曲边梯形的面积

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曲边梯形的面积

河北正定中学毛双景

一、教学内容解析

微积分的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．导数和定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用．

本节课是人教A版选修2-2第一章第五节《定积分》的起始课，曲边梯形的面积是定积分概念的几何背景，求曲边梯形面积的过程蕴含着定积分的基本思想方法，为引入定积分的概念和体会定积分的基本思想奠定基础

二.学生学情分析：

本节课的教学对象是石家庄市重点中学的学生，学生的思维比较活跃，数学基础较好，理解能力、运算能力和学习交流能力较强．学生在本节课之前已经具备的认知基础有如下几个方面.

（1）在过去的学习中，学生已经知道“直边图形”面积的求法，知道通过割补的方法将不规则图形转化为若干规则图形来计算面积.

（2）在（数学）必修3中的阅读与思考内容中已有了对刘徽的“割圆术”具体介绍，个别学生对“以直代曲”“逐步逼近”思想已有所了解.

（3）学生在学习本节前已经知道如何对数列进行求和.

学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲、无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上，具体来说就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形、梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算；二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值.

三、教学目标分析

依据教学大纲，结合教材内容和学生的认知水平，我将本节课的教学目标确定如下：

（1）知识与技能:从问题情境中了解定积分的实际背景；掌握求曲边梯形面积的方法及步骤；（2）过程与方法:经历求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”、“无限逼近”的微积分基本思想方法；

（3）情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学知识产生的过程，提升学生的交流合作意识，体验“有限与无限对应统一”的辩证观点.

四、教学重点、难点：

重点：探究求曲边梯形面积的方法.

难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”思想的方法.

五、教学策略分析：

根据本节课的教学内容，学生情况和教学目标，为了突出教学重点，突破难点，体现新课标“以人为本，主动发展”的教学理念，教学中采用“教师设疑引导，学生交流合作”的教学方法，通过问题激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、交流、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。

针对本节课的重点——探究求曲边梯形面积的方法，教学中采用从一般到特殊再到一般的教学过程，先通过讨论一般的曲边梯形如何以直代曲，再通过特例应用实施，小结步骤，最后进行一般推广，共性归纳，从而逐步强化求曲边梯形面积的方法和步骤，突出教学重点．

本节课的难点之一就是如何“以直代曲”．针对这个难点，教学中采取两个措施．一是引导学生在回顾割圆术的过程中思考：为什么用正多边形计算圆的面积？为什么让边数逐次加倍？怎样才能“越来越接近”？通过以上几个问题的讨论使学生对割圆术的认识不仅仅停留在思想和方法层面，同时引导学生在以往的学习和生活中也有以直代曲的例子，使学生对以直代曲的方法认识清楚．二是通过分组的方式让学生进行自主探究，通过分析和比较各种方案优劣繁简，为后面的具体操作奠定基础．

本节课的另一个难点是对“极限”和“无限逼近”的理解．针对这个难点，教学中先分别采用图形、数表两种方式呈现逐渐细分和无限逼近的过程，通过对含的代数式对变量的理解，当趋近于无穷大时，都趋近于同一个常数，在此基础上引出取极限的方法，使学生从感性认识上升到理性认识的过程水到渠成．

六、教具分析

为更好的完成教学目标，体现学生探究学习的过程，利用实物投影展现学生研究成果；借助教学课件形象直观的展示问题；利用几何画板软件动态演示分割变细过程，感悟无限逼近的极限思想.

七、教学过程设计：

为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，我把教学过程设计为“问题引入--寻找方案--实施方案--解觉问题--提炼本质”五个阶段．

（-）问题引入，点出课题：

问题1：在实际生活中，经常会遇见一些不规则的曲边围成的平面图形(如图蔬菜大棚的横截面)，你能求这些图形的面积吗？

曲边梯形的概念：如右图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．

问题2：求与轴及所围成的平面图形面积S？

设计意图：在初等数学中，学生已经学习了一些简单图形的面积，但实际生活中出现的图形常是具有不规则的曲边，这是定积分要解决的问题，产生学生的认知矛盾，激发学生的探究欲望,设置两个问题也符合学生的认知水平，符合从特殊到一般的学习过程.

（二）寻找方案

学生活动（1）思考：目前为止能求面积的平面图形，并说明是什么方法？

设计意图：温故知新，复习用公式法、割补法等求平面图形的几种方法，为研究曲边梯形的面积做铺垫，并引导学生积极的参与到学习活动中来。

学生活动（2）圆的面积如何推导的？

设计意图：通过查阅资料让学生对以直代曲的思想方法有个初步的了解，为研究曲边梯形的方法做好铺垫.

学生活动（3）在日常生活和以前的学习中，有没有体现一直带曲、无限逼近的方法，请举例说明.

设计意图：通过曲线上某点出的切线、拱形门洞、球的表面积推导过程，让学生从不同角度认识到以直代曲是一种研究问题的方法，为进一步研究曲边梯形的面积提供能让学生理解、顺利接受的方法。

学生活动（4）：为什么要逐次加倍正多边形的边数？

设计意图：目的是让学生理解无限逼近的思想，分割的越多，误差就会越小，为下面对曲边梯形的分割提供支持.

