的应用【解题探究】1.若两直线平行,则两直线的斜率有何关系?若垂直呢?2.利用两直线平行或垂直求参数时应特别注意什么问题?探究提示:1.两直线平行,若斜率存在,则相等或斜率均不存在;两直线垂直,若斜率存在,则它们的乘积为-1.或其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.同时注意与已知直线平行或垂直的直线的设法.2.一定要考虑直线的斜率存在与不存在的两种情况来解决.【解题探究】1.若两直线平行,则两直线的斜率有何关系?若垂直【解析】1.(1)设与直线3x+4y-20=0平行的直线方程为3x+4y+C=0,过点A(2,2),所以3×2+4×2+C=0,即C=-14,直线方程为3x+4y-14=0.(2)设与直线3x+4y-20=0垂直的直线方程为4x-3y+m=0,过点A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,即m=-2,直线方程为4x-3y-2=0.答案:(1)3x+4y-14=0

(2)4x-3y-2=0【解析】1.(1)设与直线3x+4y-20=0平行的直线方程2.方法一：当m=0时,l1：x+6=0,l2：2x-3y=0两直线既不平行也不垂直；当m≠0时,l1：y=l2：若l1∥l2,则解得m=-1；若l1⊥l2,则解得方法二：l1∥l2等价于1×3-m(m-2)=0且1×2m-6(m-2)≠0,解得m=-1；l1⊥l2等价于1·(m-2)+3m=0,解得2.方法一：当m=0时,l1：x+6=0,l2：2x-3y=【拓展提升】1.利用一般式解决平行与垂直问题策略已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.2.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写方程.【拓展提升】(2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0,再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.(2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直

直线方程的综合应用【典型例题】1.设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为

.2.如果直线l经过点P(2,1),且与两坐标轴围成的三角形面积为S.若这样的直线l有且只有2条,求S的取值范围.直线方程的综合应用【解析】1.把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零.即解得a≥1.所以a的取值范围为[1,+∞).答案：[1,+∞)【解析】1.把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,2.设直线l的方程为则即则a·=±2S,得a2-2Sa+4S=0或a2+2Sa-4S=0,后一个方程Δ>0恒成立,肯定有两个不相等的实数根,若这样的直线l有且只有2条,则前一个方程一定无实数根,Δ′=(2S)2-4·4S<0,解得0<S<4.2.设直线l的方程为则即【拓展提升】直线方程一般式的综合应用(1)直线方程的一般式同二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)之间是一一对应关系,因此研究直线的几何性质完全可以借助于方程的观点来研究,这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.(2)可以借助于直线方程的五种形式间的互化,求解一些定值问题、范围问题等.【拓展提升】直线方程一般式的综合应用【规范解答】由直线的一般式方程求参数的范围【条件分析】【典例】【规范解答】由直线的一般式方程求参数的范围【条件分析】【典【规范解答】方法一：因为直线ax+3y+1=0与直线(a-1)x+(a+)y-1=0垂直,所以①,即a2-a+3a+1=0,……………8分所以a2+2a+1=0,解得a=-1.………………12分【规范解答】方法一：因为直线ax+3y+1=0与直线(a-1方法二：当时②,直线ax+3y+1=0为,直线(a-1)x+(a+)y-1=0为,显然两直线不垂直,故a=应舍去.………………5分当a≠时②,直线ax+3y+1=0的斜率为直线(a-1)x+(a+)y-1=0的斜率为当两直线垂直时,有×=-1,解得a=-1.……10分故当a=-1时,两直线垂直③.………………12分方法二：当时②,直线ax+3y+1=0为【失分警示】【失分警示】【防范措施】1.条件成立的表达形式对于一些结论的应用,首先是记准表达形式,准确灵活运用,如本例中若两直线垂直,则有A1A2+B1B2=0,灵活运用此结论,会给解题带来方便.2.分类讨论的意识对于含有参数的题目,尤其是关于直线的平行和垂直的问题,一定要有分类讨论的意识,如本例中两直线垂直时,涉及斜率是否存在,因此要对y的系数是否为零进行分情况讨论.【防范措施】【类题试解】当a为何值时,直线2x+3ay+1=0与直线(a-2)x-ay-1=0平行？【解析】方法一：当a=0时,两直线重合,不合题意.当a≠0时,若两直线平行,则有解得经检验时两直线平行.方法二：若两直线平行,则有2×(-a)-3a(a-2)=0,解得a=0或经检验时两直线平行.【类题试解】当a为何值时,直线2x+3ay+1=0与直线(a3.2.3直线的一般式方程3.2.3直线的一般式方程一、直线与二元一次方程的对应1.平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的_____________表示.2.关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零),它都表示_________.二元一次方程一条直线一、直线与二元一次方程的对应二元一次方程一条直线思考:当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0表示什么?提示:当C=0时,方程对任意的x,y都成立,故方程表示整个坐标平面;当C≠0时,方程无解,方程不表示任何图象.故方程Ax+By+C=0不一定代表直线,只有当A,B不同时为零,即A2+B2≠0时,方程才代表直线.思考:当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0表示什么?二、直线的一般式方程1.式子:关于x,y的二元一次方程__________.2.条件:A,B___________.3.简称:_______.Ax+By+C=0不同时为零一般式二、直线的一般式方程Ax+By+C=0不同时为零一般式判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何直线方程都能表示为一般式.

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)(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.

