常数e的故事-课件完整版

e的故事-----一个常数的传奇对数ln的诞生及性质e的定义及意义对数螺线悬链问题e究竟是一个怎样的数数学中五个最重要的常数：0、1、、π、ee是一个很出名的数字，但在大众，远不如π来的有名。它不够直观，不像π可以表示半径为1的圆的面积。很多人都不能给e下一个准确的定义。我们知道科学计算器上总有个按纽上标着ln，表示取以e为底的对数；大多数计算机编程语言的数学库中总会提供一个exp函数，用于求e的幂；中学老师告诉我们e是自然对数的底；e是2.718281828459……但是e到底是什么？。为什么要选择这么一个特殊数字命名为e？“万物皆数。”———毕达哥拉斯的座右铭大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了。这不仅浪费时间，而且容易出错。因此，我开始考虑怎样消除这些障碍。经过长期的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则..”约翰·纳皮尔个人简介约翰·纳皮尔（JohnNapier，1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。

Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。对数的诞生约翰·纳皮尔一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家TychoBrahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：NaplogX。纳皮尔对数发表后不久，就使伦敦的一位数学、天文学教授布立格斯（Briggs，1561—1631）感到震惊，由于他最先认识到对数在数字计算中的极端重要性，故于1616年，他亲自去苏格兰拜访纳皮尔，两位数学家见面后十分高兴，并进行了较深入的学术讨论，布立格斯建议可将对数作些改进，以求更便于计算，这种改进即相当于改为以10为底的常用对数，对于这一方面，纳皮尔本人虽然也考虑过，但还未来得及修改，于1617年4月4日即与世长辞了。在这种情况下，布立格斯即以其后半生的全部精力，来继承纳皮尔未竟的事业，并于1624年出版了《对数算术》一书，其内容包括有1—20000和90000—100000的以10为底的14位的对数表，而20000—90000之间的数据，到1628年才由荷兰数学家佛拉格（Vlacq，1600—1667）补足。对数是17世纪最重大的数学发明之一，恩格斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标法、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为“十七世纪的三大数学发明”法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯评价说:“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”伽利略甚至说：“给我空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙。”到十七世纪中叶，对数即传入我国，我国数学家对对数最有研究的应首推清代数学家戴煦（1805—1860），著有《对数简法》、《续对数简法》、《假数测圆》，总称为《求表捷术》，外国学者得知后，大为叹服。这是我国数学史上的光辉一页。

PS:素数定理它由高斯发现，并被誉为整个数学中最著名的发现之一。至今人类未能找出一个产生所有素数的简单公式，也没有找到求前n个自然数中所有素数个数的简单公式。但是考察素数在自然数中的分布规律时，却找到了些许规律。高斯发现，在自然数n极大时，n与n之内素数个数的比值，近似等于ln(n)。n越大越接近。不过前者是两个自然数的比值，是一个有理数；而ln(n)是一个无理数。两者只会无限接近，而永远不会相等。素数的分布的平均状态居然可以用对数函数来描述，这太有趣了。两个似乎无关的数学概念在事实上竟有如此紧密的联系，真是让人拍案称奇。复利问题可自动转存的存款计息问题称为复利问题。比如，某顾客向银行存入本金p元，年利率为r，则n年后他在银行的存款总额是本金与利息之和为P=p(1+r)n。

如果计息间隔缩短，比如每年结算m次,这样一年下来的本金与利息之和为P=p(1+r/m)m。令r=1，则P=p(1+1/m)m它实际上给我们提供了一个关于数e的具体模型。令人意外的是，不曾研究对数的数学家雅各布.伯努利（JacobBernoulli，1645~1705）却首次给出了数e的定义。他在1683年研究复利时，证明了当n→∞时，有极限，指出这个极限在2～3之间。这个极限值就是后来人们称之为e的数。当然雅各布并没有认识到这个极限与对数的关系，也没有把两者联系在一起。数e的发现数e作为一个数学常数第一次被正式提出，是在1690年。德国著名数学家莱布尼兹（Leibniz，1646～1716）在写给惠更斯(Huygens，1629~1695)的信中，提出了这个常数。但他把它记为b，而不是e。把这个常数记作e、并对它作了全面深入研究的数学家是瑞士著名数学家欧拉（Euler，1707-1783）。他从1727年就开始研究它，并记之为e。他得到了众多的发现。在1748年出版的书《无穷小分析引论》中，他把自己的发现作了完整的叙述与总结。他同样把数e定义为极限

n,并证明了他取了上述公式的20项进行计算，给出了数e的前18位：

e≈2.718281828459045235。他定义了以e为底的指数函数与对数函数(即自然对数)，此外他还给出了和以e为底的指数函数的幂级数展开式，以及它们的连分数展开式。

