小学数学讲义秋季五年级A版第12讲燕尾模型优秀A版

第12讲站牌五年级寒假长方体与正方体级寒假形初步级秋季级秋季级秋季简单的燕尾模型；用辅助线构造燕尾.释义第9级下优秀A版教师版 : : S S S S ll 1 3引入型.我们看下图，像不像一只在天空飞翔的燕子？目标1.认识燕尾模型，会从不同角度看出燕尾；2.会利用燕尾的特征构造出燕尾；3.能够将复合的燕尾分拆.精讲既然燕尾模型是共边模型的一种，那么它也符合面积比例模型：S3:S4l1:l22 4 1

S1:S2S3:S4l1:l2后面这个式子，就是我们燕尾模型中的常用公式. S2 l1 S3 S4 l2 在三角形ABC中，有S△ABG:S△AGCS△BGE:S△EGCBE:EC；2第9级下优秀A版教师版第12讲S△AGC:S△BCGS△ADG:S△DGBAD:DB.燕尾模型为三角形中的面积与对应底边之间提供了相互联系的途径，可以帮助我们解决很多几何问题.点回顾1.已知:36,求 510

答案:3, 2.已知:39,求

,93___答案:3

3.已知:

aka

答案:b,b SS 4.在下图中,利用“高相同时,三角形的面积比等于底的比”,可知:1 31SS

31,利用上 面题的结论可知:

___ S3 l1 l2答案:1 5.在下图中,利用“高相同时,三角形的面积比等于底的比”,可知:1

3

,所以SS SS

第9级下优秀A版教师版 S3

S4

S2 答案:AO思路1如图，

S2代表所在小三角形的面积，其他数代表所对应线段的长度，分别求出每个图中

值.（学案对应：学案1）S1 S2 2 S2 3 10 3 6 S1 想想练练：右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 2 13【分析】法1：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解现右图三4第9级下优秀A版教师版SS 13:4第12讲角形中存在一个比例关系：2:

，解得 【拓展】如图，已知ABD的面积是15，ACD的面积是20，BCD的面积是14.求CDE的面积是多少？A15 D14B E 【分析】ACD

CDE

34

SCDE

2

SSAOC

S

__

__

S

__

c

3D B 4 D 3 C 图（1） 图（2） 【分析】（1）3（3）

BOC

AOC S

，三式相乘，得 c 1。这也叫塞瓦定 理。想想练练

ABC

BD:DC

2:3

,AE:EC5:3,则

AF:FB

【分析】根据燕尾模型有 ABG

2:310:15第9级下优秀A版教师版 ABG

5:310:6

（都有△AGB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以AF:FBSACG:SBCG15:65:2. 【拓展】如图，已知BD:DC2:3,AE:EC5:3,BDG的面积是12.求ABC的面积.【分析

2:3

BDGCDG

S

5:3

SSBGC

SABG

SBGC3050

2:3

ABGACG

SACG

ABG

SABGSACGSBCG503075155 3在ABC中，BD:DC2:1，AE:EC1:3，则OB:OE____.（学案对应：学案2）A E O B D C B D 【分析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾模型，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以因为BD:DC2:1，根据燕尾模型，SAOB:SAOCBD:BC2:1，即SAOB2SAOC；又AE:EC1:3，所以SAOC4SAOE．则SAOB2SAOC24SAOE8SAOE，所以OB:OESAOB:SAOE8:1．6第9级下优秀A版教师版第12讲瓦定理塞瓦（Giovanni，16481734）意大利水利工程师，数学家。4如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 （学案对应：学案3） A

B

FD

E

C根据燕尾模型，△ABF△ACF

1,△BDF

1份，则

S△DCF

份，

S△ABF

份，△AEF

S△EFC，如图所标5 所以SDCEF12S△ABC12

△ABD

△ABC

S△ADE

S△ADC

1223

S△ABC

，所以 △ABD △ADE

S△DEF

S△DEB

1123

S△BEC

111232

S△ABC

2132

S△ABC

．所以四边形DFEC的面积等于512．第9级下优秀A版教师版 想想练练：如图，已知BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.A A E E B

FD

C

【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，法1：连接CF，因为BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，

S△ABE

S△ABC

△ABD

△ABC

据燕尾模型，△ABF△CBF

S△ABFS△ACF

1,

S△ABF

△ABC

7.5，

△BFD

所以阴影部分面积是30107.512.5．△ABE

△ABC

S△BDE

S△BEC

1223

S△ABC

，所以 △ABE △

△DEF△DEA

1123

S△ADC

111 232

S△ABC

△CDE

21 32△ABC

．所以阴影部分的面积为12.5．5如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形（学案对应：学案4）A E F G F H I H B D C B D 【分析】连接AH、BI、CG．由于CE:AE

