课件理论力学第十章

定点运动刚体的有限位移的顺序不可交换；定理：定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一轴经过一次转动来实现；定点运动刚体的位移不能用矢量表示，但无穷小位移可以用矢量表示。通过瞬时转动轴定义刚体的角速度；刚体的角加速度可以理解成角速度的速度。3：刚体定点运动的性质：2五、研究刚体定点运动运动学的解析法xzx'oz'yy'

3Oxyz

为固定参考系Ox’y’z’

为随体参考系问题：1：如何描述刚体的定点运动？2：定点运动刚体的

度？3：定点运动刚体的运动学特征量？用随体参考系相对固定参考系的位置描述刚体的定点运动。xyzx'oz'r

f

(r

')a11

a12y'a13

x

'

y

'21

22 23

a31

a32a33

4z

'r

f

(r

')

Ar

'

a

a

a1：旋转变换矩阵刚体定点转动可视为坐标变换：由旋转的性质：f

(r

')

f

(r

')f

(a

b)

f

(a)

f

(b)定点转动产生的坐标变换是线性变换r’：刚体上某点的标记(也可认为是初始位置)，为常矢量。r：刚体上某点所占据的空间位置，运动时为变矢量。引入矩阵表示：称A

为转动矩阵。旋转变换不改变矢量的长度与矢量间的夹角：Ar

'

Ar

'

r

'

r

'

r

'T

AT

A

r

'

r

'T

r

'0AT

A

I

01

0

0

1

0

0

112

12

22

22

32

3211

12

21

22

31

32a

a

a

a

a

a

1a13a13

a23a23

a33a33

1a

a

a

a

a

a

0a11a13

a21a23

a31a33

0a12a13

a22a23

a32a33

05矩阵A

中只有三个独立元素。AT

A

是对称矩阵a11a11

a21a21

a31a31

1Ar

Ar

T

T'

''

'

'

T

'''1

2

1

2

1

2

12

r

r

r

A A

r

r

r6旋转矩阵

A

的特征方程必有实根

1

.即：存在非零矢量

x

，使得：

Ax

x即：刚体上有不动点，且不动点组成一直线。对于旋转矩阵A

：刚体定点转动时：A

A(t)定理：定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一轴经过一次转动来实现。证明：

按照矩阵的行列式运算规则：1

det

I

det(

AT

A)

det

AT

det

A

det

A2t

=0

时，A

=Idet

A

1212223a12

(t)a

(t)a32

(t)a11(t)a13

(t)a

(t)a31(t)a33

(t)A(t)

a

(t)矩阵的导数运算

x

z

r

y

x

z

r

ydtd

(

AB)

AB

AB2123a12

(t)22a

(t)a32

(t)t0a11(t)a13

(t)a

(t)dt

ta31(t)a33

(t)dA(t)

A(t)

lim

A(t

t)

A(t)

a(t)dtdA2

AA

AA

2

AA7但：82：刚体的角速度刚体定点转动时：关于时间求导：r

Ar

'

A

A(t)v

r

Ar

'

AA1r可以验证：AA1

是一斜(称矩阵。验证：AAT

I关于时间求导：AA1

AAT

AA1

TAT

A1AAT

AAT

0

AAT

TB

BT对于一个33

斜对称阵：对于任意矢量r：rT

Br

r

(Br)

0即：r

Br2：刚体的角速度刚体定点转动时：关于时间求导：AA1

是一斜(r

Ar

'

A

A(t)v

r

Ar

'

AA1r称矩阵。31

0

3

2

01

21

AA

记：1

3

ω

20

AA1r

ω

r可以验证：AA1ω

0为刚体的角速度矩阵，

为刚体的角速度9定义：

ω

AA1矢量。10例：刚体绕z

轴作定轴转动。xy'zz'yx'0cos

sin

0cos

0

1A(

)

sin

0AA1

AAT坐标变换关系：x

x

'cos

y

'sin

z

'

0y

x

'sin

y

'cos

z

'

0z

x

'

0

y

'

0

z

'1写成矩阵形式：

x

x

'

z

r

y

A(

)

y

'

A(

)r

'

z

'sin0cos

0

cos

sin

0sin

cos0

0

cos

00

sin

0

0111xx'y'zz'y0

1

ω按：321

0

3

20

10

AA1

1

2

3

ω

0

ω

0

ksin0cos

0

cos

sin

0

sin

cos

0

0

00

1

0

00

0

00

sin

0

01AA1

cos123：刚体的角加速度刚体定点转动时：关于时间求导：r

Ar

'

A

A(t)v

r

Ar

'

AA1rAA1

是一斜(关于时间再求导：记：称矩阵。a

v

r

Ar

'

AA1ra

v

rd

AA1

r

AA1

r3dt

2dAA1

1

2

3

α

斜对称

0

3

2

0

1

1

0

dt

斜对称133：刚体的角加速度刚体定点转动时：关于时间求导：AA1

是一斜(r

Ar

'

A

A(t)v

r

Ar

'

