沪科版九年级数学下册243《圆周角》课件

圆周角圆周角复习提问：(2)圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？(1)什么是圆心角？知识回顾复习提问：(2)圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？(1如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心的O位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？探究发现如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图，人们可以通1.∠ACB与∠AOB有何异同点？BACO2.你知道∠ACB这一类的角名字吗？

（1）∠ACB的顶点C在⊙O上，而∠AOB的顶点C在⊙O内。（2）两个角的大小不同。新知探究1.∠ACB与∠AOB有何异同点？BACO2.你知道∠ACB

顶点在圆上，并且两边都与圆还另有一个交点的角叫做圆周角。1.圆周角的概念BACO一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交。顶点在圆上，并且两边都与圆还另有一个交点的角叫做圆周练习：指出下图中的圆周角。（1）（2）（3）（4）（5）（6）×√×××√练习：指出下图中的圆周角。（1）（2）（3）（4）（5）（6·CABO分别量出图中AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？⌒2.圆周角定理

·CABO分别量出图中AB所对的圆周角和圆心角的·COAB即∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。又∠AOB=∠OCB+∠OBC∴∠AOB=2∠OCB1.如图，在⊙O中，AC为直径，∠AOB和∠ACB分别是所对的圆心角和圆周角，你认为∠AOB与∠ACB的大小具有什么关系？说出你的理由。AB⌒·COAB即∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。又∠AOB·COAB·COABDD2.如图，在⊙O中，当所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB具有如图所示的两种位置关系时，它们是否还具有上述的数量关系？为什么？⌒AB·COAB·COABDD2.如图，在⊙O中，当所对的圆心·COABD（1）圆心在∠BCA的内部作直径CD由于∠AOD=2∠ACD∠BOD=2∠BCD，所以∠AOD+∠BOD=2（∠ACD+∠BCD）即∠AOB=2∠ACB·COABD（1）圆心在∠BCA的内部作直径CD由于∠AOD作直径CD由于∠BOD=2∠BCD∠AOD=2∠ACD，所以∠BOD-∠AOD=2（∠BCD-∠ACD）即∠AOB=2∠ACB·OBDCA（2）圆心在∠BAC的外部作直径CD由于∠BOD=2∠BCD∠AOD=2∠ACD，结论：圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

∠ACB=

；∠ADB=

；∠

=∠

。

如图：则有ACBADB结论：圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。1.在一个圆中，并画出AB所对的圆周角能画多少个？它们有什么关系？⌒·ABDEOC2.在同圆和等圆中，如果两个弧相等，它们所对的圆周角一定相等吗？为什么？反过来呢？推论1：探究推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆如图，△ABC内接于⊙O，请思考当∠AOB为180°时，∠ACB的度数是多少？从而你得到什么结论？探索半圆或直径所对的圆周角的度数

·ABCO推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；

90°的圆周角所对的弦是直径。如图，△ABC内接于⊙O，请思考当∠AOB为180°∴△AOC、△BOC都是等腰三角形∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°

∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°

因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°。证明：因为OA＝OB＝OC，

∴△AOC、△BOC都是等腰三角形∠OAC＝∠OCA，∠O例1.如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°。求∠APC的度数。.OADCPB解：

