数学归纳法复习中小学教学课件

知识点复习区别归纳法和数学归纳法数学归纳法原理是什么?

如果关于自然数n的一个命题p(n)满足下列条件

(1)p(n0)成立,即当n=n0(例如n0=1)时,命题成立;(2)假设p(k)成立,则p(k+1)也成立;

根据(1)(2)知p(n)成立用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤是怎样的?知识点复习区别归纳法和数学归纳法知识点复习4.对数学归纳法实质的理解例.下面是某同学用数学归纳法证明命题

的过程.你认为他的证法正确吗?为什么

(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边

=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.知识点复习4.对数学归纳法实质的理解知识点复习对数学归纳法实质的理解数学归纳法证题的这两个步骤,第一个步骤是命题递推的基础,第二个步骤是命题推理的根据,二者缺一不可.其中第二步是数学归纳法的核心,在从n=k到n=k+1的递推过程中,必须要运用归纳假设,这是数学归纳法证题的本质特征.如若在此过程中,没有运用归纳假设,不论形式上多么相似,也不能称此证明方法为数学归纳法.由于数学归纳法包含两个步骤一个结论,故最后应完整地写出结论.知识点复习数学小常识德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想.数学小常识德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任专项训练(归纳猜测)一.归纳、猜测：如图，把边长为1的正方形看作第一层壳，其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2

的第二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形，再镶上为s3的第三层外壳，使之构成边长为1+2+3的正方形，依次下去，试猜测第n层外壳的面积s解:s1=1s2=(1+2)2－1=8s3=(1+2+3)2－9=27s4=(1+2+3+4)2－36=64…sn=(1+2+…+n)2－(n－1)2=n3专项训练(归纳猜测)一.归纳、猜测：解:s1=1专项训练(归纳猜测)13=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=100…试猜测：13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+…+n)2=12=(1+2)2=(1+2+3)2=(1+2+3+4)2专项训练(归纳猜测)13=1(1+2+3+…+n)2=12=专项训练(归纳猜测)古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形：每一堆球数依次为1，3，6…，这种数叫做“三角形数”或简称“三角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三角数作过专门的研究，并获得丰硕的成果，如果用tn表示第n个三角数，则由上图可知t1=1,t2=3,t3=6,…◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎…(1)求t2

－t1,t3－t2,t4－t3的值，并猜测tn－tn－1值。

(2)求t1

＋t2,t2＋t3,t3＋t4的值，并猜测tn－1＋tn值。解:(1)t2－t1=2;t3－t2=3;t4－t3=4;…tn－tn－1=n(2)t1＋t2=4;t2＋t3=9;t3＋t4=16;…tn－1＋tn=n2专项训练(归纳猜测)古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边专项训练(对命题的理解)解析:令f(n)=（n＋1)＋(n＋2)＋…＋（n＋n）

f(k)=(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)f(k＋1)=[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[(k＋1)＋(k＋1)]=(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(k＋k)＋(2k＋1)＋(2k＋2)f(k＋1)－f(k)=(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)=3k＋2用数学归纳法证明命题：

(n＋1)（n＋2)…(n＋n)=2n×1×3×…（2n－1)的第二步中，

n=k＋1时需证：解析:[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]=2k＋1×1×3×…×[2(k＋1)－1]即:(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)=2k＋1×1×3×…×[2k＋1]用数学归纳法证明（n＋1)＋(n＋2)＋…＋（n＋n）=

的第二步中，n=k＋1时的等式左边与n=k时的等式左边的差等于专项训练(对命题的理解)解析:令f(n)=（n＋1)＋(专项训练

k

k+1P(k)与p(k+1)的进和退在数学归纳法的第二步归纳推理中，由p(k)p(k+1)的过渡，有两种基本途径可寻:

