离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件

05十一月2022离散傅里叶变换数字信号处理陈后金02十一月2022离散傅里叶变换数字信号处理陈后金1学习要求了解四种信号的傅里叶变换的数学概念及特点。深刻理解有限长序列DFT的定义及概念。掌握序列DFT与序列DTFT和z变换的相互关系。掌握利用DFT分析任意信号频谱的原理和方法。理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法。掌握利用DFT实现序列线性卷积的原理和方法。

学习要求了解四种信号的傅里叶变换的数学概念及特点。2重点和难点

本章的重点是信号DFT的数学概念和物理概念，以及DFT在信号分析和系统分析中的重要作用本章的难点是利用DFT分析连续信号频谱过程中出现的现象重点和难点本章的重点是信号DFT的数学概念和物理概3问题的提出信号的频域分析在信息技术领域广泛应用为什么进行信号频谱的数值化分析?1.许多实际信号不存在数学解析式2.利用计算机数值计算,简单快捷问题的提出信号的频域分析在信息技术领域广泛应用为什么进行信号4

有限长序列的傅里叶分析四种信号傅里叶表示有限长序列离散傅里叶变换DFT矩阵表示利用MATLAB计算DFT有限长序列的傅里叶分析四种信号傅里叶表示5四种信号傅里叶表示1.周期为T0的连续时间周期信号频谱特点：离散非周期谱四种信号傅里叶表示1.周期为T0的连续时间周期信号频谱特点6四种信号傅里叶表示2.连续时间非周期信号频谱特点：连续非周期谱四种信号傅里叶表示2.连续时间非周期信号频谱特点：连续非7四种信号傅里叶表示3.离散非周期信号频谱特点：周期为2的连续谱四种信号傅里叶表示3.离散非周期信号频谱特点：周期为28四种信号傅里叶表示4.周期为N的离散周期信号频谱特点：周期为N的离散谱四种信号傅里叶表示4.周期为N的离散周期信号频谱特点：周9有限长序列离散傅里叶变换IDFTDFT符号表示有限长序列离散傅里叶变换IDFTDFT符号表示10有限长序列DFT与DTFT关系

有限长序列x[k]离散傅里叶变换X[m]是其离散时间傅里叶变换X(ejW)在一个周期[0,2p)的等间隔抽样有限长序列DFT与DTFT关系有限长序列x[11DFT与DFS关系DFT可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对DFT与DFS关系DFT可以看成是截取DFS的主值区间构成的12例3:求有限长4点序列的DFT。例题：例4有限长4点序列DFT矩阵表示。例3:求有限长4点序列13离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件14例4:求有限长4点序列的DFT。如果序列后补零，其DFT有何变化?解:例4:求有限长4点序列15X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限长4点序列DFT矩阵表示:DFT矩阵表示X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限16DFT矩阵表示DFT矩阵表示17利用MATLAB计算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

计算M点的DFT。M是序列x的长度。fft(x,N)

计算N点的DFT。M>N，将原序列裁为N点计算N点的DFT；M<N，将原序列补零至N点，然后计算N点DFT。利用MATLAB计算DFTfft(x)fft(x,18x=[11-11];xm=fft(x,4);subplot(311);stem(0:3,abs(xm));axis([04-13]);xm1=fft(x,8);subplot(312);stem(0:7,abs(xm1));axis([08-13]);xm2=fft(x,16);subplot(313);stem(0:15,abs(xm2));axis([016-13]);利用MATLAB计算DFT---N=4、8、16x=[11-11];利用MATLAB计算DFT---19x=[0000011111100000];xm=fft(x,16);subplot(311);stem(0:15,abs(xm));axis([016-17]);subplot(312);xm1=fft(x,64);stem(0:63,abs(xm1));axis([064-17]);subplot(313);xm2=fft(x,256);stem(0:255,abs(xm2));axis([0256-17]);利用MATLAB计算DFT---N=16、64、256x=[0000011111100020x=[0000011111100000];x1=[000001];N1=6;xm1=fft(x1);subplot(211);stem(0:N1-1,abs(xm1));xm16=fft(x1,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));x2=[0000011];N2=7;xm2=fft(x2);subplot(211);stem(0:N2-1,abs(xm2));gridxm16=fft(x2,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx3=[00000111];N3=8;xm3=fft(x3);subplot(211);stem(0:N3-1,abs(xm3));xm16=fft(x3,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx4=[000001111];N4=9;xm4=fft(x4);subplot(211);stem(0:N4-1,abs(xm4));gridxm16=fft(x4,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridxm=fft(x,16);subplot(515);stem(0:15,abs(xm));x=[0000011111100021离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件22离散傅里叶变换的性质

