小学数学解题教学研究课件

小学数学解题教学研究

浙江师范大学教师教育学院徐元根xuyuangen@)小学数学解题教学研究解题研究及理论简介归纳问题周期问题数论问题砝码称重勾股定理鸡兔同笼行程问题数学趣题及数学应用苏格拉底助产术关于问题解决的最早记录之一出现在柏拉图的苏格拉底谈话录《门诺》中，在书中，苏格拉底和门诺的仆人进行了一次典型的“苏格拉底谈话”——向仆人提出一系列诱导式的问题，对他的回答进行细微的纠正，最终使仆人证明了一个数学关系式。苏格拉底提醒门诺，他并没有告诉仆人任何东西，而仆人则完全依靠自己回答了所有的问题。仆人利用“记忆”中的重要结果对这些问题作出了正确的回答。但是并没有人曾教给仆人这些结果，这说明仆人原本就知道它们。也就是说，知识存在于他们永恒的灵魂之中而非存在于身体之中。正因为灵魂是所有知识的居住地，所以他能够想起这些知识。总之，知识是永恒的，如同柏拉图式的，它也是完美的。知识既不可能被生产，也不可能被发现，而只能被回忆。

官能心理学和训练理论在19世纪的大部分时间里，在学校课程中起统治地位的是官能心理学和训练理论。按照官能心理学的观点，每个人的大脑是由各种官能（或者说心理功能）所组成的，这些官能包括感觉、记忆、想象、理解、直觉、推理等，不同的官能位于大脑的不同部位，而且可以通过针对性的训练来发展或者强化某个特殊的官能。在这种理论的支配下，学校的任务就是发展学生的各种基本技能，而其中，数学，特别是高水平的数学，则是发展学生推理技能的主要手段。在这一阶段，数学课程中的问题解决主要以常规问题为主，不考虑对数学结构的理解，而一味地推行训练与练习。教材中的习题部分的普遍形式是：先给出一道例题及一条相应的解题法则，然后提供一系列的类似问题进行练习。20世纪中期

对于问题解决来说，1945年是标志性的一年。在这一年里，关于问题解决的经典著作《创造性思维》（Max.Wertheimer）和《数学领域的发明心理学》(JacquesHadmard)的英文版首次发行。而最重要的是，波利亚的《怎样解题》也问世于这一年。这本书的出版，无论对波利亚还是对问题解决都是一个转折点：对作者本人来说，这本书成了他的关于数学思维本质的一系列重要著作的第一本，而数学思维则成了他此后工作的核心，并相继出版了《数学与猜想》（1954），《数学的发现》（第一卷，1962；第二卷，1965）；而对于问题解决来说，这本书的影响也是巨大的。

波利亚的两个例子前n个自然数的平方和n个平面最多可以将空间分成几个部分？波利亚的解题四步骤弄清题意制订计划实现计划回顾问题解决的四维超立方体模型（切片）解题教学问题解题理论/应用封闭/开放常规/非常规知识与经验表征与探索控制与调节情感与信念题组训练变式教学专家模式学徒式教学小组合作研究性学习…关于解题者的研究解题者差异分析个体的解题背景实际的解题过程针对性解题教学知识经验认知因素元认知因素情感因素优生中等生差生常规/非常规题封闭/开放题理论/应用题题型教学策略专项训练小组合作学习（专家）模型课题活动案例分析教学实验问题解决的心理历程

（三）联想与匹配（模式识别）解决问题依赖于过去的知识经验。在获得某种表征信息后，就以该表征作为一种提取线索，通过联想，激活头脑中的已有经验，获取有关的信息，并将内外信息进行比较、匹配。若匹配成功，课题即被视作已有经验系统的一个实例或同例，产生与原经验系统中的问题解决一致的或相平行的解法。在匹配过程中，若已有经验不能提供现成的实例或同例，则需通过联想激活有关经验生成一个可与之匹配的新的实例或同例。若匹配失败，则将重新回溯到起始阶段，逐一进行检查，检查感觉信息中选用的信息是否可靠（即审题是否正确），对课题的初步理解（课题表征）是否有误，与长时记忆中信息建立的联系是否适宜（即联想是否恰当），然后再一次进行匹配。如此反复进行，逐步缩小检查的范围直到匹配成功，问题才得到解决。