3:2

，故

SABE

SABC 根据燕尾模型，SACG:SABGCD:BD2:3，SBCG:SABGCE:EA3:2，所以8第9级下优秀A版教师版第12讲SACG:SABG:SBCG

4:6:9

SACG SBCG

SAGE

SAGC

2 4 519 SACH ，则EG:EHSACG:SACH

4:9

，EG:EBSACG:SACB

4:19

所以EG:GH:HB4:5:10，同样分析可得AG:GI:ID10:5:4，

SBIE

SBAE

5 2 105

SGHI

SBIE

5 1 195 想想练练：如图，ABC中BD2DA，CE2EB，AF2FC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的 DG 【分析】如图，连接AI．根据燕尾模型，

SBCI:SACI

BD:AD

2:1，

S :SBCI

CF:AF

1:2，所以，SACI:SBCI:SABI1:2:4，那么，

SBCI

SABC

SABC

同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的27，所以阴影三角形的面积等于

面积的1

2 3 7 【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE4:3，且三角形ABC的面积是74，求三角形GHI的面积． 【分析】连接BG，S△AGC12份 △AGC △BGC

AF:FB

4:312:9

△ABG △AGC

4:316:12△BGC

△ABG

△ABC

9121637

△AGC△ABC

同理连接AI、CH得△ABH△

△BIC△ABC

S△ABC

37121212 第9级下优秀A版教师版 74

提高 【分析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三连接CM、CN．根据燕尾模型，SABM:SACMBF:CF2:1，而SACM2SADM ，所以SABM

2SACM

，那么

BM4DM，即

BM

SBMF

BM BD

421 532

四边形CDMF

1 4 215

另解：得出

SABM

SADM

SABD

11 52 四边形DMF

ACF

SADM

1 1 310

10第9级下优秀A版教师版第12讲的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积

S△ABFS△ACF

△ABF△CBF

△BDF

份，则△DCF

份，△ABF

份，

S△AFC

份，△AEF

4

1.6份,

△

4

份,如图所标

SEFDC

22.44.4份,

S△ABC

2349

所以S△ABC224.4945(cm2)2.如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?

【分析】设△

型其他面积如图所示阴影

S△BCD

平方厘米3. ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四 【分析】连接AC、GB，设△AGC

模型得

S△AGB

1份，

S△BGC

1份，则第9级下优秀A版教师版11 : : S S S S ll 1 3正方形

SADCG

314份，所以

SADCG

12264

96(cm2)4.如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？A N G N B

MDE

C

B

MDE

C【分析】连接CM、CN．根据燕尾模型，

S △ABM △CBM

1:1△ABM△ACM

1:3

，所以S△ABM5S△ABC；燕尾模型，

S△ABN:S△CBN

1:1

，所以

S △ABN △FBN

S△CBN:S△FBN

4:3

所以AN:NF

4:3

，那么

ANG 43

，所以SFCGN1

S△AFC

△ABC

S△ABC

根据题意，有1△ABC

S△ABC

，可得

S△ABC

(点总结燕尾模型： S3 l1 l2S:Sl:l3 4 1 2 4 1

S:SS:Sl:l1 2 3 4 1 塞瓦定理：12第9级下优秀A版教师版第12讲

结论： c

作业1.已知三角形ABC中，BD=10，BC=14，则

SSACE

B D 【分析】

SS

10 1410 2.如图，ABC中，BD:DC3:4,AE:EC5:4,则AF:FB 【分析】由塞瓦定理

BD

3.如图所示，在△ABC中，BE:EC3:1，D是AE的中点，那么AF:FC 第9级下优秀A版教师版13A D F D B E C B E

S△ABD:S△BED

1:1

S△BED:S△BCD

3:4

，所以

S △ABD △BCD

3:4根据燕尾模型，AF:FC

S :S△ABD △BCD

3:44.如图，三角形ABC的面积是1，BD2DC，CE2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少?

1E

【分析】连接CF，设S△AEF1份，则其他几部分面积可以有燕尾模型标出如图所示，所以△AEF

△ABF

6 21

△BDF

SFDCE

24 21 5.如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积． 【分析】连接BG，S△AGC6份根据燕尾模型，S△AGC:S△BGCAF:FB3:26:4，S△ABG:S△AGCBD:DC3:29:6△BGC

△ABG

(份)，则△ABC

(份)，因此

S△AGCS△ABC

同理连接AI、CH得△ABH

△ABC

△ABC

19666 6.如图，在

△ABC

DC EA DB EC ,求14第9级下优秀A版教师版第12讲 【分析】连接BG设△BGC

1份，根据燕尾模型S :S△AGC △BGC

AF:FB

3:1

S △ABG △AGC

BD:DC

3:1,得△AGC△ABG

()

S△ABC

△ABH△

△BIC△ABC

S△ABC

版【学案1】如图，已知ABD的面积是15，若AD:DE3:1.那么BDE的面积是多少？若BE:EC3:4，那么ACD的面积是多少？A15DB E 【分析】

SSBDE

SBDE

SABD

ACD

154320【学案2】