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第9章多元函数微分学§9.2偏导数导数的定义——增量比的极限导数的几何意义

割线的斜率

切线的斜率回顾：导数的概念一个受到多种因素制约的变量，在其它因素固定不变的情况下，该变量只随一种因素变化的问题，反映在数学上就是多元函数在其它自变量固定不变时，函数随一个自变量变化的变化率问题，这就是偏导数．偏导数的背景定义：设f

(x,y)在点(x0,

y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，函数有增量f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)，如果存在，则称此极限为f

(x,y)在点(x0,

y0)处对x

的偏导数，记为偏导数的概念f

(x,y)在点(x0,

y0)处对x

的偏导数f

(x,y)在点(x0,

y0)处对y

的偏导数偏导数的概念f

(x,y)对自变量x

的偏导数f

(x,y)在点(x0,

y0)处对y

的偏导数偏导数的概念f

(x,y)对自变量x

的偏导数f

(x,y)对自变量y

的偏导数上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算．（课本P.60）偏导数的概念例题例：设z=xy（x>0，x

1），求证例：求的偏导数．对一元函数而言，导数可看作函数的微分

dy与自变量的微分dx的商；但偏导数的记号是一个整体．与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求．对一元函数而言，可微可导连续．

但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续．关于偏导数的几点说明（课本P.60~61）二元函数在点(0,0)处的偏导数为但是由课本P.56例5可知，该函数在点(0,0)处不连续．例题（课本P.61）偏导数的几何意义设曲面的方程为z=f

(x,y)

，M0(x0,

y0,

f

(x0,

y0))是该曲面上一点，过点M0

作平面y=

y0，交线方程为则偏导数fx

(x0,

y0)表示上述曲线在M0处的切线Tx对x

轴正向的斜率．TxTy定义：设z=f

(x,y)在区域D

内具有偏导数则在D

内fx

(x,

y)和fy

(x,

y)都是x，y

的函数．若这两个函数的偏导数存在，则称它们为z

的二阶偏导数．按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：高阶偏导数（二阶及二阶以上的偏导数）求z

=

x

ln(x+y)的二阶混合偏导数．解：问题：是否总成立？练习题问题：是否总成立？答：不是！例如，f

xy(0,0)=−1，f

yx(0,0)=1，f

xy(0,0)f

xy(0,0)．问题解答定理若函数

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