新教材2021-2022学年人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数课时检测

第四章指数函数与对数函数TOC\o"1-5"\h\z1、n次方根 1\o"CurrentDocument"2、分数指数累、无理数指数幕 5\o"CurrentDocument"3、指数函数的概念 10\o"CurrentDocument"4、指数函数的图象和性质 14\o"CurrentDocument"5、指数函数及其性质的应用（习题课） 19\o"CurrentDocument"6、对数的概念 25\o"CurrentDocument"7、对数的运算 29\o"CurrentDocument"8、对数函数的概念 33\o"CurrentDocument"9、对数函数的图象和性质 38\o"CurrentDocument"10、对数函数的图象和性质的应用（习题课） 44\o"CurrentDocument"11、不同函数增长的差异 50\o"CurrentDocument"12、函数的零点与方程的解 57\o"CurrentDocument"13、用二分法求方程的近似解 63\o"CurrentDocument"14、函数模型的应用 69\o"CurrentDocument"章末检测 771、n次方根.下列各式正确的是（）A2（-3）2=—3 B.y^=aC.笹=2 D.丁（-2）3=2解析:选C由于年（-3）2=3,毎5=同,yf（—2）3=-2,故A、B、D错误.TOC\o"1-5"\h\z.化简（x+3）2-y]（x-3）’得（ ）A.6 B.2xC.6或ー2x D.6或2x或ー2x解析:选C原式=|x+3|—（x—3）（当—3时,原式=6;当イ<—3时,原式=-2x,故选C..（多选）若や=a（xW0,n>\,nGN）,则下列说法中正确的是（ ）A.当〃为奇数时,x的〃次方根为aB,当〃为奇数时,a的〃次方根为xC,当〃为偶数时,イ的〃次方根为土aD.当〃为偶数时,a的〃次方根为ix解析:选BD当〃为奇数时,a的〃次方根只有1个,为X;当〃为偶数时,由于（とザ=ゼ=。,所以a的〃次方根有2个,为±x.所以B、D说法是正确的,故选B、D..若n<m<0,则マ〃!2+2〃j〃+〃2一4"一2〃j〃+〃2等于（ ）A.2m B.2nC.~2m D.~2n解析:选C原式=，（〃?+〃）2—y1（.tn—ri'）~=\m-\-n\—\m-n\,\"n<tn<0,...加+〃く〇,加ー〃>0,.••原式=—（〃/+〃）一（Z〃ー〃）=—2〃!..式子。ヘ闩可化简为（）A、一a B.yfa.若81的平方根为a,-8的立方根为ん则a+b=.解析:因为81的平方根为±9,所以a=±9.因为一8的立方根为ー2,所以b=-2,所以a+b=—li或a+b=l.答案：一11或7.有下列说法："125=5；②^/§7=±3；③y[~（x+y）2=|x+y|.其中,正确的有（填序号）.解析：〃为奇数时,负数的〃次方根是ー个负数,2125=-5,故①错误;ホ81=3,故②错误;ヽ（x+y）2是非负数,故J"（x+y）2=は+y|,故③正确.答案:③

.若Vf+2x+1+W+6y+9=0,则(f02i»=.解析:因为・^Jji2+2A•+1+q1+6y+9=0,所以ぐ(x+1)2+ヽ(y+3)2=ほ+“+レ+3|=〇,所以ス=一1,y=-3.所以(メ位ケ=[(—l)2021]-3=(—1尸=—1.答案:一1.求下列各式的值:(1)マ(-2)フ;(2)ヤ(3a-3)”(后1)；(3)シ3+す(1—a)士解:⑴/(―2)2.(2)V：.yj(3a-3)5=|3a-3|=3|a-l|=3-3a.3l4/ fl,。<1,(3)而+V(1—a)^=a+\l—a\=][2。-1,a>\..已知。v/?vO,n>\, 化简で"（。ーh）"+§"（〃+〃）解:Va<b<09••・〇一〃vO,a+b<0.当〃是奇数时,原式=（〃ーZ?）+（〃+わ）=2a;当〃是偶数时,原式=い一目+|a+例=（わー〃）+（ー。ーの=一2〃.••・ヤ••・ヤく。ーわ）〃+々（。+わ）[2a,〃为奇数,1—2。,〃为偶数.4, .已知二次函数ズ劝=加+云+0.1的图象如图所示,则｛（a-b）4的值为） 斗A.〃+わ B.一（a+わ）C.。一わ D.わー。 T。x解析:选D由题图可知ズー1）=4ーわ+0.1V0,.,・。ーれ<0.4/ /.yj（。ーわ）4=\a-b\=—（a—b）=b-a.

