不定方程与不定方程组

第二十七讲不定方程、方程组不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定.对于不定方程（组），我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设a、b、c、d为整数，那么不定方程ax+by=c有如下两个重要命题：（1）假设（a,b）=d，且d卜。，那么不定方程ax+by=c没有整数解；（2）假设x,y是方程ax+by=c且（a,b）=1的一组整数解（称特解），那么]x—x。 （t为整数）是方0 0 [y=y-at程的全部整数解（称通解）.解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进展恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、别离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等.举例【例1】正整数m、n满足8m+9n=mn+6,那么m的最大值为.（新加坡数学竞赛题）思路点拔把m用含n的代数式表示，并别离其整数局部（简称别离整系数法）.再结合整除的知识，求出m的最大值.注：求整系数不定方程ax+by=c的整数解。通常有以下几个步骤：〔1〕判断有无整数解；（2）求一个特解；（3）写出通解；（4）由整数t同时要满足的条件（不等式组），代入⑵中的表达式，写出不定方程的正整数解.别离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论.【例2】如图，在高速公路上从3千米处开场，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开场，每隔9千米设一个测速照相标志，那么刚好在19千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（）.A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米（省竞赛题） , 口 [TII? 3 71011 15 19 23思路点拨设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x、10十9y（x,y为自然数），问题转化为求不定方程3+4x=0+9y的正整数解.【例3】（1）求方程15x+52y=6的所有整数解.（2）求方程x+y=x2—xy+y2的整数解.（莫斯科数学奥林匹克试题）一1115（3）求方程一+—+—=—的正整数解.xyz6（“希望杯〃邀请赛试题）思路点拨对于（1）通过观察或辗转相除法，先求出特解.对于⑵易想到完全平方公式，从配方人手，对

于⑵易知x、y、z都大于1,不妨设l<xWyWz,那么1>1>1,将复杂的三元不定方程转化为一元不1yz等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值围，求出其结果.注：方程和不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值围，通过验算获得全部解答.【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？〔2002年市竞赛题〕思路点拨无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解.【例5】中国百鸡问题：一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(出自中国数学家丘建的著作《算经》)1+y+z=100思路点拨设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为1、y、z，那么有L,'z[八八51+3y+=100

[ 3通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.【例6】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法，从求出a+b+c的取值围入手.注：解不定方程组根本方法有：(1)视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；(2)通过消元，将问题转化为不定方程求解；(3)运用整体思想方法求解.【例7】不定方程4x+7y=2001有组正整数解.思路点拨49十7y=3义667 易知[1—f是其一组特解，，其通解为[1—丫+J',t£Z，;[y=667 [y=667—411—667+71>1V ，解之得96WtW166[667—41>1，t可取整数值共71个.,4x+7y=2001有71组正整数解.学力训练1.1、y、Z满足x+y=5及z2=xy+y—9,那么x+2y+3z=.(2002年省竞赛题)2.4x—2.4x—3y—6z=0,x+2y—7c=0(xyzW0),的值为.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18,每种邮票至少买一，共有种不同的买法.4.购置5种数学用品A「A「A3、A4、A5的件数和用钱总数列成下表:品名^件数A1A2A3A4A5总钱数第一次购件数l34561992（元）第二次购件数1579112984（元）那么5种数学用品各买一件共需元.（市竞赛题）.希望中学收到王教师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有个.（市中考题）.方程8+1）2+&-2）2=1的整数解有（ ）.A.1组B.2组C.4组D.无数组.二元方程乂+丫+%=1999的非负整数解的个数有（）.A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个（“希望杯〃邀请赛试题）.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式，各代表一个数（不一定一样），那么a+b+c+d+e+f=（）.A.27B.24C.30D.无法确定（“五羊杯〃邀请赛试题）.求以下方程的整数解：（1）1lx+5y=7；（2）4x+y=3xy..在车站开场检票时，有@（@>0）名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开场后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，假设开放一个检票口，那么需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；假设开放两个检票口，那么只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？（市中考题）.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布〃的游戏规那么：游戏在两位同学之间进展，用伸出手掌表示