1.线性

2.循环位移

3.对称性

4.序列的循环卷积5.Parseval定理6.序列DFT与z变换的关系离散傅里叶变换的性质1.线性231.线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT1.线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT242.循环位移(圆周移位)循环位移定义为:注意：隐含的周期性2.循环位移(圆周移位)循环位移定义为:注意：隐含的周25时移特性:若DFT{x[k]}=X[m]则DFT{xp[kn]RN[k]}=WNnm

X[m]表明：序列在时域上圆周移位，频域上将产生附加相移。证明：DFT{xp[kn]RN

[k]}时移特性:若DFT{x[k]}=X[m]26频移特性:若DFT{x[k]}=X[m]则DFT{x[k]WNlk}=Xp[ml]

RN[m]表明：若序列在时域上乘以复数指数序列WNlk，则在频域上，X[m]将圆周移位l位，也称“调制定理”。频移特性:若DFT{x[k]}=X[m]27设x[k]为实序列，DFT{x[k]}=X[m]，则

①X[m]的实部XR[m]是m的偶函数,虚部XI[m]是m的奇函数

②X[m]的幅频是m的偶函数，相位是m的奇函数。③具有半周期对称的特点，即X[m]=X*[Nm]3.对称性(symmetry)---1）实数序列x[k]设x[k]为实序列，DFT{x[k]}=X[m]28x=[0001111000];xm=fft(x,10);subplot(221);stem(0:9,abs(xm));subplot(222);stem(0:9,angle(xm));subplot(223);xm1=fft(x,11);stem(0:10,abs(xm1));subplot(224);stem(0:10,angle(xm1));设x[k]为实序列，DFT{x[k]}=X[m]，则

①X[m]的实部XR[m]是m的偶函数,虚部XI[m]是m的奇函数

②X[m]的幅频是m的偶函数，相位是m的奇函数。③具有半周期对称的特点，即X[m]=X*[Nm]x=[0001111000];设x[k]为293.对称性---2）复数序列x[k]3.对称性---2）复数序列x[k]30若x*[k]是有限长序列x[k]的共轭复数序列，并设x[k]=xR[k]+jxI[k],x*[k]=xR[k]

jxI[k]有DFT{x*[k]}=X*[Nm]且Xep[m]

=DFT{xR[k]}={X[m]+X*[Nm]}/2

Xop[m]

=DFT{

jxI[k]}={X[m]X*[Nm]}/23.对称性---2）复数序列证明：若x*[k]是有限长序列x[k]的共轭复数序列，并设3.31循环卷积循环卷积324.循环卷积定理时域卷积定理频域卷积定理时域的循环卷积对应频域的乘积时域的乘积对应频域的循环卷积5.Parseval定理4.循环卷积定理时域卷积定理频域卷积定理时域的循环卷积33序列DFT与z变换的关系有限长序列x[k]的DFT：有限长序列x[k]的z变换：序列DFT与z变换的关系有限长序列x[k]的DFT：有限长序34序列DFT与z变换的关系：x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样序列DFT与z变换的关系：x[k]的X[m]等于其z变换X(35两个有限长序列的线性卷积利用DFT计算序列线性卷积h(n)x(n)y(n)如果序列x(n)的长度为N1、序列h(n)的长度为N2，那么线性卷积y(n)也是一个有限长序列，且其长度为N1+N21。每个x(n)的样值都必须与每个h(n)的样值相乘，需N1N2次乘法运算，在N1=

N2=

N时，需N2次乘法运算。

能否用圆周卷积代替线性卷积??将进行卷积的两序列长度均加长至N

N1+

N21，然后再进行圆卷积，则其圆卷积的结果与线卷积的结果相同。两个有限长序列的线性卷积利用DFT计算序列线性卷积h(36序列线性卷积序列线性卷积37序列线性卷积能否用圆周卷积代替线性卷积??序列圆周卷积序列线性卷积能否用圆周卷积代替线性卷积??序列圆周卷积38离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件39利用DFT计算序列线性卷积的步骤若x[k]的长度为N，h[k]的长度为M，则L=N+M-1点循环卷积等于x[k]与h[k]的线性卷积。序列补零加长至Lx[k]N点L点DFTX[k]L

