小学数学讲义暑假五年级第10讲比和比例超常体系

第十讲站牌级秋季级秋季新运算级暑假级暑假级暑假方程；化连比；比例尺；按比分释义第9级上超常体系教师版1引入“÷”我们每一个人最熟悉的符号之一，在我们的数学学习和日常生活中几乎离不开它，可是国家的数学家在一起讨论问题，大家都说要用自己国家的除法符号表示除法，一直争论不休，差点打起来，最后决定让中立国的瑞士大数学家拉哈当法官进行裁判，他看了两国提供上来的符号，突“－”和“：习了第一个内容——分数，今天我们将学习第二个内容——比和比例.目标1、理解比和意义和性质，能熟练利用比的性质化简比、求比值和化连比；2、理解比例的基本性质，能熟练利用比例的基本性质构造比例和解比例方程；3、掌握比例尺的定义，能运用比例尺来解决简单的实际问题4、掌握连比的意义，能根据比例来解决按比分配问题.精讲一、比的意义，比号后面的数叫后项叫比值(外)，比值不变.二、比例的意义⑴比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例.如：12:15

4:5 12 2 第9级上超常体系教师版组成比例的四个数叫做比例的项，中间的两项叫做比例的内项例如：2.4:1.6=60:40内项外项在以上3个比例中，我们可以发现：12:154:5

1251546098126722.4:1.660:402.4401.66096⑵比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.解比例：根据比例的基本性质，如果我们已知比例中的任何三项可以求出这个比例中的另外一个未知项.求比例中的未知项，就叫做解比例.如：

:1201:55x12011201x x24⑶比和比例的区别：比是表示两个数相除的关系比由两项组成前项、后项）；任意两个数都能组成比；比例由四项组成两个外项一定都能组成比例.三、比例尺比例尺：图上距离与实际距离的比值叫比例尺用公式表示：

图上距离四、正比例和反比例正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个种关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用下面式子表示：y÷x=k（k一定）反比例：两种相关联的量一种量变化，另一种量也随着变化如果两种量中，对应的两个关联的量，用k表示它们的乘积反比例关系可以用下面式子表示：x×y=k（k一定）思路例1：比的概念第9级上超常体系教师版3例2：化简比、求比值例3：化连比例4：比例的基本性质例5：解比例例6：正反比例例7比例的简单应用比例尺例8：按比分配应用题11、在下列括号内填上适当的数（1）两个数相除又叫做这两个数的 （2）比的前项相当于除法的（ 于分数的（ ）.

2、判断对错（1）50米：5米=10米. （ （2）一杯盐水，盐占盐水的10，

（3）4：3的后项加上6，要想比值不变，前项也要加上6. （ 5.

（5）1克糖溶解在99克水中，糖和糖水的比是1：100. （ （6最简整数比的前项和后项必须都是整数 （ （ （8比的前项和后项同时乘以比值不变 （ （2）被除数除数商分子分母

（4）21：31 （5）4:5=（8）=12：（15 ）=（20）÷25 （2）√ 3 5 6 7 错误答案简要说明：同类量的比，比值是一个比率，没有单位；不同类量的比，比值是一821、化简比（最终仍然是比的形式）4 第9级上超常体系教师版（1）15∶25

（3）1.2∶2.8（4）7:21816（5）1:0.3

3:4（7）24:36:40

（8）1:1:1345

（9）3:2:14582、求比值（最终为整数、小数或分数形式）36：18

0.12：0.0953289

0.3:3

5米:1.5千米【分析】1、化简比：

362

（31.2：28=3：（4）7:212:3816

1:0.3=

73 71035：= =35:64104 63:4=9:10（7）对于整数连比，只要除以它们的最大公因数；(24,36,40)424:36:40(244):(364):(404)6:9:10（8）对于含有分数和小数的连比，先化成整数连比，再化简[3,4,5]60

111 ::(60):(60):(60)20:15:12345 458236:18=2

.