“布〃，两人同时口念“锤子、剪子、布〃，一念到“布〃时，同时出手，”布〃赢”锤子〃，”锤子〃赢”剪子〃，”剪子〃赢”布〃.现在我们约定：”布〃赢”锤子〃得9分，“锤子〃赢”剪子〃得5分，“剪子〃赢”布〃得2分.（1）小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子〃赢”布〃7次.聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明”布〃赢”锤子〃、”锤子〃赢”剪子〃各多少次？（2）如果小明与某同学玩了假设干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填人下表.赢法一:“布〃赢”锤子〃“锤子〃赢”剪子〃“剪子〃赢”布〃赢的次数・・赢法二:“布〃赢”锤子〃“锤子〃赢”剪子〃“剪子〃赢”布〃赢的次数赢法三:“布〃赢”锤子〃“锤子〃赢”剪子〃“剪子〃赢”布〃赢的次数・・12.满足19982十m2=19972+n2(0<rn<n<1998)的整数对(m,0共有对.Ix=6一3y13.有理数x,y,2满足< 。 。…那么22y+z的值为.Ix+3y—2xy+2z2=014.1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是岁..江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟抽完水，那么，至少需要抽水机台..有甲、乙、丙3种商品，某人假设购甲3件、乙7件、丙1件共需24元，假设购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，那么此人购甲、乙、丙各1件共需元..一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小一样的小球，红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21,那么小明摸出的球中红球的个数最多不超过个..（1）求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对（x,y）；（2）求出所有满足5（xy+yz+zx）=4xyz的正整数解.（新加坡奥林匹克试题）.兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱（以元为单位）的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取10元，弟弟再取10元；这样依次反复进展，最后，哥哥先取10元，弟弟再取缺乏10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等.问这顶草帽值多少钱？（市竞赛题）.某人家的是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405,将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970,求此人家的.（市选拔赛试题）21.某布店的一页账簿上沾了墨水，如下表所示:月日摘要数量（米）单价（元/米）金额（元）113全毛花呢XX49.36XXX7.28所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7.28,但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账.（市〃金桥杯〃数学知识应用竞赛试题）22.一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区.他们出发后以每天17km的速度前进，沿河岸向上游行进假设干天后到达目的地，然后在生态区考察了假设干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天？ （省竞赛题）参考答案口不定方程,方程组【例题束解】例]75提不e= 卜=3时川般大值为？山Jf—<5 1T'B选c提示小=%％5+】十甘九5+九广二:为所求的解-[4=42—52f口)胡察易得•个粉解工一心。=一1£,原方程所百整数解为 仃为整貌：.I、=—1Z+15才解法“L一4十喈'•务甯=4得L附一宁,专审=3用》=即一晨北演得产口口W 仕口 1?==]2+1口，11为餐效》(2)原方程化为C工一2*+“一：》十£尸一1»工》由此得方程的密为63口由卜8/九强，1"]]浮)⑶提示+U+；—+近事即■王去由此得工7或3.当工=占照:<9十>|■一手工々4+3-2,即由此得产三或5尊6,同理当£=3时卬=3或4+由此可得当]£±：£》£±时.匕.6£)共点二,J,12).CS.e.fi),(3,3.6).C3HMJ4租.由于7「任方社中地位平算，可符原方程的解拈石15蛆rf£,$,IE)X九1343F.苫，1苫3{4JJ£),：LE>£+4h(]£r4r幻，峰内，由ML，由,f"E・£》/L3,的J36.3)“6”3・3》，{3,&,4)/4rd.3>r<4.S,4)攥示।设总干里*有丁救粮于，则上疑趴肌4忑的餐小公能为1t除时,余数为1,即l=1幼+15为自然数).工/=1】小取为自然更人带1的I】=1旧/-^^=&+吗」，1〕a-\园。七才本知久改口<1而41W即。,用0<4<16^>d'上」 11 」启i。,所以,工=】2父1。+，一鹿]•即窟子里共有1H粒橘子,消去方程里中的*，德『上+制』10①显然，E,及J是方程的一今■特解.所设方程的通K为!’一"「::(r/整数h于是有ly=2,5-,r7i

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