N

+

M

1序列补零加长至Lh[k]M点L点DFTH[k]IFFTy[k]相乘直接线卷积：N1N2次乘运算，N1

N2=

N时，需N2乘。利用圆卷积：两次FFT，一次IFFT利用DFT计算序列线性卷积的步骤若x[k]的40在一般的数字滤波器中，由于h(k)或H(m)是预先设计好的，已置于存储器中，故实际只需二次FFT的运算量。假定N

=

M=

L，补零后长度N

+

M

12L，需要2(L

log22L)次乘。此外完成X(k)与H(k)两序列相乘，全部复运算次数为2(L

log22L)+2L=2L(1+

log22L)比如L=210=1024L=26=64直接线卷积：10485766464=4096利用圆卷积：24576896

显然，随L，利用圆卷积比L2显著减小，所以采用圆卷积的方案可以加快完成卷积运算。利用DFT计算序列线性卷积的步骤在一般的数字滤波器中，由于h(k)或H(m)41利用DFT计算序列线性卷积的步骤两序列长度接近或相等的情况下，采用圆卷积的方案可以加快完成卷积运算。如果其中一个序列较短，而另一序列很长，圆卷积方案的相对运算量可能减小不多，甚至增多。这时，可采用分段卷积（分段过滤）的方法。其基本原理是：将较长的一个序列，比如x[n]分成许多小段，每小段长度都与h[n]接近，将x[n]的每个小段分别与h[n]作卷积，最后取和。这时，仍有可能发挥快速卷积的优越性。此方案的具体实现不是唯一的。利用DFT计算序列线性卷积的步骤两序列长度接42长序列和短序列的线性卷积直接利用DFT计算的缺点：(1)信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多。(2)内存要求大。(3)算法效率不高。解决问题方法：采用分段卷积分段卷积可采用重叠相加法和重叠保留法。长序列和短序列的线性卷积直接利用DFT计算的缺点：(1)43长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapadd）将长序列x[k]分为若干段长度为L的序列长度、起止点？？？长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapa44长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapadd）y0[k]的长度及起止点：y1[k-L]的长度及起止点：注意：序列y0[k],y1[k]的重叠部分重叠的点数：L+M-2-L+1=M-1依次将相邻两段的M-1个重叠点相加？？？，即得到最终的线性卷积结果。长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapa45离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件462.重叠保留法（overlapsave）长序列和短序列的线性卷积方法：

(1)将x[k]长序列分段，每段长度为L。

(2)各段序列xn[k]与

M点短序列h[k]循环卷积。

(3)从各段循环卷积中提取线性卷积结果。因yn[k]=xn[k]h[k]前M-1个点不是线性卷积的点，故分段时，每段与其前一段有M-1个点重叠。第一段前需补M-1个零2.重叠保留法（overlapsave）长序列和短序列的472.重叠保留法（overlapsave）长序列和短序列的线性卷积记：yn[k]=xn[k]Lh[k]01-Lk0k1-LM-1M-12.重叠保留法（overlapsave）长序列和短序列的48离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件49例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积,取L=5。解法一：使用重叠相加法---时域序列按L个点连续分段、计算L+M-1点圆周卷积（或计算L、M个点线性卷积）、前一个分段卷积结果的后M-1个点的序列值与后一个分段卷积结果的前M-1个点的序列值对应相加，构成要求的卷积结果。解法二：使用重叠保留法---时域序列以前后两段重叠M-1个点的形式按L个点分段、计算L点圆周卷积、保留每个分段卷积结果的后L-(M-1)个点的序列值，由他们按顺序构成要求的卷积结果。例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={50例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积,取L=5。1）重叠相加法例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={51例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积,取L=5。2）重叠保留法例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={52利用DFT分析信号频谱问题的提出四种信号频谱之间的关系利用DFT分析连续非周期信号频谱混叠现象、泄漏现象、栅栏现象DFT参数选取利用DFT分析信号频谱问题的提出53四种信号频谱之间的关系：公式？利用DFT分析信号频谱四种信号频谱之间的关系：公式？利用DFT分析信号频谱54四种信号的时域与频域对应关系四种信号的时域与频域对应关系55利用DFT分析连续非周期信号的频谱假设连续信号持续时间有限，频带有限离散化抽样N点DFT利用DFT分析连续非周期信号的频谱假设连续信号持续时间有限56例：已知语音信号x(t)的最高频率为fm=3.4kHz,用fsam=8kHz对x(t)进行抽样。如对抽样信号做N=1600点的DFT，试确定X[m]中m=600和m=1200点所分别对应原连续信号的连续频谱点f1