解析:由ぜ（〃ー1）4+1=〃,得|〃ー1|=。ー1,即。ユ1.所以原式=（〃-1）+（。-1）+（1—。）=〃一!.答案:a~\.设«x）=qp—4,若〇<aWl,求G+り.因为OvaW1y所以aW：,故心用ヰ-a..化简ぎ=寸4ゼ+4イ+1+ヤメー1ハ+9,并画出简图,写出最小值.解:尸仮2+4x+l+y4アー⑵+91 1 3 3=|2x+l|+|2x—3|=2—4x,xW—ラ,4,-2<x<2，4x—2,ス2=|2x+l|+|2x—3|=其图象如图所示.

由图象易知函数的最小值为4.2、分数指数裏、无理数指数嘉3/ 丄丄ユx丄-解析:选Ay]a•y/a=(a-a2)3=a23=〃2,故选A.3.(多选)下列各式中一定成立的有()7 1A.Q=Rれラ B々(-3)4=事C.キ・+ブ=(x+y)4 =粧7解析:选BDA中应为=ガ"ー7； "(-3)4=1狗=%,b正确:

C中当x=y=l时,等式不成立;D正确.故选B、D.1 124.若〃+b=〃!3,ab=^n3(m>0),则デ+护=( )A.0inし.2m-2D.学2'tn.15.设al—a2=m.则皆等于（）A.zn2—2B.2ー〃?C,加2+2D.m2解析:选C将m-2D.学2'tn.15.设al—a2=m.则皆等于（）A.zn2—2B.2ー〃?C,加2+2D.m2解析:选C将a2—a2=/n两边平方,得I1n2=〃厂,即a—2+a,=〃！2,所以。+〃ー1=m2+2,即“+ラ=评+2,所以す=涼+2.6.计算:（一9.6）。一ヌ+1.5解析:原式=1一27,41：~~26.计算:（一9.6）。一ヌ+1.5解析:原式=1一27,41：~~2=1-3X2-2=1——3,3'-2=1.答案:1

答案:1答案:1ンハ11〃―3.如果a=3,b=384,那么a(―J71=3[(128)7]n-3=3X2n-3.答案:3X2»-3.化简下列各式:(2)(2a3M)(-6a2。3ド(一3a606)；(a>0,Z?>0).2

di,

⑶一f(a>0,Z?>0).a'.謳0,x^y92(y—x),x<y.解:(1)原式=Y(x—y)?+y—%=は-0,x^y92(y—x),x<y.=0Z当スvy时,原式=y—x+y—x=2(y—x)..•・原式=411 111 2A(2)原式=[2X(—6)：(—3)]•け+5ース•ぢ+大ース=4〃3612.(3)原式=11,a6b6.13,.,J~(a-?(a2b2)3(3)原式=11,a6b6.13,.,J~(a-?(a2b2)3-1I(_na'b_T\h•a2J!-3-142.〃=(。6•/?6)4-(4z2/?2)=ar^-2=^-3.已知2a•3、=2c.3d=6,求证:(a~l)(d~l)=(fe—l)-(c—1).证明:•3ム=6,，2Li•3ムr=l.•3-y],即2(fl-，x</_,).3("-ix5i)=i. ①又、せ・3d=6,；.2「1…ー・].二(2「1•3”ーシー|=1,即2(「i)sr)•3(Li)sr)=l. ②由①②知2(aFdT)=2(G)sr),.ゝ(a—l)(d—1)=(Z?—l)(c—1)..已知/U)是奇函数,当イ>0时,/(x)=x2，+a—1,若/(—1)=ス，则a等于()A.-3 B.—2D.0解析:选A•.•ズー1）=不.,如）=ーズー1）=ー不即2け"一1=ース,即1+〃=-2,得a=-3..设a,£是方程5ゼ+10ズ+1=0的两个根,则2"•2"=,(2°)解析:由根与系数的关系得a+4=-2,a8=g..1贝リ2°•2°=2"4=2セ=不(2°ゾ=2a0=25.答案:425.已知あ"+"=2-2,a，，r=28（a>0,且aWl）,则ゴホ"的值为解析:因为,解析:因为,a2m+n=22