连接BC，

则∠ACB=90°，∠DCB＝∠ACB－∠ACD

＝90°－60°=30°又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°重难例题讲解例1.如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=练习：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。解：连接CF∵∠BFC是△DFC的一个外角，∴∠BFC>∠BDC∵∠BAC＝∠BFC（同弧所对的圆周角相等）∴∠BAC>∠BDC。FODABCE练习：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，解：连接CFF1.如图，四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=60°,则∠1=_____,∠B=_____。2.判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为360°()120°60°√ABCD12探究发现1.如图，四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与OACDEB一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。OACDEB一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个OCABD如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。OCABD如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙如图：圆内接四边形ABCD中，∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补。BAD+BCD=360°OCABD探究性质如图：圆内接四边形ABCD中，∴∠A＋∠C＝180°同理∠BCODBAE所以∠A＝∠DCE又∠A＋∠BCD＝180°如果延长BC到E，那么∠DCE＋∠BCD＝100°CODBAE所以∠A＝∠DCE又∠A＋∠BCD＝180CODBAE12因为∠A是与∠2相邻的内角∠1的对角，我们把∠A叫做∠DCE的内对角因此，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。即∠A=∠2CODBAE12因为∠A是与∠2相邻的内角∠1的对角几何表达式：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D=180°且∠A=∠2定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。CODBAE12几何表达式：定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角解：设∠A、∠B、∠C的度数分别对于2x、3x、6x，例2在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数。由于四边形ABCD内接于圆，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°∵2x+6x=180°∴x=22.5°∴∠A=45°，∠B=67.5°，∠C

=135°∠D=180°-67.5°=112.5°重难例题讲解解：设∠A、∠B、∠C的度数分别对于2x、3x、6x，例2EDBAC1.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=______，∠CDE=_________。180°180°100°80°随堂练习EDBAC1.四边形ABCD内接于⊙O，则180°180°1DBACO2.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°

则∠B=______；∠D=______。

3.四边形ABCD内接于⊙O,∠A:∠C=1:3,则∠A=_____。50°130°45°DBACO2.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°

4.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1B4.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（DBACO圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。5.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,∠B=75°,则∠C=_____。75°等腰DBACO圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。5.梯形ABCD6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（）

A.115°B.130°C.65°D.50°7.如图，等边三角形ABC内

接于⊙O，P是AB上的一点，则∠APB=

。ABCDOABCPC120°6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD=130°,8.已知四边形ABCD内接于⊙O,且∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度数。9.四边形ABCD内接于⊙O,BA、CD的延长线交于点P,AD=2cm,BC=3cm,PA＝4cm，求PC的长。8.已知四边形ABCD内接于⊙O,且∠A:∠B:∠C=2:3你今天学习了哪些知识？课堂小结你今天学习了哪些知识？课堂小结1.定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。2.定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。1.定义：2.定理：(1)一个概念（圆周角）(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。(3)两个推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。知识梳理(1)一个概念（圆周角）(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等思想方法：一种方法和一种思想。在证明中，运用了数学中的分类方法和化归思想。分类时要做到不重不漏；化归思想是将复杂问题转化成一系列的简单问题或已证问题。思想方法：一种方法和一种思想。在证明中，运用了数学中圆周角圆周角复习提问：(2)圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？(1)什么是圆心角？知识回顾复习提问：(2)圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？(1如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心的O位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？探究发现如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图，人们可以通1.∠ACB与∠AOB有何异同点？BACO2.你知道∠ACB这一类的角名字吗？

（1）∠ACB的顶点C在⊙O上，而∠AOB的顶点C在⊙O内。（2）两个角的大小不同。新知探究1.∠ACB与∠AOB有何异同点？BACO2.你知道∠ACB

顶点在圆上，并且两边都与圆还另有一个交点的角叫做圆周角。1.圆周角的概念BACO一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交。顶点在圆上，并且两边都与圆还另有一个交点的角叫做圆周练习：指出下图中的圆周角。（1）（2）（3）（4）（5）（6）×√×××√练习：指出下图中的圆周角。（1）（2）（3）（4）（5）（6·CABO分别量出图中AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？⌒2.圆周角定理

