线性代数：第一章 行列式第四、五节

§4

行列式的性质n阶行列式的定义

n

阶行列式共有

n!项．每一项都是位于不同行不同列的

n

个元素的乘积．每一项可以写成（正负号除外），其中是1,2,…,n的某个排列.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.因为数的乘法是可以交换的，所以n个元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列与都同时作一次对换，即与同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变.于是与同时为奇数或同时为偶数.即是偶数.因为对换改变排列的奇偶性，是奇数，也是奇数.设对换前行标排列的逆序数为

，列标排列的逆序数为

.所以是偶数，因此，交换中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此.所以，在一系列对换之后有定理2

n阶行列式也可定义为定理3

n阶行列式也可定义为一、行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.若记，则.记性质1

行列式与它的转置行列式相等,即.性质1

行列式与它的转置行列式相等.证明根据行列式的定义，有若记，则行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.验证于是推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有，所以.

备注：交换第行（列）和第行（列），记作.性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.验证我们以三阶行列式为例.记根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第行（列）乘以，记作.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．备注：第行（列）提出公因子，记作.验证我们以4阶行列式为例.性质4

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：则验证我们以三阶行列式为例.性质6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．则验证我们以三阶行列式为例.记备注：以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作.例１二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解例2

计算阶行列式解将第列都加到第一列得例3设

证明证明对作运算，把化为下三角形行列式设为对作运算，把化为下三角形行列式设为对D

的前k行作运算，再对后n

列作运算，把D

化为下三角形行列式故

(行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立).

计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的6个性质计算4阶行列式思考题思考题解答解例3设

证明证明对作运算，把化为下三角形行列式设为对作运算，把化为下三角形行列式设为对D

的前k行作运算，再对后n

列作运算，把D

化为下三角形行列式故§5

行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.一、引言结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如把称为元素的代数余子式．在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.引理

一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如即有又从而下面再讨论一般情形.分析当位于第1行第1列时,我们以4阶行列式为例.思考题：能否以代替上述两次行变换？思考题：能否以代替上述两次行变换？答：不能.

被调换到第1行，第1列二、行列式按行（列）展开法则定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即同理可得例

证明用数学归纳法例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2时(1)式成立.假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有

n−1阶范德蒙德行列式推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析我们以3阶行列式为例.把第1行的元素换成第2行的对应元素，则定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之