最难能可贵的是借助于e，他证明了著名公式：eix=cosx+isinx，被称作欧拉公式。自Euler之后，以e为底的指数函数与以e为底的对数函数开始进入了数学的各个领域，成为分析学不可缺少的工具。附带指出，有一些人误以为这里的字母e是人们为了纪念欧拉，才使用了他的名字的第一个字母。其实不然，是欧拉自己首先使用这个记号，而后来的人只是跟随了他而已。人们猜测欧拉使用e的原因，可能是由于字母e是“exponential”(指数)的第一个字母的缘故。当然，也可能是其他原因。但有一点可以肯定，他使用e与自己的名字无关，因为人们知道欧拉是个十分谦逊的人。数e的发现与广泛使用，在数学的发展中曾起了重要作用。以e为底的指数函数y=ex及以e为底的对数函数y=lnx，自欧拉之后，便成为基本初等函数,在分析学以及其他应用领域中扮演着重要角色。在微积分的发展中，数e的引入与自然对数的建立的最大“功绩”.如果没有数e，整个数学的面貌就不会像今天这样多姿多彩。

几何中e的定义跟π一样，e也可以从几何上给出一个直观的表示。不过这个图形不没有圆那么容易画出来。我们需要作f(x)=1/x的函数图象，是一个双曲线。在第一象限，从x=1到x=e之间，曲线和坐标轴之间所夹的面积正好的单位1。对数螺线对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。据说，使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线，这种图形只存在科学家的假想中。螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：ρ=αekφ其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。定理

对数螺线的臂的距离以几何级数递增。对数螺线是自我相似的；这即是说，对数螺线经放大后可与原图完全相同。对数螺线的渐屈线和垂足线都是对数螺线。从原点到对数螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿对数螺线走到原点却需绕原点转无限次。因其完美的形状特点，对数螺线在自然界中最为普遍存在自然界中的对数螺线雅各布第一·伯努利家族：伯努利家族（17～18世纪）Bernoullifamily在一个家族中，代代相传，人才辈出，连续出过十余位数学家，堪称是数学史上的一个奇迹．瑞士伯努利数学家族（17—18世纪）就创造了这样一个神话．伯努利家族，原籍比利时安特卫普．1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔．其中以雅各布第一·伯努利，约翰第一·伯努利，丹尼尔第一·伯努利这三人的成就最大。雅各布（1654——1705）他分别于1671和1676年获得艺术硕士和神学硕士学位，但他对数学有着浓厚的兴趣，他的数学几乎是无师自通的．1676年，他到荷兰、英国、德国、法国等地旅行，结识了莱布尼茨、惠更斯等著名科学家，从此与莱布尼茨一直保持经常的通讯联系，互相探讨微积分的有关问题．1687回国后，雅各布担任巴塞尔大学数学教授，教授实验物理和数学，直至去世．由于雅各布杰出的科学成就，1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员．研究成果雅各布在概率论、微分方程、无穷级数求和、变分方法、解析几何等方面均有很大建树．许多数学成果与雅各布的名字相联系．例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年），“伯努利数”、“伯努利大数定理”等．雅各布对数学最重大的贡献是概率论．他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著《猜度术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版．轶事最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布痴心于研究对数螺线，他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线：如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线．他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永生不朽．（ex+e-x)/2:悬挂的钩子1659年，克里斯蒂安－惠更斯寻求这样一条曲线：沿着曲线，一个物体在重力的作用下从曲线上的任一点开始下降，都会花同样的时间到达曲线底部。他用几何的方法显示该曲线是一条摆线。于是他运用这个观念设计了一个走时准确的摆钟。这种设计有时被称为等时线或等时曲线。1690年，雅各布在《博学学报》上用微分方程以及分析的方法证明了惠更斯的结论，并提出一个相关的问题：在高度相同的固定两点之间悬挂一条易弯曲但无弹性的线，求所得曲线的形状。13个月后，该问题被莱布尼兹、惠更斯和约翰解决，答案是一种称为悬链线的曲线。雅各布却声称弟弟给出答案后，他进一步研究了该问题的一些变化形式，如绳子厚度和质量不均匀的情况，这些问题他都解决了。约翰则强调他能解决悬链线问题而他的哥哥不能，在27年后给他的朋友的一封信中说道：“我得到结果后到哥哥那去，他还在痛苦地思索，认为悬链线是抛物线，我对他说你完全错了。但你却断定我哥哥找到了解决问题的方法，这让我非常惊讶，我问你，你真得这样认为？”1696年约翰在