问题解决的心理历程

（四）反思结果反思结果包含两层意思。一是对获得结果的整个思维过程进行检查。二是反思从该课题可得出的经验和教训。反思的有效方法一般有：（1）找出问题解决过程中的主要困难及关键，搞清楚自己是怎样寻找思路的。（2）对解题方法重新评价，找到最优解决方法。（3）思考解决该课题的过程中，是否有某种技巧值得吸取，是否有某种技巧尔后在类似的场合中用得上。（4）弄清楚当前的课题中可以得到哪些结论或吸取什么教训。（5）概括出课题的一般结构、特点，总结出运用该课题解法的条件范围，以便把该课题的解法推广到同一类型的所有题

美国2000年课标中的问题问题：一个矩形长和宽的比是4：3，它的面积是300平方英寸，它的长和宽是多少？解法一：解法二：300÷12=25，所以每个正方形的面积为25，边长为5。弗赖登塔尔介绍的教学问题问题：一件T恤与三瓶饮料总价30元，两件T恤与两瓶饮料总价44元，求T恤、饮料的单价。（1）TUUU30（2）TTUU44法一：TUUUTUUU=60→UUUU=16→U=4法二：TU=22→UU=8→U=4法三：从（2）到（1）少14元，再到UUUU又少14元，即16元。归纳问题（1）如下图所示的长方形由6个相同的小方格组成，现在将其中的部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何两个相邻的小方格都至少有一个被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法

种。(所有小方格均被涂上黑色也允许。只要有一个编号的小方格的颜色不同，就被认为是不同的涂色方法)123456归纳问题（2）如下图所示的长方形由9个相同的小方格组成，现在将其中的部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何两个相邻的小方格都至少有一个被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法

种。(所有小方格均被涂上黑色也允许。只要有一个编号的小方格的颜色不同，就被认为是不同的涂色方法)123456789完全数毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572-497）完全数：正因数之和等于该数本身（因数包括1但不包括该数自身），6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，8128，33550336（1538年），8589869056（一个梅森素数对应一个完全数，至2005年共发现42个完全数）亲和数亲和数：两个数中任意一个数除了它自身以外的所有正因数的和恰好等于另一个数。最小的一对是220和284。220=22×5×11，284=22×71

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=2841+2+4+71+142=220斐波那契数列1228年《算经》修订版中载有如下的“兔子问题”：某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子（假定养的时候是小兔）开始，一年内能繁殖成多少对兔子？其结果是著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，……

一个有趣的悖论3535①②③④④①②③558斐波那契斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250）是欧洲中世纪第一位有影响的数学家，他早年随其父在北非师从阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后写成《算经》一书．这部名著主要是一些来源于中国、印度、希腊的数学问题的汇编，内容涉及整数和分数算法，开方法，二次和三次方程以及不定方程．归纳问题（4）（勾股数）3，4，55，12，137，24，25归纳问题（5）悟空和八戒在玩变戏法。原有一只1层布做的袋子和袋子里装着的一些桃子。戏法规则是：袋子里装的桃子等于或超过1000个时，1次变化就使3个桃子和袋子的1层布消失；袋子里装的桃子少于1000个时，1次变化就增加5个桃子和袋子的1层布。若袋子的每层布均消失，则袋子也不存在了，桃子堆放在草地上。现在，有一只1层布的袋子内装着84个桃子，那么经过若干次变化，袋子变没后，堆放在草地上的共有

只桃子。周期问题（1）今天是星期四，从明天起的第1天是星期五，第二天是星期六，第天是星期几？指数1234567除以7余3264513100÷6=16……4，除以7余4费马小定理P为素数，a与p互质，则ap-1≡1(modp)P为素数，a为任意整数，则ap≡p(modp)周期问题（2）整数32013除以11的余数是

。

310≡1(mod11)

32013≡310×201×33≡5(mod11)周期问题（3）下面这串数字从第5个数开始，每个数都等于它前面的3个数之和：2，0，0，8，8，16，32，56，104，…这串数中第2008个数除以6的余数是