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)(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示垂直于x轴的直线.

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)判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)提示:(1)正确.因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.(2)错误.当一般式方程中的B=0时,直线的斜率不存在,不能化成其他形式;当C=0时,直线过原点,不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.(3)错误.当A=0,B≠0时,方程表示垂直于y轴的直线.答案:(1)√

(2)×

(3)×提示:(1)正确.因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x,【知识点拨】1.二元一次方程与直线的关系(1)二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.(2)二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的,因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.【知识点拨】2.解读直线方程的一般式(1)方程是关于x,y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.2.解读直线方程的一般式3.一般式方程表示的特殊直线(1)当A=0,B≠0时,方程表示垂直于y轴的直线,当A=0且C=0时,直线与x轴重合.(2)当A≠0,B=0时,方程表示垂直于x轴的直线,当A≠0且C=0时,直线与y轴重合.(3)当C=0时,方程表示过原点的直线.(4)当AB≠0时,方程表示与两坐标轴都相交的直线.3.一般式方程表示的特殊直线类型一直线的一般式方程【典型例题】1.直线经过(1,2)且斜率为-1,则该直线的一般式方程为

.2.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.(1)斜率是,且经过点A(5,3).(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2.(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点.(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.类型一直线的一般式方程【解题探究】1.已知过某点和斜率,如何写出直线的方程?2.化为直线的一般式方程时有何具体要求?探究提示:1.可利用点斜式写出直线的方程.2.(1)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.(2)x的系数一般不为分数和负数.【解析】1.由直线的点斜式方程可得y-2=-1×(x-1),化为一般式方程为x+y-3=0.答案:x+y-3=0【解题探究】1.已知过某点和斜率,如何写出直线的方程?2.(1)由直线方程的点斜式得y-3=(x-5),即(2)由斜截式得直线方程为y=4x-2,即4x-y-2=0.(3)由两点式得即2x+y-3=0.(4)由截距式得直线方程为即x+3y+3=0.2.(1)由直线方程的点斜式得y-3=(x-5),即【互动探究】若直线经过(1，2)和(-1，2)两点，则该直线的方程为_______.【解析】因为直线经过(1，2)和(-1，2)两点，此两点纵坐标都是2，相等，故该直线的方程为：y=2.答案：y=2【互动探究】若直线经过(1，2)和(-1，2)两点，则该直线【拓展提升】直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤①移项得By=-Ax-C;②当B≠0时，得斜截式：(2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax+By=-C;②当C≠0时,方程两边同除以-C,得【拓展提升】直线的一般式转化为其他形式的步骤③化为截距式：由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.③化为截距式：类型二平行与垂直的应用【典型例题】1.(1)过点A(2,2)且与直线3x+4y-20=0平行的直线方程为

.(2)过点A(2,2)且与直线3x+4y-20=0垂直的直线方程为

.2.已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1∥l2?l1⊥l2?类型二平行与垂直的应用【解题探究】1.若两直线平行,则两直线的斜率有何关系?若垂直呢?2.利用两直线平行或垂直求参数时应特别注意什么问题?探究提示:1.两直线平行,若斜率存在,则相等或斜率均不存在;两直线垂直,若斜率存在,则它们的乘积为-1.或其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.同时注意与已知直线平行或垂直的直线的设法.2.一定要考虑直线的斜率存在与不存在的两种情况来解决.【解题探究】1.若两直线平行,则两直线的斜率有何关系?若垂直【解析】1.(1)设与直线3x+4y-20=0平行的直线方程为3x+4y+C=0,过点A(2,2),所以3×2+4×2+C=0,即C=-14,直线方程为3x+4y-14=0.(2)设与直线3x+4y-20=0垂直的直线方程为4x-3y+m=0,过点A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,即m=-2,直线方程为4x-3y-2=0.答案:(1)3x+4y-14=0

(2)4x-3y-2=0【解析】1.(1)设与直线3x+4y-20=0平行的直线方程2.方法一：当m=0时,l1：x+6=0,l2：2x-3y=0两直线既不平行也不垂直；当m≠0时,l1：y=l2：若l1∥l2,则解得m=-1；若l1⊥l2,则解得方法二：l1∥l2等价于1×3-m(m-2)=0且1×2m-6(m-2)≠0,解得m=-1；l1⊥l2等价于1·(m-2)+3m=0,解得2.方法一：当m=0时,l1：x+6=0,l2：2x-3y=【拓展提升】1.利用一般式解决平行与垂直问题策略已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.2.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写方程.【拓展提升】(2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0,再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.(2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直

直线方程的综合应用【典型例题】1.设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为

.2.如果直线l经过点P(2,1),且与两坐标轴围成的三角形面积为S.若这样的直线l有且只有2条,求S的取值范围.直线方程的综合应用【解析】1.把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零.即解得a≥1.所以a的取值范围为[1,+∞).答案：[1,+∞)【解析】1.把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,2.设直线l的方程为则即则a·=±2S,得a2-2Sa+4S=0或a2+2Sa-4S=0,后一个方程Δ>0恒成立,肯定有两个不相等的实数根,若这样的直线l有且只有2条,则前一个方程一定无实数根,Δ′=(2S)2-4·4S<0,解得0<S<4.2.设直线l的方程为则即【拓展提升】直线方程一般式的综合应用(1)直线方程的一般式同二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)之间是一一对应关系,因此研究直线的几何性质完全可以借助于方