三角函数及解三角形专题测试和解答

..三角函数、解三角形专题测试<时间120分钟,满分150分>一、选择题<本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．>1．cos<－eq\f<17π,4>>－sin<－eq\f<17π,4>>的值是<>A.eq\r<2>B．－eq\r<2>C．0D.eq\f<\r<2>,2>解析：原式＝cos<－4π－eq\f<π,4>>－sin<－4π－eq\f<π,4>>＝cos<－eq\f<π,4>>－sin<－eq\f<π,4>>＝coseq\f<π,4>＋sineq\f<π,4>＝eq\r<2>.答案：A2．已知sinα＝eq\f<2m－5,m＋1>,cosα＝－eq\f<m,m＋1>,且α为第二象限角,则m的允许值为<>A.eq\f<5,2>＜m＜6B．－6＜m＜eq\f<5,2>C．m＝4D．m＝4或m＝eq\f<3,2>解析：由sin2α＋cos2α＝1得,<eq\f<2m－5,m＋1>>2＋<－eq\f<m,m＋1>>2＝1,∴m＝4或eq\f<3,2>,又sinα＞0,cosα＜0,把m的值代入检验得,m＝4.答案：C3．已知sin<x＋eq\f<π,4>>＝－eq\f<3,5>,则sin2x的值等于<>A．－eq\f<7,25>B.eq\f<7,25>C．－eq\f<18,25>D.eq\f<18,25>解析：sin<x＋eq\f<π,4>>＝eq\f<\r<2>,2><sinx＋cosx>＝－eq\f<3,5>,所以sinx＋cosx＝－eq\f<3\r<2>,5>,所以<sinx＋cosx>2＝1＋sin2x＝eq\f<18,25>,故sin2x＝－eq\f<7,25>.答案：A4．设a＝sin15°＋cos15°,b＝sin17°＋cos17°,则下列各式中正确的是<>A．a＜eq\f<a2＋b2,2>＜bB．a＜b＜eq\f<a2＋b2,2>C．b＜eq\f<a2＋b2,2>＜aD．b＜a＜eq\f<a2＋b2,2>解析：a＝eq\r<2>sin<15°＋45°>＝eq\r<2>sin60°,b＝eq\r<2>sin<17°＋45°>＝eq\r<2>sin62°,b＞a.eq\f<a2＋b2,2>＝sin260°＋sin262°＞2sin60°sin62°＝eq\r<3>sin62°,∴eq\f<a2＋b2,2>＞b＞a.答案：B5．<2010·XX模拟>将函数y＝sinx的图象向左平移φ<0≤φ＜2π>个单位后,得到函数y＝sin<x－eq\f<π,6>>的图象,则φ等于<>A.eq\f<π,6>B.eq\f<11π,6>C.eq\f<7π,6>D.eq\f<5π,6>解析：依题意得y＝sin<x－eq\f<π,6>>＝sin<x－eq\f<π,6>＋2π>＝sin<x＋eq\f<11π,6>>,将y＝sinx的图象向左平移eq\f<11π,6>个单位后得到y＝sin<x＋eq\f<11π,6>>的图象,即y＝sin<x－eq\f<π,6>>的图象．答案：B6．在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosA＞sinB,则△ABC的形状是<>A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：cosA＝sin<eq\f<π,2>－A>＞sinB,eq\f<π,2>－A,B都是锐角,则eq\f<π,2>－A＞B,A＋B＜eq\f<π,2>,C＞eq\f<π,2>.答案：C7．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝eq\f<π,3>对称．则下列四个函数中,同时具有性质①②的是<>A．y＝sin<eq\f<x,2>＋eq\f<π,6>>B．y＝sin<2x＋eq\f<π,6>>C．y＝sin|x|D．y＝sin<2x－eq\f<π,6>>解析：∵T＝eq\f<2π,ω>＝π,∴ω＝2.对于选项D,又2×eq\f<π,3>－eq\f<π,6>＝eq\f<π,2>,所以x＝eq\f<π,3>为对称轴．答案：D8．