5米:1.5千米=【教学提示】结合化简比和求比值，我们可以看出两者的相似之处们是完全不同的两个概念：比值是一个数值，比是两数的关系可以用分数表示，但分数表达的意义是不同的，前者是一个数，后者是两数的关系.3（1）甲、乙、丙三个数，甲数与乙数的比为3:4，乙数与丙数的比是4:7，则甲、乙、丙三个数的（2）甲、乙、丙三个数，甲数与乙数的比是3:4，乙数与丙数的比是6:5，则甲、乙、丙三个数的（3）甲、乙、丙三个数，甲的4又等于丙5，则甲、、丙三个数的比是

（4）甲、乙、丙三个数，甲：（乙+丙）4:3，乙：丙2:7，则甲、乙、丙三个数的比是 第9级上超常体系教师版5

【分析】（1）3:4:7（2）3:49:12，6:512:10，所以甲、乙、丙三数的比是9:12:10（3）甲：乙：丙7:4:5．（4）由乙：丙2:7可得到乙：（乙+丙）2:9，丙：（乙+丙）7:9，而甲：（乙+丙）4:312:9，所以：甲：乙：丙12:2:7． 1:24:8，甲：（乙+丙）5:7，所以甲：乙：丙3:4:5．（6）甲：乙：丙：丁27:36:48:64．金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的比例设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧。以站在舞位置最美观，声音传播得最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学到合理的配方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广4（1）45,7,9 （学案对应：超常2）【分析】比例的内项乘积等于外项乘积.那么只要找到乘积两两相等的关系，就能找到比例式.（1）找不到乘积两两相等的关系，所以不能（2）214472:47:142:74:14214474:214:77:214:4（注：4个数写成的比例是4个还是8个一直有争议，有老师认为2：4=7：14与7：14=2：4是不6 第9级上超常体系教师版同的式子，因为它们的内外项发生变化；但从比例的定义入手，表示两个比相等的式子叫做比例，上面的式子仅仅是左右换了一个顺序，还是这两个式子，因此是一个比例.苏教版数学课本第43页题目如下：3：6=2：4，你能说出其他三个比例的内项和外项各是多少吗？）5列的方程

（2）(3x2):(2x3)4:7 4:325（学案对应：带号2）【分析】（1）5(1x)3(7x)，解得x8（2）7(3x2)4(2x3)，解得x2 4253x 61、断下列各题成什么比例关系（1）时间一定，平均每分钟制作零件的个数与所能完成零件的总个数.（2）路程一定，车轮的半径和车轮转动的周数（圆的周长=2×圆周率×半径）.（3）三角形的面积一定，它的底和高（4）单价一定，总价与数量.（5）修一段路，已经修的与未修的.（6）400ml，分的杯数与平均每杯水的体积（7）比例尺一定，图上距离和实际距离.这棵树有多高？（学案对应：超常3）（2）s2rn半径和转动周数乘积为定值，因此成反比例；3比例；4比例；（5）已经修的与未修的和是定值，因此不成比例；6比例7比例2、（1）设这棵树有x米高，根据同一时间、同一地点身高和影长比不变有1.5:2.4x:4，即2.4x1.54，解得x2.5，因此这棵树有2.5米高x4×4×328=8×8×x，解得x82，所以需要82块.第9级上超常体系教师版72=7，18，？24（3）在比例尺为1:1000的地图上，量得一栋大厦的地基（长方形）的长为8厘米，宽5厘米，这栋大厦地基的实际面积是多少（4）一副地图上，用5厘米的距离表示实际距离1500千米.在这副地图上量得A、B两地的距离是3.5厘米，如果甲乙两辆汽车分别从AB两地同时相对开出，甲车每小时行49千米，乙车每小时行42千米，如果乙车在中途休息了1小时，出发多少几小时后相遇？（学案对应：带号3）【分析】（1）比例尺=图上距离：实际距离，18千米=1800000厘米，3:1800000=1:600000（2）比例尺=图上距离：实际距离，4厘米=40毫米，40:2=20:1（）实际距离图上距离比例尺，长：1000=8000厘米=80米，宽：5÷1000=5000厘米=50米，面积为80×50=4000平方米 8分最高的一个同学得多少分？（2）甲、乙、丙三个同学第二次参加数学竞赛，已知三人总分是238分，甲得分的6等于乙得分5又等于丙3，甲乙丙三人各得多少分（3）甲、乙、丙三个同学第三次参加数学竞赛，已知甲的得分比丙多34分，甲得分的

乙得分的

5，甲乙丙三人各得多少分（4）甲、乙、丙三个同学第四次参加数学竞赛，已知三人总分是246分，甲得分的2等于乙得分

，甲乙丙三人各得多少分【分析】（1）根据题意得分最高的应该是乙同学，得分为

697

（2）甲乙丙三个人的得分之比是6:5:3，甲的得分：238

653

653

51（分）8 第9级上超常体系教师版（3）甲乙丙三个人的得分之比是7:4:5，甲的得分：

34

4

单位，所以甲乙丙的得分之比

572：：23

121514

=72分，乙的得分为：

121514

分，丙的得分为246

分割比你听说过黄金分割比吗？1：0.618是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分来，一直有人认为把黄金比应用于造型艺术，可以使作品给人以最美的感觉。在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，换言之，若人体下半身米，那么他的下半身长度是多少时，才会给人以最美感点总结一、比的意义：比叫做两个数的比二、比例比例的基本性质：外项积等于内项积；若a:b=c:d则ad=bc三、比例尺：图上距离与实际距离的比值图上距离比例尺实际距离，