一、由p(k)向p(k+1)推证二、由p(k+1)倒退专项训练

k

k+1P(k)与p(k+1)的进和退专项训练

k

k+1

证明：（1）当n=1时，命题显然成立。

(2)假设当n=k时,命题成立,即

(k＋1)（k＋2)…(k＋k)=2k×1×3×…（2k－1)当n=k+1时,待证:(k＋2)（k＋3)…2k(2k+1)(2k+2)=2(k+1)×1×3×…（2k－1)(2k+1)据途径一:由p(k)出发，直接构造p(k+1)形式。

整理得：(k＋2)（k＋3)…2k(2k+1)(2k+2）

=2×2k×1×3×…（2k－1)（2k+1)=2(k+1)×1×3×…（2k－1)(2k+1)即：n=k+1时，命题成立。由(1)(2)知,命题成立(k＋1)（k＋2)…(k＋k)

=2k×1×3×…×（2k－1)例.用数学归纳法证明命题：

(n＋1)（n＋2)…(n＋n)=2n×1×3×…（2n－1)专项训练

k

k+1

证明：（1）当n=1时，命题显专项训练

k

k+1解析：

(2)假设n=k时命题成立.即:5k－2k

被3整除.

当n=k+1时

5k+1－2k+1=5×5k－2×2k

=5(5k－2k)＋5×2k－2×2k

=5(5k－2k)＋3×2k5(5k－2k)＋3×2k例.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为

专项训练

k

k+1解析：5(5k－2k)＋3×2k例小结什么叫数学归纳法归纳、猜测、证明是发现和研究数学问题的重要思想方法。掌握用数学归纳法证明命题的关键。小结什么叫数学归纳法第1节电路图第1节电路图19世纪30年代，英国著名物理学家法拉第发明了世界上第一台发电机，从此，世界迈进了一个新的时代——电气时代19世纪30年代，英国著名物理学家法拉第发明了世界上第一台发天荒坪蓄水电站

1.家里的电灯、工厂的机器用的电是从哪里来的？

思考火力发电站秦山核电站三峡水电站西藏羊八井地热电站风力发电天荒坪蓄水电站思考火力发电站秦山核电站三峡水电站西藏羊八井地

思考：2、手机、手电筒的电是从哪里来的？电源：能提供电能的装置电池思考：2、手机、手电筒的电是从哪里来的？电源：能提供电电流电源电灯开关实验探究：怎样使一只灯泡发光？电流电源电灯开关实验探究：怎样使一只灯泡发光？电源：用电器：导线：开关：电路的组成提供电能干电池蓄电池消耗电能电灯、电风扇等输送电能二、组成电路各元件的作用控制电路一、电路：把电源、用电器、开关用导线连接起来组成的电流的路径电源：用电器：导线：开关：电路的组成提供电能干电池电源用电器导线观察手电筒的内部结构，说出手电筒电路各部分的名称？开关电源用电器导线观察手电筒的内部结构，说出手电筒电路各部分的名电源电灯开关开关的断开与闭合注意“断开”与“闭合”不同于生活中说的“开”与“关”电源电灯开关开关的断开与闭合注意“断开”与“闭合”不同于生活关于开关的动作生活中用语和科学用语有区别

小灯泡状态生活用语科学用语

使灯亮把灯打开把开关闭合使灯灭把灯关掉把开关断开关于开关的动作生活中用语和科学用语有区别小灯泡状态生活用语电源电灯开关电路的状态1开路电路的三种状态电源电灯开关电路的状态1开路电路的三种状态电流电源电灯开关通路电路的状态2电流电源电灯开关通路电路的状态2发烫啦！电路的状态3发烫啦！电路的状态3电流电源电灯开关短路电路的状态3电流电源电灯开关短路电路的状态3谨防短路！！！谨防短路！！！通路（闭合电路）：电路中有电流的电路开路（断路）：某处断开没有电流的电路短路：不经过用电器，直接用导线把电源两极连接起来——电源短路