△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为eq\f<1,3>,则其外接圆的半径为<>A.eq\f<9\r<2>,2>B.eq\f<9\r<2>,4>C.eq\f<9\r<2>,8>D．9eq\r<2>解析：由余弦定理得：三角形第三边长为eq\r<22＋32－2×2×3×\f<1,3>>＝3,且第三边所对角的正弦值为＝eq\f<2\r<2>,3>,所以2R＝eq\f<3,\f<2\r<2>,3>>⇒R＝eq\f<9\r<2>,8>.答案：C9．在△ABC中,角A,B所对的边长为a,b,则"a＝b"是"acosA＝bcosB"的<>A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：a＝b⇒A＝B⇒acosA＝bcosB,条件是充分的；acosA＝bcosB⇒sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A＋2B＝π,即A＝B或A＋B＝eq\f<π,2>,故条件是不必要的．答案：A10．已知函数f<x>＝asin2x＋cos2x<a∈R>图象的一条对称轴方程为x＝eq\f<π,12>,则a的值为<>A.eq\f<1,2>B.eq\r<3>C.eq\f<\r<3>,3>D．2解析：函数y＝sinx的对称轴方程为x＝kπ＋eq\f<π,2>,k∈Z,f<x>＝eq\r<a2＋1>sin<2x＋φ>,其中tanφ＝eq\f<1,a>,故函数f<x>的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋eq\f<π,2>,k∈Z,而x＝eq\f<π,12>是其一条对称轴方程,所以2×eq\f<π,12>＋φ＝kπ＋eq\f<π,2>,k∈Z,解得φ＝kπ＋eq\f<π,3>,k∈Z,故tanφ＝eq\f<1,a>＝tan<kπ＋eq\f<π,3>>＝eq\r<3>,所以a＝eq\f<\r<3>,3>.答案：C11．已知函数f<x>的部分图象如图所示,则f<x>的解析式可能为<>A．f<x>＝2cos<eq\f<x,2>－eq\f<π,3>>B．f<x>＝eq\r<2>cos<4x＋eq\f<π,4>>C．f<x>＝2sin<eq\f<x,2>－eq\f<π,6>>D．f<x>＝2sin<4x＋eq\f<π,4>>解析：设函数f<x>＝Asin<ωx＋φ>,由函数的最大值为2知A＝2,又由函数图象知该函数的周期T＝4×<eq\f<5π,3>－eq\f<2π,3>>＝4π,所以ω＝eq\f<1,2>,将点<0,1>代入得φ＝eq\f<π,6>,所以f<x>＝2sin<eq\f<1,2>x＋eq\f<π,6>>＝2cos<eq\f<1,2>x－eq\f<π,3>>．答案：A12．<2010·XX模拟>当0＜x＜eq\f<π,2>时,函数f<x>＝eq\f<1＋cos2x＋8sin2x,sin2x>的最小值为<>A．2B．2eq\r(3>C．4D．4eq\r<3>解析：f<x>＝eq\f<1＋cos2x＋8sin2x,sin2x>＝eq\f<2cos2x＋8sin2x,2sinxcosx>＝eq\f<cosx,sinx>＋eq\f<4sinx,cosx>≥2eq\r<\f<cosx,sinx>·\f<4sinx,cosx>>＝4,当且仅当eq\f<cosx,sinx>＝eq\f<4sinx,cosx>,即tanx＝eq\f<1,2>时,取"＝",∵0＜x＜eq\f<π,2>,∴存在x使tanx＝eq\f<1,2>,这时f<x>min＝4.答案：C二、填空题<本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填写在题中的横线上>13．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B＝60°,C＝75°,a＝4,则b＝________.解析：易知A＝45°,由正弦定理eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>得eq\f<4,sin45°>＝eq\f<b,sin60°>,解得b＝2eq\r<6>.答案：2eq\r<6>14．计算：eq\f<cos10°＋\r<3>sin10°,\r<1－cos80°>>＝________.