2.3二次函数与一元二次方程、不等式

PAGE2.3二次函数与一元二次方程、不等式知识梳理知识梳理1、一元二次不等式的概念（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．如：不等式2x2－x＋1＞0是一元二次不等式．（2）使一元二次不等式成立的未知数的取值范围叫一元二次不等式的解集．（3）一元二次不等式经过变形，可化成以下两种标准形式：①ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；②ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．设二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac，则：（1）Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的解x1，x2，设x1＜x2，则不等式①的解集为{x|x<x1或x>x2}，不等式②的解集为{x|x1<x<x2}．（2）Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的解，即x1＝x2，此时不等式①的解集为{x|x≠x1}，不等式②的解集为∅．（3）Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数解，不等式①的解集为R，不等式②的解集为∅．2、三个“二次”二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者之间的关系(如下表)：Δ＝b2－4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0解的情况ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2{x|x＞x2，或x＜x1}{x|x1＜x＜x2}Δ＝0有两相等实根x0{x|x≠x0}∅Δ＜0没有实根R∅3、含参数的一元二次不等式的解法（1）两边同除或同乘含参的式子时，应讨论含参的式子的符号．如：当a＞0时，关于x不等式ax＞a2的解是x＞a；当a＜0时，关于x不等式ax＞a2的解是x＜a．（2）解含参数的一元二次不等式时，先求相应二次方程的根，比较根的大小后，再根据相应二次函数的图象写出不等式的解集．如：当a＞0时，关于x不等式x2－ax＞0的解是x＜0或x＞a；当a＜0时，关于x不等式x2－ax＞0的解是x＜a或x＞0．知识典例知识典例题型一一元二次不等式的求解例1不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A巩固练习巩固练习1、不等式的解集是（）A．或 B．或C． D．【答案】C2、不等式的解集为____________．【答案】题型二分式不等式求解例2解不等式eq\f(2x－5,3－x)＞0解析：原不等式可化为：eq\f(2x－5,x－3)＜0，即(2x－5)(x－3)＜0.∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))，∴原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))巩固练习巩固练习求下列不等式的解集：(1)eq\f(x＋2,1－x)＜0(2)eq\f(x＋1,x－2)≤2.解析：(1)由eq\f(x＋2,1－x)＜0，得eq\f(x＋2,x－1)＞0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)＞0，∴原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．(2)解法一：移项得eq\f(x＋1,x－2)－2≤0，左边通分并化简有eq\f(－x＋5,x－2)≤0，即eq\f(x－5,x－2)≥0，它的同解不等式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x－5≥0，,x－2≠0，))∴x＜2或x≥5，∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．题型三带参数的一元二次不等式例3解关于的一元二次不等式【解析】利用十字相乘法进行化简：（1）当时，即，解为（2）当时，即，解为（3）当时，即，解为巩固练习巩固练习1、解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0.分析：求出一元二次方程的两根2a，－a，比较两根的大小．解析：方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a，(1)若a＞0，则－a＜x＜2a，此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；(2)若a＜0，则2a＜x＜－a，此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}；(3)若a＝0，则原不等式即为x2＜0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}；当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}；当a＝0时，∅.2、解关于x的不等式.【答案】答案不唯一，具体见解析.题型四二次项系数为参数的一元二次不等式例4设，解关于的不等式．【答案】详见解析巩固练习巩固练习1、若不等式的解集为R，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B2、解关于x的不等式：ax2－2(a＋1)x＋4＜0.解析：(1)当a＝0时，原不等式的解集为：{x|x＞2}．(2)当a≠0时，原不等式化为：aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x－2)＜0，①当a＜0时，原不等式等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x－2)＞0，此时原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(2,a)或x＞2))))；②当0＜a＜1时，2＜eq\f(2,a)，此时原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(2,a)))))；③当a＞1时，eq\f(2,a)＜2，此时原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＜x＜2))))；④当a＝1时，原不等式的解集为∅.题型五参数求解例5一元二次不等式的解集是，则的值是（）A．10 B．-10 C．14 D．-14【答案】D巩固练习巩固练习1、已知不等式的解集为，则不等式的解为（）A． B．或C． D．或【答案】A2、已知不等式的解集为．（1）求和的值；（2）求不等式的解集.【答案】(1)，；(2)题型五恒成立问题例5若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_____.【答案】巩固练习巩固练习1、已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________.【答案】2、对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】C巩固提升巩固提升1、不等式的解集为（）A．或 B．C．或 D．【答案】C2、不等式的解集为（）A．或 B．或C． D．【答案】A3、不等式的解集是，则的值为（）A．14 B．-14 C．10 D．-10【答案】D4、不等式的解集是（）A．或B．或C．D．【答案】C5、不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A6、已知集合，则=A． B． C． D．【答案】C7、已知不等式的解集为，则实数=．【答案】8、已知不等式对任意实数恒成立．则取值范围是（）A．(－1，0) B．[－1，0] C． D．(－1，0]【答案】D9、解下列两个关于x的不等式：（1）；（2）【答案】（1）或；（2）．10、已知不等式的解集是．（1）若，求的取值范围；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）；（2）．11、若不