全等三角形、轴对称能力提高练习

.PAGE.AMAMPCB1.如图,P是等边△ABC内的一点,连接PA、PB、PC.以PB为边作等边△BPM,连接CM.〔1观察并猜想AP与CM之间的大小关系,并说明你的结论；〔2若∠APC=100°,△PMC为直角三角形,求∠APB的度数AAEDCB2.如图,已知在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=,求∠ABC+∠ADC的度数。FEMNPOBAFEMNPOBA拓展：〔1若∠AOB=45º,连接OM,ON判断△MON的形状,并说明理由。〔2已知点P在∠AOB内,在OA,OB上分别取点E,F,使△PEF周长最小,请画出图形,并写出过程。FFEDACB4.已知如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90º,点D是BC边的中点,且BE=AF.求证：DE⊥DFAAEDCB5.如图,△ABC中,∠ABC=90º,AB=CB,AE平分∠BAC,过点C作CD⊥AD于点D,求证：CD=AEGGECBAF7.如图所示,△ABC中,AB=AC,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF,EF交BC于G,求证：EG=FG8.已知△ABC中,AB=AC,且过△ABC的某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形,试求△ABC各内角的度数。CDBA9.如图,△ABC中BD是AC边上的中线,BD⊥BC于点B,且∠CDBA求证：AB=2BC.PPBCA10.如图所示,△ABC是等边三角形,P是三角形外一点,且∠ABP+∠ACP=180º,求证：PB+PC=PAPADEFPADEFBC试证明PD+PE+PF是不变的值。ADEBCADEBC求证：DB=DE21DCBA13.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ABC=221DCBAFEDCBA图3FEDCBA图3EDCBA图2DCBEA图1观察思考：当点E为AB的中点时,如图1,线段AE与DB的大小关系是：AEDB<填"＞","＜"或"="；拓展延伸：当点E不是AB的中点时,如图2,猜想线段AE与DB的大小关系是：AEDB<填"＞","＜"或"=",并说明理由〔提示：在图2中,过点E作EF∥BC角AC于点F,得到图3。15.如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD右侧作正方形ADEF.解答下列问题：如果AB=AC,∠BAC=90º①当点D在线段BC上时,〔与点B不重合,如图2,线段CF、BD之间的位置关系为,数量关系为②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,请说明理由。CBFDEA〔2如图4,如果AB>AC,∠BAC>90º,点D在线段BC上运动,其余条件不变,猜想当∠BCACBFDEACCBFDEA图2图1图2图1FEFEDCBAFEDCBA图4图3图4图3FNMPEDCBA16.三角形ABC中,BD和CE是三角形的高,FNMPEDCBA在EC上取点P,使CP=AB,作FM垂直于BC,PN垂直于BC。求证PN+FM=BCPPCBA17.如图,等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90º,P为△ABC内部一点,满足PB=PC,AP=AC,则∠BCP=<>ADECB18.如图,△ABC中,AB=AC,角BAC=90度ADECBDE垂直AD,且DE=AD,连接BE,求∠DBE的度数。AACEDB19.如图,△ABC中,∠BAC=90º,AB=AC,点D是BC上一点,DE⊥AD且DE=AD,求证：CE⊥ACDDCAB20.△ABC为等边三角形,∠BDA=∠ADC=60°,试说明AD=BD+DCNNMEBDCA21.在等边三角形ABC中的AC延长线上取一点E,以CE为边做等边三角形CDE,使它与三角形ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证：三角形CNM为等边三角形。