必须防止电源短路！

电源短路——电流过大——损坏电源或造成火灾三、电路的状态通路（闭合电路）：电路中有电流的电路开路（断路）：某处断开你能画下来吗？你能画下来吗？常见电路元件的符号：电池电池组开关电灯电铃电动机交叉不相连接的导线交叉相连接的导线常见电路元件的符号：电池电池组开关电灯电铃电动机画出该电路的电路图最简单的电路图四、电路图：用元件符号表示电路连接的图注意：电路应画成矩形，使图形美观。实物图元件分布要均匀；位置安排要适当。导线竖直横要平；矩形棱角要分明。画出该电路的电路图最四、电路图：用元件符号表示电路连接的图注判断下列电路有何缺点判断下列电路有何缺点

上节课我们学习了哪些内容？1、简单电路的组成2、几种常见电路元件的符号回顾电池电灯电池组负极正极开关复习干电池蓄电池上节课我们学习了哪些内容？1、简单电路的组成2、几种常见你能画出手电筒的电路图吗？电源开关用电器导线你能画出手电筒的电路图吗？电源开关用电器导线电路图-+电路图-+1.串联电路：把电路元件逐个顺次连接起来的电路。五、电路的连接方式1.串联电路：把电路元件逐个顺次连接起来的电路。五、电路的连2.并联电路：把用电器并列地连接起来的电路。⑴分支点：并联用电器的连接点。⑵干路：从电源两极到两个分支点的那部分电路。⑶支路：两个分支点之间的电路。AB2.并联电路：把用电器并列地连接起来的电路。⑴分支点：并联用电路图实物图电实思考：串联电路有什么特点？

1）电流只有一条路径，通过一个元件的电流同时也通过另一个。

2）电路中只需要一个开关，且开关的位置对电路没有影响。

3）电路中一个用电器损坏，另几个用电器也不能正常工作。思考：串联电路有什么特点？1）电流只S思考：并联电路有什么特点？1）电流有两条（或多条）路径。2）各元件可以独立工作。3）干路的开关控制整个干路，支路的开关只控制本支路。S1S2L1L2S思考：并联电路有什么特点？1）电流有两条（或多条）路径。串联电路并联电路串联电路并联电路思考：如果用一根导线将串联电路、并联电路里的某一电灯两端直接连接起来（如下图所示），会出现怎样的情况？思考：用电器短路电源短路短路也是电路的一种连接状态用电器短路电源短路短路也是电路的一种连接状态第1节电路图

电源用电器电路开关导线连接状态连接方式串联电路并联电路电路元件符号电路图通路（闭合电路断路（开路短路电源短路！

用电器短路第1节电路图连接状态连接方式串联电路电路元件符号电路1.下列电路完整无缺的是（）（A）（B）（C）（D）D试一试1.下列电路完整无缺的是（）（A）（B）2.如图所示，若断开开关S2

、闭合开关S1，则电路是（）路；若只闭合开关S2

，则电路是（）路；若断开开关S1

、S2,则电路是（

）路。S1S2通短开S1S2通短开如图两灯的连接方式：(a)图为()联；(b)图为(

)联。若两图中开关S1均闭合，则(a)图中灯()发光，(b)图中灯(

)发光。L1S1L1S1L2S2L23.串并L1、L2L1（a）（b）L1S1看图做练习:4.如下图所示的电路叫电路,图中开关S1用来控制,开关S2用来控制,而开关S接在路中,它可以同时控制.在图中用铅笔标出电路中的干路部分和电流方向.(开关都闭合后).干并联L1L2L1、L2SS1L1L2S2看图做练习:4.如下图所示的电路叫知识点复习区别归纳法和数学归纳法数学归纳法原理是什么?

如果关于自然数n的一个命题p(n)满足下列条件

(1)p(n0)成立,即当n=n0(例如n0=1)时,命题成立;(2)假设p(k)成立,则p(k+1)也成立;

根据(1)(2)知p(n)成立用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤是怎样的?知识点复习区别归纳法和数学归纳法知识点复习4.对数学归纳法实质的理解例.下面是某同学用数学归纳法证明命题