解析：eq\f<cos10°＋\r<3>sin10°,\r<1－cos80°>>＝eq\f<2cos<10°－60°>,\r<2sin240°>>＝eq\f<2cos50°,\r<2>sin40°>＝eq\r<2>.答案：eq\r<2>15．在△ABC中,已知tanA＝3tanB,则tan<A－B>的最大值为________,此时角A的大小为________．解析：由于tan<A－B>＝eq\f<tanA－tanB,1＋tanAtanB>＝eq\f<3tanB－tanB,1＋3tanB·tanB>＝eq\f<2tanB,1＋3tan2B>≤eq\f<\r<3>,3>.当且仅当1＝eq\r<3>tanB时取"＝"号,则tanB＝eq\f<\r<3>,3>⇒tanA＝eq\r<3>⇒A＝60°.答案：eq\f<\r<3>,3>60°16．如图是函数f<x>＝Asin<ωx＋φ><A＞0,ω＞0,－π＜φ＜π>,x∈R的部分图象,则下列命题中,正确命题的序号为________．①函数f<x>的最小正周期为eq\f<π,2>；②函数f<x>的振幅为2eq\r<3>；③函数f<x>的一条对称轴方程为x＝eq\f<7π,12>；④函数f<x>的单调递增区间为[eq\f<π,12>,eq\f<7π,12>]；⑤函数的解析式为f<x>＝eq\r<3>sin<2x－eq\f<2π,3>>．解析：由图象可知,函数f<x>的最小正周期为<eq\f<5π,6>－eq\f<π,3>>×2＝π,故①不正确；函数f<x>的振幅为eq\r<3>,故②不正确；函数f<x>的一条对称轴方程为x＝eq\f<\f<5π,6>＋\f<π,3>,2>＝eq\f<7π,12>,故③正确；④不全面,函数f<x>的单调递增区间应为[eq\f<π,12>＋2kπ,eq\f<7π,12>＋2kπ],k∈Z；由eq\r<3>sin<2×eq\f<7π,12>＋φ>＝eq\r<3>得2×eq\f<7π,12>＋φ＝eq\f<π,2>＋2kπ,k∈Z,即φ＝2kπ－eq\f<2π,3>,k∈Z,∵－π＜φ＜π,故k取0,从而φ＝－eq\f<2π,3>,故f<x>＝eq\r<3>sin<2x－eq\f<2π,3>>．答案：③⑤三、解答题<本大题共6小题,共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤>17．<本小题满分12分>已知tan<α＋eq\f<π,4>>＝－3,α∈<0,eq\f<π,2>>．<1>求tanα的值；<2>求sin<2α－eq\f<π,3>>的值．解：<1>由tan<α＋eq\f<π,4>>＝－3可得eq\f<tanα＋1,1－tanα>＝－3.解得tanα＝2.<2>由tanα＝2,α∈<0,eq\f<π,2>>,可得sinα＝eq\f<2\r<5>,5>,cosα＝eq\f<\r<5>,5>.因此sin2α＝2sinαcosα＝eq\f<4,5>,cos2α＝1－2sin2α＝－eq\f<3,5>,sin<2α－eq\f<π,3>>＝sin2αcoseq\f<π,3>－cos2αsineq\f<π,3>＝eq\f<4,5>×eq\f<1,2>＋eq\f<3,5>×eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<4＋3\r<3>,10>.18．<本小题满分12分>已知函数f<x>＝2sinxcosx＋eq\r<3><2cos2x－1>．<1>将函数f<x>化为Asin<ωx＋φ><ω＞0,|φ|＜eq\f<π,2>>的形式,填写下表,并画出函数f<x>在区间[－eq\f<1,6>π,eq\f<5,6>π]上的图象；xωx＋φ0eq\f<π,2>πeq\f<3,2>π2πf<x><2>求函数f<x>的单调减区间．解：<1>f<x>＝2sinxcosx＋eq\r<3><2cos2x－1>＝sin2x＋eq\r<3>cos2x＝2sin<2x＋eq\f<π,3>>.x－eq\f<π,6>eq\f<π,12>eq\f<π,3>eq\f<7π,12>eq\f<5π,6>ωx＋φ0eq\f<π,2>πeq\f<3,2>π2πf<x>020－20图．<2>由2kπ＋eq\f<π,2>≤2x＋eq\f<π,3>≤2kπ＋eq\f<3π,2><k∈Z>得kπ＋eq\f<π,12>≤x≤kπ＋eq\f<7π,12><k∈Z>,故函数f<x>的单调减区间为[kπ＋eq\f<π,12>,kπ＋eq\f<7π,12>]<k∈Z>．