·CABO分别量出图中AB所对的圆周角和圆心角的·COAB即∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。又∠AOB=∠OCB+∠OBC∴∠AOB=2∠OCB1.如图，在⊙O中，AC为直径，∠AOB和∠ACB分别是所对的圆心角和圆周角，你认为∠AOB与∠ACB的大小具有什么关系？说出你的理由。AB⌒·COAB即∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。又∠AOB·COAB·COABDD2.如图，在⊙O中，当所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB具有如图所示的两种位置关系时，它们是否还具有上述的数量关系？为什么？⌒AB·COAB·COABDD2.如图，在⊙O中，当所对的圆心·COABD（1）圆心在∠BCA的内部作直径CD由于∠AOD=2∠ACD∠BOD=2∠BCD，所以∠AOD+∠BOD=2（∠ACD+∠BCD）即∠AOB=2∠ACB·COABD（1）圆心在∠BCA的内部作直径CD由于∠AOD作直径CD由于∠BOD=2∠BCD∠AOD=2∠ACD，所以∠BOD-∠AOD=2（∠BCD-∠ACD）即∠AOB=2∠ACB·OBDCA（2）圆心在∠BAC的外部作直径CD由于∠BOD=2∠BCD∠AOD=2∠ACD，结论：圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

∠ACB=

；∠ADB=

；∠

=∠

。

如图：则有ACBADB结论：圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。1.在一个圆中，并画出AB所对的圆周角能画多少个？它们有什么关系？⌒·ABDEOC2.在同圆和等圆中，如果两个弧相等，它们所对的圆周角一定相等吗？为什么？反过来呢？推论1：探究推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆如图，△ABC内接于⊙O，请思考当∠AOB为180°时，∠ACB的度数是多少？从而你得到什么结论？探索半圆或直径所对的圆周角的度数

·ABCO推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；

90°的圆周角所对的弦是直径。如图，△ABC内接于⊙O，请思考当∠AOB为180°∴△AOC、△BOC都是等腰三角形∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°

∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°

因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°。证明：因为OA＝OB＝OC，

∴△AOC、△BOC都是等腰三角形∠OAC＝∠OCA，∠O例1.如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°。求∠APC的度数。.OADCPB解：

连接BC，

则∠ACB=90°，∠DCB＝∠ACB－∠ACD

＝90°－60°=30°又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°重难例题讲解例1.如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=练习：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。解：连接CF∵∠BFC是△DFC的一个外角，∴∠BFC>∠BDC∵∠BAC＝∠BFC（同弧所对的圆周角相等）∴∠BAC>∠BDC。FODABCE练习：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，解：连接CFF1.如图，四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=60°,则∠1=_____,∠B=_____。2.判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为360°()120°60°√ABCD12探究发现1.如图，四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与OACDEB一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。OACDEB一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个OCABD如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。OCABD如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙如图：圆内接四边形ABCD中，∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补。BAD+BCD=360°OCABD探究性质如图：圆内接四边形ABCD中，∴∠A＋∠C＝180°同理∠BCODBAE所以∠A＝∠DCE又∠A＋∠BCD＝180°如果延长BC到E，那么∠DCE＋∠BCD＝100°CODBAE所以∠A＝∠DCE又∠A＋∠BCD＝180CODBAE12因为∠A是与∠2相邻的内角∠1的对角，我们把∠A叫做∠DCE的内对角因此，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。即∠A=∠2CODBAE12因为∠A是与∠2相邻的内角∠1的对角几何表达式：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D=180°且∠A=∠2定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。CODBAE12几何表达式：定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角解：设∠A、∠B、∠C的度数分别对于2x、3x、6x，例2在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数。由于四边形ABCD内接于圆，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°∵2x+6x=180°∴x=22.5°∴∠A=45°，∠B=67.5°，∠C

=135°∠D=180°-67.5°=112.5°重难例题讲解解：设∠A、∠B、∠C的度数分别对于2x、3x、6x，例2EDBAC1.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=______，∠CDE=_________。180°180°100°80°随堂练习EDBAC1.四边形ABCD内接于⊙O，则180°180°1DBACO2.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°

则∠B=______；∠D=______。

3.四边形ABCD内接于⊙O,∠A:∠C=1:3,则∠A=_____。50°130°45°DBACO2.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°

4.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4