和f2(kHz)。

解：例：已知语音信号x(t)的最高频率为fm=3.4kHz,用57利用DFT分析连续非周期信号的频谱求x(t)=e-tu(t)的幅度谱fs=16Hz,N=256t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x);利用DFT分析连续非周期信号的频谱求x(t)=e-tu(58N=100;fs=100;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));grid离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件59N=100;fs=16;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));grid离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件60讨论1：x(t)无限长，其频带有限加窗抽样DFT利用DFT分析连续非周期信号的频谱讨论1：x(t)无限长，其频带有限加窗抽样DFT利用DFT分61讨论2：x(t)有限长，其频带无限利用DFT分析连续非周期信号的频谱抽样DFT讨论2：x(t)有限长，其频带无限利用DFT分析连续非周期62讨论3：x(t)无限长，其频带无限利用DFT分析连续非周期信号的频谱出现三种现象：混叠(抽样频率)、泄漏(加窗截断)、栅栏(离散频率点)抽样DFT加窗讨论3：x(t)无限长，其频带无限利用DFT分析连续非周期信63混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(1)混叠现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(1)混叠现象64f1=50.0;w1=2*pi*f1;fs=2000;t=-10:1/fs:10;x=-cos(w1*t);forn=1:19x=x-cos(n*w1*t)/n;endsubplot(311);plot(t,x);N1=400;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(312);stem((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridN2=512;x2=x(1:N2);X2=fft(x2,N2);subplot(313);stem((0:N2-1),abs(X2)/N2*2);gridf1=50.0;w1=2*pi*f1;fs=2000;t=-10:1/fs:10;x=-cos(w1*t);forn=1:19x=x-cos(n*w1*t)/n;endsubplot(411);stem(t,x);N1=1024;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(412);plot((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridf1=50.0;w1=2*pi*f1;fs1=500;t=-10:1/fs1:10;xx=-cos(w1*t);forn=1:19xx=xx-cos(n*w1*t)/n;endsubplot(413);stem(t,xx);N2=1024;x2=xx(1:N1);X2=fft(x2,N2);subplot(414);plot((0:N2-1),abs(X2)/N2*2);gridf1=50.0;w1=2*pi*f1;fs=2000;65混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(2)泄漏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(2)泄漏现象66混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(3)栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(3)栅栏现象67fs=1000;t=0:1/fs:5;x=10*exp(-10*t);subplot(411);plot(t,x);N1=64;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(412);stem((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridN1=256;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(413);stem((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridN1=1024;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(414);stem((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridfs=1000;t=0:1/fs:5;x=10*exp68混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(4)解决方法1---抗混叠滤波避免混叠现象抗混滤波抽样间隔T抽样DFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(4)解决方法1---抗混叠滤波69混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(4)解决方法2---选择旁瓣幅度小的窗函数减少泄漏加窗DFT其中：混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(4)解决方法2---选择旁瓣幅70混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(4)解决方法3---做更多点的DFT提高频率分辨率对信号补零，抽样率不变，频域抽样点数增加，可以更多地显示出频谱中的细节DFT的两个相邻点对应的连续信号的频谱间隔为混叠现象、泄漏现象、栅栏现象(4)解决方法3---做更多点的7105十一月2022离散傅里叶变换数字信号处理陈后金02十一月2022离散傅里叶变换数字信号处理陈后金72学习要求了解四种信号的傅里叶变换的数学概念及特点。深刻理解有限长序列DFT的定义及概念。掌握序列DFT与序列DTFT和z变换的相互关系。掌握利用DFT分析任意信号频谱的原理和方法。理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法。掌握利用DFT实现序列线性卷积的原理和方法。

学习要求了解四种信号的傅里叶变换的数学概念及特点。73重点和难点

本章的重点是信号DFT的数学概念和物理概念，以及DFT在信号分析和系统分析中的重要作用本章的难点是利用DFT分析连续信号频谱过程中出现的现象重点和难点本章的重点是信号DFT的数学概念和物理概74问题的提出信号的频域分析在信息技术领域广泛应用为什么进行信号频谱的数值化分析?1.许多实际信号不存在数学解析式2.利用计算机数值计算,简单快捷问题的提出信号的频域分析在信息技术领域广泛应用为什么进行信号75