（三）实施方案：

1.分割：

学生活动(5)：请讨论：如何分割？

展示学习小组的部分分割的方案：

（1）竖向分割（2）横向分割（3）随意分割

设计意图：学生的思维是比较发散的，分割的时候可能有不同的角度，表扬学生的个性，通过对比交流，确定容易操作的分割方案，培养学生的辩证思维意识.

学生活动（6）：请讨论：分割多少份合适？

设计意图：学生只知道分割，具体分割多少份不知道如何确定，利用刘徽的割圆术，知道分割的越多，误差越小，为了便于操作，引导学生会利用n控制分割的份数，把[0,1]分割成n等份.

2.近似代替：

学生活动（7）：以什么样的直边图形近似代替小曲边图形？

展示学习小组的部分近似代替的方案：

（1）（2）（3）（4）

矩形矩形矩形梯形

不足过剩中点代替

设计意图：学生分割后，转化成n个曲边梯形，利用直边图形代替，不同的小组可能有不同的方案，通过学生合作交流确定方案，让学生感受不同角度思考问题，每一种方案都体现出学生的智慧，对学生的思维品质的培养有很大的促进作用.

3.求和：

学生活动（8）：如何用n的式子表示直边图形的面积和？

展示学习小组部分计算结果：

（1）以左端点函数值计算：

（2）.以右端点函数值计算

（3）以中间点的函数值

设计意图：通过分割、近似代替两步以后，肯定要进行求和，每个小组根据自己的方案计算出面积和，发现每一种和结果的代数式子不一样，为后面引入极限做个铺垫，让学生体现成功的喜悦.

4．求极限

学生活动(9)：请讨论：对控制变量n怎样理解，面积S变化趋势怎样？

展示学生思维结果：

（1）当时，

（2）当时，

（3）当时，

设计意图：以上三种方案得到的面积都是用n表示的表达式，而曲边梯形的面积应该是一个常数，如何确定这个常数，学生已经知道分割的份数越多，误差就越小，利用前面导数的概念，可以确定当n趋近于无穷大时，S趋近于一个常数，进一步让学生体会无限逼近的思想方法，理解极限的含义.

学生活动（10）：请对n赋值1，2，3，4等进行验证，当n变大时，误差是否变小？

等分数n

不足近似值a(n)

过剩近似值b(n)

精确度c(n)=b(n)?a(n)

1

0.00000

1.00000

1.00000

2

0.12500

0.62500

0.50000

3

0.18519

0.51852

0.33333

4

0.21875

0.46875

0.25000

…

…

…

…

设计意图：让学生在教学中先分别用形、数两种方式体会无限逼近的过程，再在此基础上引出取极限的合理性，使学生经历从直观到抽象的过程，实现从感性到理性的过渡．为以后定积分的学习奠定基础

（四）操作应用：

学生活动（11）：你能概括出求这个曲边梯形面积的步骤吗？

学生答案：

设计意图：引导学生回顾求曲边梯形面积的过程，并概括求曲边梯形面积的方法、步骤以及其中蕴含的数学思想，初步形成解决曲边梯形面积问题的一般方法。

学生活动（12）：在求小矩形的面积时，我们提到了可以取在区间上任意一点处的值作为小矩形的高，会有怎样的结果？

展示学生结果：

设计意图：让学生理解定积分的本质，进一步理解无限逼近、极限的含义，掌握数学符号的作用，培养学生的数学素养.

(五)课堂总结

学生活动（13）：请同学交流，谈谈本节课的收获？

求曲边梯形面积的步骤是：分割--近似代替--求和--取极限；

学习到的基本数学方法是：以直代曲、无限逼近。

八、课后作业设置

1.请用数学式子表示1.5-1对应的曲边图形的面积？

2．课本练习题；

3．阅读课本，并用电脑操作验证.

设计意图：通过不同的作业，掌握解决具体问题的步骤与方法，交给学生能操作的知识与手段，结合电脑对课本上的一些结论进行进一步验证，帮助学生进一步理解概念，形成能力，培养学生的数学素养.

九、板书设计

曲边梯形的面积

一、曲边梯形概念

二、求曲边梯形面积的步骤

1.分割

2.近似代替

3.求和

4.求极限

三、思想与方法

1.割补法

2.以直代曲

3.无限逼近（极限）

十、教学课后反思：

本节课在教学重点上，教学过程以“问题设疑，寻找方案、实施方案、解决问题、提炼本质”的顺序展开，符合新课标要求的“以人为本”的理念，基本达到了让学生学有用的数学的新课程要求，教学过程以“求曲边梯形的面积”为主题，以“探究求曲边梯形面积的方法”为主线，学生学会了求曲边梯形面积的方法，并对“以直代曲，无限逼近”的数学思想方法有了比较深刻的认识。使学生初步体会定积分的基本思想是从有限中认识无限、从近似中认识精确、从量变中认识质变的一种数学思想．本节课在教学设计和实施过程中，努力创设一个探索数学的学习环境，力求符合学生的认知规律，充分发挥学生的主体意识，使学生在探究问题的过程中，亲身体验数学概念形成的过程．

本节课在难点突破上，教学过程设计合理，自然流畅，比较各种方案以及几何画板的有效使用，直观形象地呈现了图形动态、变化的过程，使得学生对“以直代曲，无限逼近”数学思想方法从感性升华到理性，难点突破水到渠成。

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