22.正方形ABCD,E为BC上一点,∠AEF为直角,CF平分∠DCG。<1>如图〔1,当点E在线段BC上时,求证：AE=EF<2>如图〔2,当点E在BC的延长线上时,试判断AE=EF是否依然成立,并说明理由。DCDCBAFEG图<1>DCBAFEG图<2>OOAMNDECB23.如图,ΔABC,ΔCDE是边等三角形,C为线段AE上一不动点①CN∥AB②AD=BE③∠AOE=120度④CM=CN⑤OC平分∠AOE⑥OB+OC=OA⑦DM=CN其中正确的有…………AMAMPCB图〔11.〔1AP=CM证明∶∵AB=BC,∠ABP=∠CBM,BP=BM∴△ABP≌△CBM﹙SAS﹚∴AP=CMAMPCBAMPCB图〔2∴∠BAP+∠BCP=∠BCP+∠BCM=∠PCM=100-60=40°若∠CPM=90°,如图〔1则∠APB=360-∠BPM-∠CPM-∠APC=360-60-90-100=110°若∠CMP=90°,如图〔2则∠APB=360-∠BPM-∠CPM-∠APC=360-60-50-100=150°AAFEDCB2.过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F∵AC平分∠BAD,CE⊥AB∴∠AEC=∠AFC=90º,∠EAC=∠FAC,CE=CF∴△AEC≌△AFC∴AE=AF∵AE=<AB+AD>∴2AE=AB+AD∴AB-AE=AE-AD∴AB-AE=AF-AD,即EB=FD在△EBC和△FDC中：CE=CF,∠BEC=∠DFC=90º,EB=FD∴△EBC≌△FDC∴∠B=∠FDC,即∠ABC=∠FDCFEMNPOBA∵∠FDC+∠ADC=180º∴∠ABFEMNPOBA3.∵M、N分别是点P关于OA、OB的对称点∴EP=EM,FP=FN∴△PEF的周长=EP+EF+FP=EM+EF+FN,即△PEF的周长=线段MN∵△PEF的周长=20cm∴MN=20cm<1>连接OM,OP,ON∵M、N分别是点P关于OA,OB的对称点∴OM=OP,ON=OP,∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB∴OM=ON∠MON=∠MOA+∠POA+∠NOB+∠POB=2<∠POA+∠POB>=2∠AOB∵∠AOB=45º,∴∠MON=90º,∴△MON是等腰直角三角形〔2分别作点P关于OA,OB的对称点M、N,连接MN,分别交OA,OB于点E、F连接PE、PF,△PEF即为所求。4.提示：连接AD,证△ADF≌△BDE5.提示：延长AB与CD的延长线交于点F,证△ABE≌△CBF6.提示：〔1EC=BD<2>∠BOP=∠BAE=60º,故∠BOP的大小与△ABC形状无关。7.提示：过点E作EM∥AC,交BC于点M,证△MEG≌△CFG8.〔1当在底边BC边上取点时,分两种情况：4545º45º45º45ºAECB图〔1xxFxx2x2xACB图〔2如图〔1,在BC上取点E,使AE=BE=CE时,容易计算得∠B=∠C=45º,∠BAC=90º；如图〔2,在BC上取点F,使AB=FB,AF=CF,设∠B=∠C=x,则∠FAC=x,∠BFA=∠BAF=2x,所以有x+x+x+2x=180º,x=36º,2x=72º,3x=108º,∠B=∠C=36º,∠BAC=108º；3x2x3x2x2xxxGCBA图〔4xx2x2xxxDCBA图〔3如图〔3,在AC上取点D,使BD=AD=BC,设∠A=x,则∠ABD=x,所以∠BDC=2x,∠C=2x,∠DBC=x,所以有x+2x+2x=180º,x=36º,2x=72º.所以∠A=36º,∠ABC=∠ACB=72º.如图〔4,在AC上取点G,使AG=BG,CG=CB,设∠A=x,则∠ABG=x,∠BGC=∠CBG=2x,所以,∠ABC=∠ACB=3x,所以x+3x+3x=180º,x=,3x=.所以∠A=,∠ABC=∠ACB=综上所述,△ABC各内角度数分别为45º,45º,90º或36º,36º,108º或36º,72º,72º或,,CDCDEBA△ADE≌△CDB,所以AE=BC,∠AED=90º,由∠ABC=120º,BD⊥BC,所以∠ABD=30º,所以AB=2AE=2BC10.