的过程.你认为他的证法正确吗?为什么

(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边

=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.知识点复习4.对数学归纳法实质的理解知识点复习对数学归纳法实质的理解数学归纳法证题的这两个步骤,第一个步骤是命题递推的基础,第二个步骤是命题推理的根据,二者缺一不可.其中第二步是数学归纳法的核心,在从n=k到n=k+1的递推过程中,必须要运用归纳假设,这是数学归纳法证题的本质特征.如若在此过程中,没有运用归纳假设,不论形式上多么相似,也不能称此证明方法为数学归纳法.由于数学归纳法包含两个步骤一个结论,故最后应完整地写出结论.知识点复习数学小常识德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想.数学小常识德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任专项训练(归纳猜测)一.归纳、猜测：如图，把边长为1的正方形看作第一层壳，其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2

的第二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形，再镶上为s3的第三层外壳，使之构成边长为1+2+3的正方形，依次下去，试猜测第n层外壳的面积s解:s1=1s2=(1+2)2－1=8s3=(1+2+3)2－9=27s4=(1+2+3+4)2－36=64…sn=(1+2+…+n)2－(n－1)2=n3专项训练(归纳猜测)一.归纳、猜测：解:s1=1专项训练(归纳猜测)13=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=100…试猜测：13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+…+n)2=12=(1+2)2=(1+2+3)2=(1+2+3+4)2专项训练(归纳猜测)13=1(1+2+3+…+n)2=12=专项训练(归纳猜测)古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形：每一堆球数依次为1，3，6…，这种数叫做“三角形数”或简称“三角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三角数作过专门的研究，并获得丰硕的成果，如果用tn表示第n个三角数，则由上图可知t1=1,t2=3,t3=6,…◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎…(1)求t2

－t1,t3－t2,t4－t3的值，并猜测tn－tn－1值。

(2)求t1

＋t2,t2＋t3,t3＋t4的值，并猜测tn－1＋tn值。解:(1)t2－t1=2;t3－t2=3;t4－t3=4;…tn－tn－1=n(2)t1＋t2=4;t2＋t3=9;t3＋t4=16;…tn－1＋tn=n2专项训练(归纳猜测)古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边专项训练(对命题的理解)解析:令f(n)=（n＋1)＋(n＋2)＋…＋（n＋n）

f(k)=(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)f(k＋1)=[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[(k＋1)＋(k＋1)]=(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(k＋k)＋(2k＋1)＋(2k＋2)f(k＋1)－f(k)=(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)=3k＋2用数学归纳法证明命题：

(n＋1)（n＋2)…(n＋n)=2n×1×3×…（2n－1)的第二步中，

n=k＋1时需证：解析:[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]=2k＋1×1×3×…×[2(k＋1)－1]即:(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)=2k＋1×1×3×…×[2k＋1]用数学归纳法证明（n＋1)＋(n＋2)＋…＋（n＋n）=

的第二步中，n=k＋1时的等式左边与n=k时的等式左边的差等于专项训练(对命题的理解)解析:令f(n)=（n＋1)＋(专项训练

k

k+1P(k)与p(k+1)的进和退在数学归纳法的第二步归纳推理中，由p(k)p(k+1)的过渡，有两种基本途径可寻:

一、由p(k)向p(k+1)推证二、由p(k+1)倒退专项训练

k

k+1P(k)与p(k+1)的进和退专项训练

k

k+1

证明：（1）当n=1时，命题显然成立。

(2)假设当n=k时,命题成立,即

(k＋1)（k＋2)…(k＋k)=2k×1×3×…（2k－1)当n=k+1时,待证:(k＋2)（k＋3)…2k(2k+1)(2k+2)=2(k+1)×1×3×…（2k－1)(2k+1)据途径一:由p(k)出发，直接构造p(k+1)形式。

整理得：(k＋2)（k＋3)…2k(2k+1)(2k+2）

=2×2k×1×3×…（2k－1)（2k+1)=2(k+1)×1×3×…（2k－1)(2k+1)即：n=k+1时，命题成立。由(1)(2)知,命题成立(k＋1)（k＋2)…(k＋k)

=2k×1×3×…×（2k－1)例.用数学归纳法证明命题：

(n＋1)（n＋2)…(n＋n)=2n×1×3×…（2n－1)专项训练

k

k+1

证明：（1）当n=1时，命题显专项训练

k

k+1解析：

(2)假设n=k时命题成立.即:5k－2k

被3整除.