グ厂”=28,所以①X②得a3»,=26,所以am=22.将グ"=22代入②,得22・相”=28,所以グ=2-6,所以 ・グ=（メッ4.グ=@2）4X2-6=22=4.答案:4グ+ax.（2021•安徽庐巣六校联盟髙一段考）已知函数/（x）=-2-3>°，a

为常数,xGR).(1)若大m)=6,求ズ一m)的值;(2)若ズ(2)若ズ1)=3,求ズ2),的值.a~a~m+am=6,.\/(ー加)= 2 =6.5 a"'+a~m解:(1)•.ズ加)=6,，―2—(2)V/1)=3,.\—2—=3,.,.。+小=6,.,-/2)=-a2*+a2 (a+，り2—2 =17.丄!a2+a2丄!a2+a2=2啦,\'(a2+a~2)2(1~2(1~%) 4， 4,~x ギ 41_1a2+a_2__厂2V2.15.已知函数/(め=H万.⑴求バ3)+八一2)的值;(2)求j(x)+ズ1一幻的值.TOC\o"1-5"\h\z2 4解:(1)娟+解:(1)娟+2+ 42+232+231\o"CurrentDocument"1 231-+ T23+11+23バ3)+大ー2)=2+2し+2+2-42+26+25+126 2(2求幻+次1_幻=(2求幻+次1_幻=2W/2 4v+22+4X,4、+22+4N「3、指数函数的概念.下列函数中,指数函数的个数为()①y=(；) ;(2)y=ar(a>0,且aWl);③ドニド;④y=(J—1.A.0个 B.1个C.3个 D.4个解析:选B由指数函数的定义可判定,只有②正确.a•2X9ス20,2.已知函数於)={ ' '若然ー1))=1,则a=()12工,x<0,A.； B.gTOC\o"1-5"\h\zC.1 D.2解析:选A根据题意可得バーl)=2i=2,•••心—D)=7(2)=022=1,解得。=；,故选A.3.若指数函数y=/(x)的图象过点(2,4),则大3)的值为( )A.4 B.8C.16 D.1解析:选B设指数函数的解析式为ズス)=炉(4>0,aチ1),又由函数的图象经过点(2,4).则メ=4,解得a=2或。=一2(舍),即/(x)=2t所以/(3)=2コ=8(故选B.4.已知心)=出+ar(a>0,且aWl),且ズ1)=3,则ズ0)+ズ1)+ズ2)的值是( )A.14 B.13C.12 D.11解析:选C由/(ス)=ぴ+。つ得7(0)=a°+a°=2.又/(1)=3,即a+a'=3,•,.(a+a，2=a2+2+a?=9, d^~\~ci~=7,即バ2)=7.因此,7(0)+/(1)4-7(2)=2+34-7=12,故选C..(多选)设指数函数段)=砥。>0,且aWl),则下列等式中正确的是()A.j(x+y)=j(x)J(y)f(x)B-かつ)=777Tc.娘二%)ー叔D._Anx)=[Ax)]"("GQ)解析:选ABDズス+历=び+>=优3=/3貝y),故A中的等式正确;J(x-y)グf(x) (x\ - ]=ペ二>'=び。つ=示=/(、,),故B中的等式正确;化尸の=(グ)y,バx)-/W)=炉1ーイキ(优)7,故C中的等式错误;次?优)=ザ=(グ)"=巩创",故D中的等式正确..若函数/0)=(経ー2a+2)(a+l尸是指数函数,则。=.(a2—2a+2=1,解析:由指数函数的定义得｛。+1>0,し+lWl,解得a=l.答案：1.已知函数/(イ)=グ+伙a>0,且aWl),其图象经过点(-1,5),(0,4),则ズー2)的值为.伍-i+b=5, 。=ス, "V解析:由已知得。)+ム=4解得’2所以た)=Gノ+3,所以ズー2)=(0+3=4+3=7.答案:7.