。2，0，0，2，2，4，2，2，2，0，4，0，4，2，0，0一个基本结论递归数列：an=f(a1,a2,……an-1)值域是有限数集的递归数列必为周期数列。整除和同余问题被3，9整除的整数特点。被4，25整除的整数特点。被8，125整除的整数特点。被11整除的整数特点。被7，13整除的整数特点。(1001=7×11×13）整除和同余问题（1）有一个六位数，各个数位上的数字互不相同且都不是0，如果这个六位数能被11整除，那么将这个六位数的六个数字重新排列，至少还能排出

个能被11整除的六位数。整除和同余问题（2）老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是2的倍数。”第二个同学说：“这个数是3的倍数。”第三个同学说：“这个数是4的倍数。”……第十四个同学说：“这个数是15的倍数。”最后，老师说：“在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的自然数最小是

。整除和同余问题（3）整数A=37865422×41059362×31678451的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D。那么D=

。

整除和同余问题（4）整数A=44444444的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D。那么D=

。整除和同余问题（5）有9个小朋友围成一圈，按顺时针方向依次编为1～9号。现在按如下的方法给他们发糖：先给1号小朋友发一块糖，然后顺时针方向隔过一人后给3号小朋友发一块糖，再顺时针方向隔过两人后给6号小朋友发一块糖，……如此依次间隔1人、2人、3人、4人……发糖。那么拿到第100块糖的是

号小朋友。《孙子算经》中的物不知数今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。70×2+21×3+15×2-2×105=23。除以3余2的数：2，5，8，11，…其中除以5余3的数：8，23，38，…其中除以7余2的数：23孙子歌明代数学家程大位的《算法统宗》中所载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。”中国剩余定理物不知数问题的解法后被秦九韶（宋）推广到一般情形，称为“孙子定理”。秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术”相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的，因此关于这一算法被称作“中国剩余定理”。

整除和同余问题（6）一个整数除以5余1，除以6余3，除以7余6，这个整数最小是

。

整除和同余问题（7）一堆糖，减去一颗后可以平均分成五份，将其中的四份合到一起并减去一颗后又可以平均分成五份，若再将其中的三份合到一起并减去一颗后还是可以平均分成五份。那么这堆糖至少有几颗？因数问题（1）求下列各整数的因数个数、因数和（1）36（2）2700在100至150之间，恰有8个因数的整数共有几个？因数问题（2）两个整数的最大公因数是17，最小公倍数是6120，满足此条件的两个数共有对（两个数确定后，顺序不同的仍算同一对）。[6120=17×23×32×5]因数问题（3）两个整数的最小公倍数是420，这两个数分别除以它们的最大公因数，得到的两个商的和是9，这两个整数是

。[420=22×3×5×7]砝码称重问题（1）有若干个重量均为整数克的砝码。用天平称物体的重量时，砝码可以放在物体另一侧的称盘上，也可以放在物体同一侧的称盘上。为了能够用最少的砝码称出1，2，3，4，5，…，121中任一整数克物体的重量，那么，至少需要

个砝码。砝码称重问题（2）有若干种重量均为整数克的砝码，每一种都有两个重量相同的砝码，不同种类的砝码重量不同。用天平称物体的重量时，砝码可以放在物体另一侧的称盘上，也可以放在物体同一侧的称盘上。为了能够用最少种类的砝码称出1，2，3，4，5，…，62中任一整数克物体的重量，那么，至少需要

种不同的砝码。同类问题将25个同样的零件分别放在5只同样的袋子中，要求有人要1～25个之间的任意多个零件时，都可以不拆袋地从中拿出若干袋如数付给他。这5袋有

种不同的装法。欧拉欧拉（Euler，1707—1783）瑞士数学家、物理学家。13岁进入巴塞尔大学学习数学，16岁获硕士学位。1727-1741、1766-1783：工作于彼得堡科学院；1741-1766：工作于柏林科学院。28岁右眼失明，60岁前后双目失明。欧拉直线三角形的垂心、重心、外心三点共线，且重心分垂心与外心的连线段成2：1。勾股定理《周髀算经》中商高回答周公的问话时答道：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”《周髀算经》中陈子与荣方的一段对话则阐述了勾股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为故，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，…”弦图三国时期的赵爽（公元3世纪）为《周髀算经》作注时，给出了“弦图”，运用面积的出入相补原理证明了勾股定理。勾股问题（1）直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长。费尔马大定理x2+y2=z2的通解（x，y互质时）X=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2（m，n互质且一奇一偶）以下方程无正整数解费尔马大定理的证明1993年在英国剑桥大学牛顿数学研究所的一个讨论班上，美国普林斯顿大学教授维尔斯（Wiles）宣布证明了费尔马大定理。1994年修补了证明中的一些漏洞后于1995年在《数学年刊》上正式发表。为此维尔斯获得了沃尔夫奖。曾获菲尔兹、沃尔夫数学奖的华人科学家菲尔兹：丘成桐（1982年）；陶哲轩（2006年，31岁）沃尔夫：陈省身《孙子算经》中的鸡兔同笼今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。