有限长序列的傅里叶分析四种信号傅里叶表示有限长序列离散傅里叶变换DFT矩阵表示利用MATLAB计算DFT有限长序列的傅里叶分析四种信号傅里叶表示76四种信号傅里叶表示1.周期为T0的连续时间周期信号频谱特点：离散非周期谱四种信号傅里叶表示1.周期为T0的连续时间周期信号频谱特点77四种信号傅里叶表示2.连续时间非周期信号频谱特点：连续非周期谱四种信号傅里叶表示2.连续时间非周期信号频谱特点：连续非78四种信号傅里叶表示3.离散非周期信号频谱特点：周期为2的连续谱四种信号傅里叶表示3.离散非周期信号频谱特点：周期为279四种信号傅里叶表示4.周期为N的离散周期信号频谱特点：周期为N的离散谱四种信号傅里叶表示4.周期为N的离散周期信号频谱特点：周80有限长序列离散傅里叶变换IDFTDFT符号表示有限长序列离散傅里叶变换IDFTDFT符号表示81有限长序列DFT与DTFT关系

有限长序列x[k]离散傅里叶变换X[m]是其离散时间傅里叶变换X(ejW)在一个周期[0,2p)的等间隔抽样有限长序列DFT与DTFT关系有限长序列x[82DFT与DFS关系DFT可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对DFT与DFS关系DFT可以看成是截取DFS的主值区间构成的83例3:求有限长4点序列的DFT。例题：例4有限长4点序列DFT矩阵表示。例3:求有限长4点序列84离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件85例4:求有限长4点序列的DFT。如果序列后补零，其DFT有何变化?解:例4:求有限长4点序列86X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限长4点序列DFT矩阵表示:DFT矩阵表示X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限87DFT矩阵表示DFT矩阵表示88利用MATLAB计算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

计算M点的DFT。M是序列x的长度。fft(x,N)

计算N点的DFT。M>N，将原序列裁为N点计算N点的DFT；M<N，将原序列补零至N点，然后计算N点DFT。利用MATLAB计算DFTfft(x)fft(x,89x=[11-11];xm=fft(x,4);subplot(311);stem(0:3,abs(xm));axis([04-13]);xm1=fft(x,8);subplot(312);stem(0:7,abs(xm1));axis([08-13]);xm2=fft(x,16);subplot(313);stem(0:15,abs(xm2));axis([016-13]);利用MATLAB计算DFT---N=4、8、16x=[11-11];利用MATLAB计算DFT---90x=[0000011111100000];xm=fft(x,16);subplot(311);stem(0:15,abs(xm));axis([016-17]);subplot(312);xm1=fft(x,64);stem(0:63,abs(xm1));axis([064-17]);subplot(313);xm2=fft(x,256);stem(0:255,abs(xm2));axis([0256-17]);利用MATLAB计算DFT---N=16、64、256x=[0000011111100091x=[0000011111100000];x1=[000001];N1=6;xm1=fft(x1);subplot(211);stem(0:N1-1,abs(xm1));xm16=fft(x1,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));x2=[0000011];N2=7;xm2=fft(x2);subplot(211);stem(0:N2-1,abs(xm2));gridxm16=fft(x2,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx3=[00000111];N3=8;xm3=fft(x3);subplot(211);stem(0:N3-1,abs(xm3));xm16=fft(x3,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx4=[000001111];N4=9;xm4=fft(x4);subplot(211);stem(0:N4-1,abs(xm4));gridxm16=fft(x4,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridxm=fft(x,16);subplot(515);stem(0:15,abs(xm));x=[0000011111100092离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件93离散傅里叶变换的性质

1.线性

2.循环位移

3.对称性

4.序列的循环卷积5.Parseval定理6.序列DFT与z变换的关系离散傅里叶变换的性质1.线性941.线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT1.线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT952.循环位移(圆周移位)循环位移定义为:注意：隐含的周期性2.循环位移(圆周移位)循环位移定义为:注意：隐含的周96时移特性:若DFT{x[k]}=X[m]则DFT{xp[kn]RN[k]}=WNnm