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格降低;,则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为.解析:5年后价格为8100x11—'；10年后价格为8100X0ーザ;15年后价格为8100x(1ービ=2400(元).答案:2400兀.某生态文明小镇2018年底人口为20万人,人均住房面积为8m2,计划2022年底人均住房达到10n?,如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%,那么要实现上述计划,这个城市平均每年至少要新增住房多少万平方米?(精确到1万平方米)解:设这个城市平均每年要新增住房x万n?,据题意可得20X8+4x=20(l+l%)4•10,所以x=50X1.0ドー40ル12.所以这个城市平均每年至少需新增住房!2万m2..已知函数/(イ)=(。2+。ー5)グ是指数函数.(1)求/(x)的表达式;(2)判断F(x)=/(x)—/(一x)的奇偶性,并加以证明.解:(1)由巒+。ー5=1,fl>0.且aWl,可得a=2或a=—3(舍去)，."(尤)=2*.(2)尸(イ)=2'—2ノ，F(—x)=-F(x),.,.Rx)是奇函数..池塘里浮萍的生长速度极快,它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的ー倍.若一个池塘在第30天时刚好被浮萍盖满,则浮萍覆盖池塘一半的面积是()A.第15天 B.第20天C.第25天 D.第29天解析:选D因为浮萍覆盖池塘的面积,每天可增加原来的一倍,且第30天时刚好被浮萍盖满,所以可知第29天时刚好覆盖池塘的一半.故选D..已知函数ズ处=(句,a为常数,且函数的图象过点(-1,2),则a=,若g(x)=4r—2,且g(x)=/(x),则ス=.解析:因为函数的图象过点(-1,2),所以(チ)=2，所以。=1，所以/(x)=(ザ,g(x)=/(x)可变形为4r-2"—2=0,解得2一,=2,所以ス=一1答案:1一1.已知函数/(X)满足:对任意实数XI<X2,有ズイI)勺(X2),且ズイI+*2)=ズ用)贸X2),若写出ー个满足这些条件的函数,则这个函数可以写为.解析:,..XI<X2时,左1)勺(X2),.•ノ(X)为增函数.,.•/(XI+ス2)=/(尤I)贸X2)符合指数函数的性质,.•.满足条件的函数可以是y=a'(a>l).答案:y=2%底数大于1的指数函数即可).有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内,该种树的产量年增长率为20%,如果不砍伐,从第6年到第10年,该种树的产量年增长率为10%,现有两种砍伐方案:甲方案：栽植5年后不砍伐,等到10年后砍伐.乙方案：栽植5年后砍伐重栽,然后过5年再砍伐一次.请计算后回答:10年内哪ー个方案可以得到较多的木材?解：设该种树的最初栽植量为a,甲方案在10年后的木材产量为yi=a(l+20%)5(1+10%)5=a(1.2X1.1)5*4.01a.乙方案在10年后的木材产量为”=2a(1+20%)5=2a♦1でて4.98a.Va>0,.•.4.98a>4.01a,即”〉yi,.•.乙方案能获得更多的木材.、“マ小 -口 /(1) 1f(2) 1 ハ〃).已知函数y=/(x),xGR,且・〇)=3,；(〇)"=な)マ1)..•ソ(“二い=白,〃GN*,求函数y=/(x)的ー个解析式.解：当ス增加1时函数值都以］的袤减率衰减,所以函数/(x)为指数型函数,令/(x)=aQ)(たWO),又/(0)=3,所以ん=3,