鸡兔同笼问题（1）商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元。张老师用120元买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多。问每种球各买几个？

鸡兔同笼问题（2）一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天一天只能完成晴天的4/5的工作量。现在知道在施工期间雨天比晴天多3天。问这项工程要多少天才能完成？鸡兔同笼问题（3）甲、乙两地相距100千米。张先骑摩托车从甲地出发，1小时后李驾驶汽车也从甲地出发。两人同时到达乙地。摩托车开始速度是每小时50千米，后来减速为每小时40千米。汽车速度是每小时80千米，但汽车在途中停了10分钟。问摩托车是在出发后多少时间开始减速的？

行程问题（1）小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去。小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去。他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇。问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？行程问题（2）一只小船从A地到B地往返一次共用2小时。回来时顺水，比去时每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。求A，B两地的距离。行程问题（3）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米。求A，B两地的距离。行程问题（4）甲、乙、丙依次相距300米（见下图），甲、乙、丙每分钟依次走100米、90米、85米。如果甲、乙、丙同时出发，那么经过几分钟，甲所处的位置第一次与乙、丙的距离相等。

甲乙丙无限概念的早期探索——芝诺悖论

两分法悖论：运动不存在，因为位移物体在到达目的地之前必先抵达一半处，在一半处之前必先抵达四分之一处……依此直至无穷，而无穷是不会结束的。阿基里斯与乌龟赛跑飞矢不动运动场

Ball悖论（1892）矩形ABCD，作AE=AD，使∠DAE为锐角，分别作线段CD、CE的垂直平分线交于点O，易证△OAE≌△OBC，从而可得∠BAE=∠ABC（钝角=直角）。ABCDMNOE亚里士多德轮大、小圆同时滚动一周，所以大、小圆周长相等。角谷猜想二次大战前后美国一个叫叙拉古的小镇流行一种数字游戏，无论你从什么自然数开始，按照一个简单的运算模式（如果是偶数则除以2，如果是奇数则乘3加1），最终必然跌进4→2→1的怪圈。1960年前后日本数学家角谷静夫将其带回日本，发展成角谷猜想（3X+1现象）。

角谷猜想举例序列有长有短：

16→8→4→2→1共4步；

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1共16步；

27要经过111步的计算才到达1。

分油问题

有3个外形不规则的油壶A，B，C，其中A壶已经装满了油共10升，B，C是两个空壶，容积分别是7升和3升。请用这3个壶而不借助于任何其它工具，将10升油平分后分别装入A，B壶。ABC设用B壶从A壶中倒出x次，用C壶从A壶中倒出y次，则应有7x+3y=5该方程有无数多组解，比如x=2，y=-3故只要用B壶从A壶中倒出2次，将C壶装满后倒入A壶3次，就倒出了5升油。[（-1，4）是另一组解]ABC

ABC

ABC1000x=2271x=1370253343

y=-3550y=-1640613y=-2910901过河问题三名商人各带一名仆人搬运若干财宝过河，河中只有一条没有艄公的小舟，小舟最多只能同时乘载两个人。商人们知悉了仆人们的如下阴谋：一旦在河的此岸或彼岸出现了仆人人数超过商人人数的现象，则立即干掉商人，劫走财宝。请为商人们设计一个安全的渡河方案。伪币问题12枚硬币外表一样，已知其中有一枚是伪币，并且知道伪币的重量与另外11枚真币不同，而11枚真币的重量均相同。请利用一架天平称量3次，确定哪一枚是伪币，以及它比真币是轻还是重。一个聪明的解法哈佛大学学生Char