图上距离=实际距离比例尺四、正比例和反比例第9级上超常体系教师版9②同样的时间，甲乙的速度比为3：2，则甲乙走的路程之比为____；③同样的速度甲乙用的时间比为2，则甲乙走的路程之比为去时用了多长时间？【分析】（1）①2:3②3:2③3:2（2）因为路程速度时间，来回的路程是一样的，路程一定，时间和速度成反比.因为23时用的时间看作3份，那么回来时所用时间为2份，它们的和为5份，所以去时所用的时（3）18.5分1110秒，设甲乙两地间的路程为[4,5,6]60份，则甲乙丙走完全程所用的时间比是12:15:10，所以甲走完全程用时为1110

121510

为36051800（米）

5:4:3际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果．那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 【分析】由于糖果总数不变，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数比为5:4:315:12:9；实际甲、乙、丙三人所得糖果数比为7:6:514:12:10，只有丙对应的份数是增加的，所以这位小朋友是丙.丙实际所得的糖果数为15(109)10150(块)．3、北京中学生运动会男女运动员比例为19:12，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为20:13；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为30:19,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多15人，则总运动员人数为多少？【分析】增加女子艺术体操项目，男生人数不变，所以19:12380:240，20:13380:247，增加男子象棋项目，又女生人数不变30:19390:247，所以15人对应的是(390380)(247240)3份，所以现在总运动员人数为153(390247)3185（人）作业1、判断对错 （ （2）一杯盐水，盐占盐水的10，盐和水的比是1∶10.

（3）1克糖溶解在99克水中，糖和糖水的比是1：99. （ （4）4：3的后项加上9，要想比值不变，前项也要加上9. （ 10第9级上超常体系教师版（5）30米：5米=6米. （ （6）一个比的前项与后项同时扩大3倍，则比值也扩大3倍. （ 【分析】（1）× （2）×（3）×（4）× （5）×（6）×2、化简下列各比：(1)80

(2)

【分析】（1）8080402120 12040 2

:2( 20):(220)14:450.7:240.7:2.25(0.7100):(2.25100)70:225(705):(2255)14:453、在一个比例式中，两个外项都是大于1的整数，它们的积是39，一个内项是这个积的5，这个比例式可以是 【分析】两个外项分别是3和13，两个内项分别是7.8和5，所以比例式可以是3:57.8:13或3：7.8=5：13，也可反过来，13：5=7.8：3或13：7.8=5：3共四种可能.任写一种即可.4、():4358:129； ()

()95 【分析】根据比例的基本性质，求比例中的未知项x:4358:129129x4358

2x316x24

95 323613219.【分析】设这个建筑物有x米高，1:0.3x:2.7，解得x9，所以这个建筑物有9米高 【分析】设这批零件共有12个，求得甲乙的效率比是3:4，也可以用反比例解释.速度于上午9时整从济南出发，走完这段路程到达烟台时是什么时刻？【分析】实际距离=图上距离÷比例尺，两地相距3.6÷2000000=7200000厘米=72千米，经过72÷30=2.4小时=2小时24分钟，到达时间为11时24分8、小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.第9级上超常体系教师版11【分析】根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的346

346

346

，所以小新拥有的藏书数量为

346

本，小志拥有的藏书数量为52346

本，小刚拥有的藏书数量为52346

本.班学案14又等于丙5数的比是 【分析】（1）甲：乙：丙21:24:10．（2）甲：乙：丙：丁27:45:75:125．【超常班学案2】下面4个数，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例：3.5,5,7,10【分析】比例的内项乘积等于外项乘积.那么只要找到乘积两两相等的关系，就能找到比例式.3.5:57:105:3.510:73.510573.5:75:107:3.510:5【超常班学案3】小明从甲地到乙地，去时每时走2千米，回来时每时走3千米，回来比去时少用【分析】因为路程速度时间，来回的路程是一样的，速度不同导致所用的时间不同，同时，速2：33322枚伍分硬币摞在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样【分析】由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6:5，壹分硬币和伍分硬币的数量比为3:26:4，所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6:5:4，因此壹分硬币的数量为

654

枚，贰分硬币的数量为

654

枚，伍分硬币的数量为

6