AA1r称矩阵。记：a

v

rdtd

AA1

3dt

0

3

2

0

1

21

0

d

AA1

1

3

定义：

α

2

为刚体的角加速度。r

AA1

r

α

r

ω

v

称为角加速度矩阵。xyzx

'z

'y

'角(,,)N节线六、

角14xyx'y'zz'xzz'y'

y进动角xyzy'z'

章动角xyzx'Nz'角x'(N)节线自转角y'x('N)节线15

f3

(t)16

f2

(t)运动方程：

f1(t)关于

角，记住以下事实：1:

工程问题中轴z’是刚体的对称轴；3:

角

是刚体绕轴

z’

转动；4:

角

是轴

z’

与轴

z

的夹角；2:角(

,

,

)参数给出的转动是有顺序的；5:

角

是轴

z’(刚体)绕轴

z

转动；xyzx'z'y'N6:

在考虑重力的问题中，一般情况下，轴z

是铅垂轴。17zz

'例：1819章动角不变例：章动角不变20：自转角速度1：进动角速度z例：

：自转角速度0

：进动角速度N

：章动角速度例：2122xx1yzz11

y进动角yx1x1y1

1

1z

x

0

y

0

z

1y

x1

sin

y1

cos

z1

0x

x1

cos

y1

sin

z1

0xyx11yzz1七、变换矩阵与

角的关系

r

Ar

'

A

A(t)给定：(

,

,

)，确定(x,y,z

)与(x’,y’,z’)关系231111

1

1z

x

0

y

0

z

1y

x

sin

y

cos

z

0x

x1

cos

y1

sin

z1

01

z1

x1

z

x

y

A()

y

1

00cos

sin

0cos0A()

sin正交矩阵xx11yzz1y进动角y1z1y2z2

02

1cos

z2

1

0

cos

sin

y

0

sinA()x2

z1

y

0x1xyz1x2yz2

2x1

yz124xy1z

zy2x1z2x21

yxyzx'y'z'y1

y2x1

x2z2225xx'2yy'A()

0

cos

sincos0

0

y'1z'0

x'z2

y2

sinx2

26z'

x'

z

x

y

A()

A(

)

A()

y'z'

x'

z

x

y

A(,

,)

y'27一般而言:A(1,1,1

)

A(2

,2

,2

)

A(2

,2

,2

)

A(1,1,1)有限角位移次序不可交换A(

,

,)

A(

)

A()

A()

cos

cos

sin

sin

cossin

sin

cos

sin

sin

cos

coscos

sin

sin

cos

cossin

sin

cos

cos

coscos

sinsin

cos

sin

sin

cos

变换矩阵28八、

角表示下的角速度刚体定点转动时：关于时间求导：AA1

是一斜(r

Ar

'

A

A(t)v

r

Ar

'

AA1r称矩阵。3

0

3

2

011AA

21

0

记：1

3

ω

2可以验证：AA1ω

0定义：刚体的角速度为：AA1r

ω

r1

2

3

ω

A(

,

,)

A(

)

A()

A()

sin

sincos

cos

sin

sin

cossin

sin

cos

sin

sin

cos

coscos

sin

sin

cos

cossin

sin

cos

cos

coscos

sinsin

cos

cos

角表示下的变换矩阵AA1

A'(

)

A()

A()

A

1()

A1(

)

A1(

)

A(

)

A'(

)

A()

A1()

A1(

)

A1(

)

A(

)

A()

A'()

A1()

A1(

)

A1(

)29AA1

A'(

)

A()

A()

A

1()

A1(

)

A1(

)

A(

)

A'(

)

A()

A1()

A1(

)

A1(

)

A(

)

A()

A'()

A1()

A1(

)

A1(

)0

1

0

1

00

0

0

sin0

0

sin

0

0

0

cos

cos0

0cos0sin

sinsin

cos

0

cossin

sin

sin

cos3031AA1

2

y3

z

1

xx

cos

sin

sinzy

sin

sin

cos

cos定系下的运动学方程0

sin

cos

sin

0

cos

sin

sin

cos

cos

0

sin

sin

cossin

cos

sin32九.

随体坐标系下的

运动学方程同一矢量在固定坐标系与随体坐标系下的分量有如下关系：r

Ar

'角速度在随体坐标系下的分量：ω'

=

A1ω

AT

ω随体坐标系下的 运动学方程z

'x

'

sin

sin

cosy

'

sin

cos

sin

cos

用几何法确定运动学方程角速度

lim

lim

lim

l0t0

t

t0

t

t0

k

n

k'

z

n

z

'

k

n

k'

l

0rol

0l瞬时转动轴：lim

l

0t033随体坐标系下的

运动学方程

k

n

k'xyzx'z'y'N将其向随体坐标系投影，有：n

cosi'

sin

j'k

sin

sini'

sin

cos

j'

cos

k'x

'z

'

sin

sin

cosy

'

sin

cos

sin

cos

(随体坐标系下的)运动学方程34yzx'z'y'N固定坐标系下的

运动学方程得固定坐标系的运动学方程：x

k

'

sin

sin

i

sin

cos

j

cosk

k

n

k'将其向固定坐标系投影，有：n

cos

i

sin

jx

cos

sin

siny