X[m]表明：序列在时域上圆周移位，频域上将产生附加相移。证明：DFT{xp[kn]RN

[k]}时移特性:若DFT{x[k]}=X[m]97频移特性:若DFT{x[k]}=X[m]则DFT{x[k]WNlk}=Xp[ml]

RN[m]表明：若序列在时域上乘以复数指数序列WNlk，则在频域上，X[m]将圆周移位l位，也称“调制定理”。频移特性:若DFT{x[k]}=X[m]98设x[k]为实序列，DFT{x[k]}=X[m]，则

①X[m]的实部XR[m]是m的偶函数,虚部XI[m]是m的奇函数

②X[m]的幅频是m的偶函数，相位是m的奇函数。③具有半周期对称的特点，即X[m]=X*[Nm]3.对称性(symmetry)---1）实数序列x[k]设x[k]为实序列，DFT{x[k]}=X[m]99x=[0001111000];xm=fft(x,10);subplot(221);stem(0:9,abs(xm));subplot(222);stem(0:9,angle(xm));subplot(223);xm1=fft(x,11);stem(0:10,abs(xm1));subplot(224);stem(0:10,angle(xm1));设x[k]为实序列，DFT{x[k]}=X[m]，则

①X[m]的实部XR[m]是m的偶函数,虚部XI[m]是m的奇函数

②X[m]的幅频是m的偶函数，相位是m的奇函数。③具有半周期对称的特点，即X[m]=X*[Nm]x=[0001111000];设x[k]为1003.对称性---2）复数序列x[k]3.对称性---2）复数序列x[k]101若x*[k]是有限长序列x[k]的共轭复数序列，并设x[k]=xR[k]+jxI[k],x*[k]=xR[k]

jxI[k]有DFT{x*[k]}=X*[Nm]且Xep[m]

=DFT{xR[k]}={X[m]+X*[Nm]}/2

Xop[m]

=DFT{

jxI[k]}={X[m]X*[Nm]}/23.对称性---2）复数序列证明：若x*[k]是有限长序列x[k]的共轭复数序列，并设3.102循环卷积循环卷积1034.循环卷积定理时域卷积定理频域卷积定理时域的循环卷积对应频域的乘积时域的乘积对应频域的循环卷积5.Parseval定理4.循环卷积定理时域卷积定理频域卷积定理时域的循环卷积104序列DFT与z变换的关系有限长序列x[k]的DFT：有限长序列x[k]的z变换：序列DFT与z变换的关系有限长序列x[k]的DFT：有限长序105序列DFT与z变换的关系：x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样序列DFT与z变换的关系：x[k]的X[m]等于其z变换X(106两个有限长序列的线性卷积利用DFT计算序列线性卷积h(n)x(n)y(n)如果序列x(n)的长度为N1、序列h(n)的长度为N2，那么线性卷积y(n)也是一个有限长序列，且其长度为N1+N21。每个x(n)的样值都必须与每个h(n)的样值相乘，需N1N2次乘法运算，在N1=

N2=

N时，需N2次乘法运算。

能否用圆周卷积代替线性卷积??将进行卷积的两序列长度均加长至N

N1+

N21，然后再进行圆卷积，则其圆卷积的结果与线卷积的结果相同。两个有限长序列的线性卷积利用DFT计算序列线性卷积h(107序列线性卷积序列线性卷积108序列线性卷积能否用圆周卷积代替线性卷积??序列圆周卷积序列线性卷积能否用圆周卷积代替线性卷积??序列圆周卷积109离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件110利用DFT计算序列线性卷积的步骤若x[k]的长度为N，h[k]的长度为M，则L=N+M-1点循环卷积等于x[k]与h[k]的线性卷积。序列补零加长至Lx[k]N点L点DFTX[k]L

N

+

M

1序列补零加长至Lh[k]M点L点DFTH[k]IFFTy[k]相乘直接线卷积：N1N2次乘运算，N1

N2=

N时，需N2乘。利用圆卷积：两次FFT，一次IFFT利用DFT计算序列线性卷积的步骤若x[k]的111在一般的数字滤波器中，由于h(k)或H(m)是预先设计好的，已置于存储器中，故实际只需二次FFT的运算量。假定N