延长PC到点D,使CD=BP,连接AD.∵∠ABP+∠ACP=180º,∠ACP+∠ACD=180ºDPBCADPBCA在△ABP和△ACD中：AB=AC,∠ABP=∠ACD,BP=CD∴△ABP≌△ACD.∴AP=AD,∠BAP=∠CAD.∵∠BAP+∠PAC=60º,∴∠CAD+∠PAC=60º,即∠PAD=60º∴∠PAD=60º∴△PAD是等边三角形∴AP=PD=PC+CDPAHPAHDEFBC11.过点A作AH⊥BC于H,连接PA、PB、PC.∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PACBC.AH=AB.PD+BC.PE+AC.PF又∵AB=BC=AC,∴AH=PD+PE+PF∴PD+PE+PF的值是等边△ABC的高,是不变的值。12.如图,延长AE到点F,使EF=AB,连接DF.ADEFBCADEFBC221EDCBA13.延长AB至点E,使BE=BD,连接DE,则∠BED=∠BDE∵∠ABD=∠E+∠BDE,∴∠ABD=2∠E∵∠ABC=2∠C,∴∠E=∠C在△AED和△ACD中：∠E=∠C,∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD∴AC=AE∵AE=AB+BE,∴AC=AB+BD即AB+BD=AC14.提示：证明△BDE≌△FEC15.<1>①CF⊥BD,CF=BD②成立。提示：证明△ABD≌△ACF<2>如右图,过点A作AG⊥AC交BC于点G,GABFEDC∴∠AGD+∠ACG=90ºGABFEDC∵CF⊥BC∴∠ACF+∠ACG=90º,∴∠AGD=∠ACF∵四边形ADFE是正方形∴∠CAF+∠DAC=90º,AD=AF∴∠GAD=∠CAF在△AGD和△ACF中：∠AGD=∠ACF,∠GAD=∠CAF,AD=AF∴△AGD≌△ACF∴AG=AC∴∠AGC=∠ACG=45º即∠BCA=45º∴当∠BCA=45º时CF⊥BC16.过点A作AQ⊥BC于点Q,FQNMPEDCBA∴∠FQNMPEDCBA∵CE⊥AB∴∠PCN+∠ABQ=90º∴∠BAQ=∠PCN∵PN⊥BC∴∠CNP=90º∴∠AQB=∠CNPPCBAPCBA∴△ABQ≌△CPN∴BQ=PN同理可证：△ACQ≌△BFM,∴CQ=FM∴PN+FM=BQ+CQ,即PN+FM=BC17.作PM⊥BC,PN⊥AC,垂足分别为M、N∴四边形PMCN是矩形∴PN＝CM∵PB＝PC∴CM＝BM＝BC＝AC∴PN=ACAMNDECBAMNDECB∴在直角△PAN中,∠PAN＝30º∴∠PCA＝∠CPA＝75º∴∠BCP＝90º－75º＝15º18.过点A作AN⊥BC于点N,过点E作EM⊥BC于点M∴∠DME=∠AND=90º,∠DAN+∠ADN=90º∵DE⊥AD∴∠EDM+∠ADN=90º∴∠EDM=∠DAN在△EDM和△DAN中：∠DME=∠AND,∠EDM=∠DAN,DE=AD∴△EDM≌△DAN∴DM=AN,EM=DN∵AB=AC,∠BAC=90º∴BN=AN∴BN=DM∴BN-MN=DM-MN,即BM=DN∴EM=BMNMCANMCAEDB19.提示：过点A作AM⊥BC于点M,过点E作EN⊥BC,交BC的延长线于点N证明△AMD≌△DNE,其余如上题。EBDCA20.EBDCA∵∠BDA=60°,∴△BDE是等边三角形,∴BD=BE,∠DBE=60°∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=BC,∴∠ABC=∠DBE∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE,即∠ABE=∠CBD∵BD=BE,BC=AB,∴△CBD≌△ABE﹙SAS﹚∴CD=AE,∴AD=AE+DE=CD+BD21.提示：证明△ACD≌△BCE,然后证明△AMC≌△BNC∴∠MCA=∠NCB,MC=NC∵∠MCA+∠MCB=60º,∴∠NCB+∠MCB=60º,即∠MCN=60º,∴△CNM为等边三角形。22.提示：〔1如图〔1,在AB上截取AH=EC,证明△AHE≌△ECF〔2如图〔2,延长BA到点H,使AH=EC,证明△AHE≌△ECFHHGECFDBA图<2>HHDCBA/