4、指数函数的图象和性质.函数於)=茎^的定义域为()A.[-1,0)U(0,+°o)A.[-1,0)U(0,+°o)B.(-1,+0°)C.[-1,+0°)C.[-1,+0°)D.(0,+8)解析:选A依题意得，ン+解析:选A依题意得，ン+120,2X—1W0,卜ユ一1,即〈xヰ。.故函数«x)的定义域为［-1,0)U(0,4-0°)r故选A.丄.已知。>0且aWl,则函数y=の:的值域为( )A.(0,+8) B.(一8,1)U(1,+8)C.(0,1)U(1,4-°°) D.(1,4-°°)解析:选C设，=チ,则y=d,其中rWO.,.丁WO,.•.メ手メ,即"チ1,又1">0,二»>0且yWl,即函数メ=の:的值域为(0,1)U(1,4-°°),故选C..在同一坐标系中,函数y=ox+a与ッ=ゴ的图象大致是()解析：选B函数,y=ox+a的图象经过(一1,〇)和(0,a)两点,选项D错误;在图A中,由指数函数ぎ=び的图象得a>l,由y=の?+a的图象得0<a<l,选项A错误;在图B中，由指数函数y=び的图象得a>l,由y=ac+a的图象得a>l,选项B正确;在图C中,由指数函数ぎ=を的图象得0<。<1,由y=の:+a的图象得a>\,选项C错误.故选B..(多选)下列说法正确的是()

A.函数y=3N与的图象关于y轴对称B.函数y=3X与y=0『的图象关于x轴对称C.函数y=3X与ヅ=一e)”的图象关于原点对称D.函数y=3X与ぎ=-3X的图象关于x轴对称解析:选ACD易知函数y=°r与y=(1)エ。］的图象关于y轴对称,且函数y=グ与y=—グ的图象关于x轴对称,所以函数y=o•，与y=—(チ)的图象关于原点对称,所以B说法错误..(2021•湖南衡阳ハ中高一月考)设a,b,c,d均大于〇,且均不等于1,y=出,y=か,y=グ,y=が在同一坐标系中的图象如图,则a,h,c,d的大小顺序为()A.a<b<c<dA.a<b<c<dC.b<a<d<cB.a<b<d<cD.b<a<c<d解析:选C作出直线ズ=l,如图所示.直线ス=l与四个函数图象的交点从下到上依次为(1,b)9(1,a)9(1,d)9(1,c),因此。,b9c9d的大小顺序是/?故选C..已知函数/U)=(x—4)。ーわ)(其中。〉わ)的图象如图所示,则函数g(%)=グ+/7的图象是()解析:选C由函数/(x)的图象可知,一1V6V0,a>\,则g(x)=t/+b为增函数,当x=0时,g(0)=l+〃>0,故选C..函数y=a「3+3(a>o,且。会1)的图象过定点.解析:因为指数函数y=け、(a>0,且aWl)的图象过定点(0,1),所以在函数y=o1rイ+3中,令x—3=0,得x=3,此时y=l+3=4,即函数y=a「3+3的图象过定点(3,4).答案:(3,4)(2Xx<0.若函数ズx)= …ハ则函数ズx)的值域是 .1一2 x>0,解析：由xVO,得OV2'V1；Vx>0, -x<0,0<2-Jf<l,：.~\<~2~*VO.'・函数メx)的值域为(一1,0)U(0,1).答案：(一1,0)U(0,1)9.求下列函数的定义域、值域：1(l)y=0.3x_1;(2)y=3行.解：(1)由x-IWO得xWl,所以函数定义域为{x|xWl}.由士"キ〇得户勺,所以函数值域为{y|y>0且yW1}.(2)由5x—120得X2ラ,所以函数定义域为レエふセ］.由小x—120得1,所以函数值域为{y|y21}.10.已知函数;(x)=〃ーi(イ20)的图象经过点(2,ラ),其中。>0且a#l.(1)求a的值;⑵求函数y=/U）（x20）的值域.解:（解:（1）函数图象经过点（2,2所以メー|=ラ,则a=g.⑵由（1）知函数为危）=(x20),由x20,得x—12一1.于是0⑵由（1）知函数为危）=ミe）=2，所以函数的值域为（0,2].（2021•广东珠海髙一月考）已知函数バス）满足ズx+1）的定义域是[〇,31）,则ズジ）的定义域是（）A.[1,32） B.[-1,30）C.[0,5） D.（-8,30]解析:选C'.ソ"+1）的定义域是[〇,31）,即0Wx<31,，lWx+l<32,Z.火x）的定义域是[1,32）,，バジ）有意义必须满足2°=1く2y32=25,.•.〇<x<5.12.（多选）下列说法正确的是（）A.函数/（x）=ラ在定义域上是减函数B.函数/（幻=2，ー*与x轴有且只有两个交点C.函数y=2M的最小值是1D.在同一坐标系中函数y=2メ与y=2i的图象关于y轴对称解析:选CD对于A,ズ助=丄在定义域上不具有单调性;,v..对于B,在同一坐标系中,四出y=2K与ぎ=メ的图象,有三个I15|交点,故函数/（x）=2*ーメ与x轴有三个交点,ー个负值,两个\1〇[正值;对于C,因为図20,所以2322°=1,所以函数ぎ=23 \51/的最小值是!,正确;对于D,在同一坐标系中，函数y=2x ,与y=2つ的图象关于y轴对称,正确.故选C、D. 01/i\|1-x\13.若函数+6的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是解析:作出函数g（x）=[チ）=[(，) '"*1，的图象如图所示.[21,x<l由图象可知0<g(x)Wl,则机vg(x)+か〈1+m,/n|l—x| "+机20,要使函数ド=仃丿 +m的图象与x轴有公共点,则jく〇解得一1くmvO.答案:[-1,0).已知函数凡¥)=ぴ+伙。>0,aWl).(1)若"r)的图象如图所示,求のb的值;(2)在(1)的条件下,作出g(x)=|/U)|的草图;(3)在(2)的条件下,若方程g(x)—〃2=0有一个实数根,写出"z的取值范围.解:(1)由图可得:ズ0)=1+ム=一2,且/(2)=/+ム=°,解得:。=小,b=(2)g(x)=仪尤)|图象如图所示:(3)若方程g(x)一加=0有一个实数根,则g(x)的图象与直线ぎ=m只有一个交点,