当n=k+1时

5k+1－2k+1=5×5k－2×2k

=5(5k－2k)＋5×2k－2×2k

=5(5k－2k)＋3×2k5(5k－2k)＋3×2k例.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为

专项训练

k

k+1解析：5(5k－2k)＋3×2k例小结什么叫数学归纳法归纳、猜测、证明是发现和研究数学问题的重要思想方法。掌握用数学归纳法证明命题的关键。小结什么叫数学归纳法第1节电路图第1节电路图19世纪30年代，英国著名物理学家法拉第发明了世界上第一台发电机，从此，世界迈进了一个新的时代——电气时代19世纪30年代，英国著名物理学家法拉第发明了世界上第一台发天荒坪蓄水电站

1.家里的电灯、工厂的机器用的电是从哪里来的？

思考火力发电站秦山核电站三峡水电站西藏羊八井地热电站风力发电天荒坪蓄水电站思考火力发电站秦山核电站三峡水电站西藏羊八井地

思考：2、手机、手电筒的电是从哪里来的？电源：能提供电能的装置电池思考：2、手机、手电筒的电是从哪里来的？电源：能提供电电流电源电灯开关实验探究：怎样使一只灯泡发光？电流电源电灯开关实验探究：怎样使一只灯泡发光？电源：用电器：导线：开关：电路的组成提供电能干电池蓄电池消耗电能电灯、电风扇等输送电能二、组成电路各元件的作用控制电路一、电路：把电源、用电器、开关用导线连接起来组成的电流的路径电源：用电器：导线：开关：电路的组成提供电能干电池电源用电器导线观察手电筒的内部结构，说出手电筒电路各部分的名称？开关电源用电器导线观察手电筒的内部结构，说出手电筒电路各部分的名电源电灯开关开关的断开与闭合注意“断开”与“闭合”不同于生活中说的“开”与“关”电源电灯开关开关的断开与闭合注意“断开”与“闭合”不同于生活关于开关的动作生活中用语和科学用语有区别

小灯泡状态生活用语科学用语

使灯亮把灯打开把开关闭合使灯灭把灯关掉把开关断开关于开关的动作生活中用语和科学用语有区别小灯泡状态生活用语电源电灯开关电路的状态1开路电路的三种状态电源电灯开关电路的状态1开路电路的三种状态电流电源电灯开关通路电路的状态2电流电源电灯开关通路电路的状态2发烫啦！电路的状态3发烫啦！电路的状态3电流电源电灯开关短路电路的状态3电流电源电灯开关短路电路的状态3谨防短路！！！谨防短路！！！通路（闭合电路）：电路中有电流的电路开路（断路）：某处断开没有电流的电路短路：不经过用电器，直接用导线把电源两极连接起来——电源短路

必须防止电源短路！

电源短路——电流过大——损坏电源或造成火灾三、电路的状态通路（闭合电路）：电路中有电流的电路开路（断路）：某处断开你能画下来吗？你能画下来吗？常见电路元件的符号：电池电池组开关电灯电铃电动机交叉不相连接的导线交叉相连接的导线常见电路元件的符号：电池电池组开关电灯电铃电动机画出该电路的电路图最简单的电路图四、电路图：用元件符号表示电路连接的图注意：电路应画成矩形，使图形美观。实物图元件分布要均匀；位置安排要适当。导线竖直横要平；矩形棱角要分明。画出该电路的电路图最四、电路图：用元件符号表示电路连接的图注判断下列电路有何缺点判断下列电路有何缺点

上节课我们学习了哪些内容？1、简单电路的组成2、几种常见电路元件的符号回顾电池电灯电池组负极正极开关复习干电池蓄电池上节课我们学习了哪些内容？1、简单电路的组成2、几种常见你能画出手电筒的电路图吗？电源开关用电器导线你能画出手电筒的电路图吗？电