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文档简介
复数序列性质1
线性性质n，
C，lim
zn
z0，lim
wn
w0n
n
lim
zn
+
wn
z0
+
w0性质2
Cauchy收敛准则z
n
z
0任意0，存在N，使得当m，n>N时，|
zm
z
|
复数项级数定理：复数项级数
zn收敛于S
n1
n1此时，S=X+iYn1实数项级数
xn，
yn
分别收敛于X和Y。定理：复数项级数
zn收敛于S
n1实数项级数
xn，
yn
分别收敛于X和Y。n1
n1此时，S=X+iY推论：复数项级数
zn绝对收敛n1级数
zn
收敛。n1例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，求极限。（1），（2）。nz
cos
in2nniz
(
)求极限。（1），（2）。nz
cos
in2nn例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，iz
(
)求极限。（1），（2）。nz
cos
in2nn例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，iz
(
)例3：
设| |
<
1
，证明级数1+
+…+
n+…收敛于11
例3：
设| |
<
1
，证明级数1+
+…+
n+…收敛于11
例3：
设| |
<
1
，证明级数1+
+…+
n+…收敛于11
例4：判别如下级数的收敛性和绝对收敛cos
in
2n性：n1例4：判别如下级数的收敛性和绝对收敛cos
in
2n性：n1幂级数幂级数的形式作变量替换
w=z-z0，只需
幂级数n0c
(z
z
)n
cn
0
0
c
(z
z
)
c
(z
z
)2
1
0
2
0c
zn
c
c
z
c
z2
n
0
1
2n0Abel定理：若幂级数0在点z
≠0收敛，则它在区域D：{z
|
|z|<|z0|}绝对收敛，即级数在区域D
收敛；nnc
zn0nnc
zn1Abel定理：若幂级数0在点z
≠0收敛，则它在区域D：{z
|
|z|<|z0|}绝对收敛，即级数在区域D
收敛；若幂级数0在点z≠0
发散，则它在区域K：{z
|
|z|>|z0|}发散。nnc
zn0nnc
zn0nnc
zn1☺
幂级数在整个复平面收敛☺
幂级数只在z=0
处收敛☺
在圆
|z|=R外发散，在圆内收敛，在圆周上单独
。此时，称|z|=R为收敛圆。nnc
z由Abel定理，只有三种情况n0n则收敛半径为R
=1
/
。定理（根值法）：若lim
n
|
cn
|
0
，定理（比值法）：若l则收敛半径为R
=1
/
。cn1
|
0
，n则收敛半径为R
=
1
/
。定理（根值法）：若lim
n
|
cn
|
0
，☺ =
0
，
则R
=
；
=，则R=0。定理（比值法）：若l则收敛半径为R
=
1
/
。cn1
|
0
，例5：求如下级数的收敛域nn(n!)21
znn2n1(1)
n1
n(3)
n(iz)nn1z
，
(2)
2
( )
，幂级数的线性运算（收敛半径取小的）nnnnnb
z
a
z
(an
bn
)zn0n0n0幂级数的线性运算（收敛半径取小的）nnnnnb
z
a
z
(an
bn
)zn0n0n0f
在|z|<R解析，f
在|z|<R可积，nna
z幂函数的求导与积分，设f
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