=

M=

L，补零后长度N

+

M

12L，需要2(L

log22L)次乘。此外完成X(k)与H(k)两序列相乘，全部复运算次数为2(L

log22L)+2L=2L(1+

log22L)比如L=210=1024L=26=64直接线卷积：10485766464=4096利用圆卷积：24576896

显然，随L，利用圆卷积比L2显著减小，所以采用圆卷积的方案可以加快完成卷积运算。利用DFT计算序列线性卷积的步骤在一般的数字滤波器中，由于h(k)或H(m)112利用DFT计算序列线性卷积的步骤两序列长度接近或相等的情况下，采用圆卷积的方案可以加快完成卷积运算。如果其中一个序列较短，而另一序列很长，圆卷积方案的相对运算量可能减小不多，甚至增多。这时，可采用分段卷积（分段过滤）的方法。其基本原理是：将较长的一个序列，比如x[n]分成许多小段，每小段长度都与h[n]接近，将x[n]的每个小段分别与h[n]作卷积，最后取和。这时，仍有可能发挥快速卷积的优越性。此方案的具体实现不是唯一的。利用DFT计算序列线性卷积的步骤两序列长度接113长序列和短序列的线性卷积直接利用DFT计算的缺点：(1)信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多。(2)内存要求大。(3)算法效率不高。解决问题方法：采用分段卷积分段卷积可采用重叠相加法和重叠保留法。长序列和短序列的线性卷积直接利用DFT计算的缺点：(1)114长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapadd）将长序列x[k]分为若干段长度为L的序列长度、起止点？？？长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapa115长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapadd）y0[k]的长度及起止点：y1[k-L]的长度及起止点：注意：序列y0[k],y1[k]的重叠部分重叠的点数：L+M-2-L+1=M-1依次将相邻两段的M-1个重叠点相加？？？，即得到最终的线性卷积结果。长序列和短序列的线性卷积1.重叠相加法（overlapa116离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件1172.重叠保留法（overlapsave）长序列和短序列的线性卷积方法：

(1)将x[k]长序列分段，每段长度为L。

(2)各段序列xn[k]与

M点短序列h[k]循环卷积。

(3)从各段循环卷积中提取线性卷积结果。因yn[k]=xn[k]h[k]前M-1个点不是线性卷积的点，故分段时，每段与其前一段有M-1个点重叠。第一段前需补M-1个零2.重叠保留法（overlapsave）长序列和短序列的1182.重叠保留法（overlapsave）长序列和短序列的线性卷积记：yn[k]=xn[k]Lh[k]01-Lk0k1-LM-1M-12.重叠保留法（overlapsave）长序列和短序列的119离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件120例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积,取L=5。解法一：使用重叠相加法---时域序列按L个点连续分段、计算L+M-1点圆周卷积（或计算L、M个点线性卷积）、前一个分段卷积结果的后M-1个点的序列值与后一个分段卷积结果的前M-1个点的序列值对应相加，构成要求的卷积结果。解法二：使用重叠保留法---时域序列以前后两段重叠M-1个点的形式按L个点分段、计算L点圆周卷积、保留每个分段卷积结果的后L-(M-1)个点的序列值，由他们按顺序构成要求的卷积结果。例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={121例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积,取L=5。1）重叠相加法例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={122例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，试分别利用重叠相加法和重叠保留法计算线性卷积,取L=5。2）重叠保留法例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={123利用DFT分析信号频谱问题的提出四种信号频谱之间的关系利用DFT分析连续非周期信号频谱混叠现象、泄漏现象、栅栏现象DFT参数选取利用DFT分析信号频谱问题的提出124四种信号频谱之间的关系：公式？利用DFT分析信号频谱四种信号频谱之间的关系：公式？利用DFT分析信号频谱125四种信号的时域与频域对应关系四种信号的时域与频域对应关系126利用DFT分析连续非周期信号的频谱假设连续信号持续时间有限，频带有限离散化抽样N点DFT利用DFT分析连续非周期信号的频谱假设连续信号持续时间有限127例：已知语音信号x(t)的最高频率为fm=3.4kHz,用fsam=8kHz对x(t)进行抽样。如对抽样信号做N=1600点的DFT，试确定X[m]中m=600和m=1200点所分别对应原连续信号的连续频谱点f1

和f2(kHz)。

解：例：已知语音信号x(t)的最高频率为fm=3.4kHz,用128利用DFT分析连续非周期信号的频谱求x(t)=e-tu(t)的幅度谱fs=16Hz,N=256t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x);利用DFT分析连续非周期信号的频谱求x(t)=e-tu(129N=100;fs=100;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X