19．<本小题满分12分>已知函数f<x>＝2sinxcos<eq\f<π,2>－x>－eq\r<3>sin<π＋x>cosx＋sin<eq\f<π,2>＋x>cosx.<1>求函数y＝f<x>的最小正周期和最值；<2>指出y＝f<x>图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称．解：<1>f<x>＝2sin2x＋eq\r<3>sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋eq\r<3>sinxcosx＝1＋eq\f<1－cos2x,2>＋eq\f<\r<3>,2>sin2x＝sin<2x－eq\f<π,6>>＋eq\f<3,2>,y＝f<x>最小正周期T＝π.y＝f<x>的最大值为eq\f<3,2>＋1＝eq\f<5,2>,最小值为eq\f<3,2>－1＝eq\f<1,2>.<2>∵y＝eq\f<3,2>＋sin<2x－eq\f<π,6>>的图象y＝sin2x的图象．20．<本小题满分12分>在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,coseq\f<A＋C,2>＝eq\f<\r<3>,3>.<1>求cosB的值；<2>若·＝2,b＝2eq\r<2>,求a和c的值．解：<1>∵coseq\f<A＋C,2>＝eq\f<\r<3>,3>,∴sineq\f<B,2>＝sin<eq\f<π,2>－eq\f<A＋C,2>>＝eq\f<\r<3>,3>,∴cosB＝1－2sin2eq\f<B,2>＝eq\f<1,3>.<2>由·＝2可得a·c·cosB＝2,又cosB＝eq\f<1,3>,故ac＝6,由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12,∴<a－c>2＝0,故a＝c,∴a＝c＝eq\r<6>.21．<本小题满分12分>如图所示,甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行,速度为15eq\r<2>海里/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40海里处的B岛出发,朝北偏东θ<tanθ＝eq\f<1,2>>的方向作匀速直线航行,速度为10eq\r(5)<1>求出发后3小时两船相距多少海里？<2>求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？解：以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．设在t时刻甲、乙两船分别在P<x1,y1>,Q<x2,y2>．则eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x1＝15\r<2>tcos45°＝15t,y1＝x1＝15t>>,由tanθ＝eq\f<1,2>可得,cosθ＝eq\f<2\r<5>,5>,sinθ＝eq\f<\r<5>,5>,故eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x2＝10\r<5>tsinθ＝10t,,y2＝10\r<5>tcosθ－40＝20t－40.>><1>令t＝3,P、Q两点的坐标分别为<45,45>,<30,20>,|PQ|＝eq\r<<45－30>2＋<45－20>2>＝eq\r<850>＝5eq\r<34>.即出发后3小时两船相距5eq\<2>由<1>的解法过程易知：|PQ|＝eq\r<<x2－x1>2＋<y2－y1>2>＝eq\r<<10t－15t>2＋<20t－40－15t>2>＝eq\r<50t2－400t＋1600>＝eq\r<50<t－4>2＋800>≥20eq\r<2>,∴当且仅当t＝4时,|PQ|取得最小值20eq\r<2>.即两船出发后4小时时,相距20eq\22．<本小题满分14分>已知函数f<x>＝2cosxsin<x＋eq\f<π,3>>－eq\f<\r<3>,2>.<1>求函数/r/