由(2)中函数图象可得m=0或かユ3..设ズ幻=3ゝg(x)=(g).(1)在同一平面直角坐标系中作出ZU),g(x)的图象;(2)计算大1)与g(—1),バn)与g(—n),ズm)与g(一6)的值,从中你能得到什么结论?解:(1)函数/(x),g(尤)的图象如图所示:ズ兀）=3",gズ兀）=3",g（一n）=g） =3":“「相ズm)=3両,g(-nz)=|j丿=3。从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.5、指数函数及其性质的应用(习题课).若函数ズx)=(l-2a尸在实数集R上是减函数，则实数。的取值范围是A.e+8C."り D(-1,I)解析:选B由已知,得〇<1—2a<1,解得0<a<),即实数a的取值范围是.已知a=，记,b=203,c=0.3°-2»则a,b,c三者的大小关系是( )A.b>c>a B.b>a>cC.a>b>c D.c>b>a解析:选Aa=^/03=0.3°-5.•.ソ(©=0.3X在R上单调递减,/.0.305<0.3°2<0.3°=>a<c<l.又ム=2。・3>2°=1,：.a<c<b,故选A..(多选)设函数/(x)=a-E(a>0,且。W1),若/(2)=4,则()A.ズー2)»-1) B.ズー1)次-2)C.大一2)次2) D,ズー4)43)解析:选AD由7(2)=屋2=4得,即/U)=g)国=2叫故ズー2)》(一1),ズ-2)=バ2),バー4)=バ4)次3),所以A、D正确..(多选)若バx)=3，+l,则()A.バx)在[-1,1]上单调递增y=3x+1与メ=(;了+1的图象关于y轴对称C.バx)的图象过点(0,1)D.バx)的值域为ロ,+«=)解析:选ABバx)=3，+l在R上单调递增,则A正确;y=3x+1与y=3-JC+1的图象关于y轴对称,则B正确;由バ0)=2,得バx)的图象过点(0,2),则C错误;由3》>0,可得バx)>l,则D错误.故选A、B.5.若函数バx)=/2xF(a>o,且。W1)满足ハ1)=：,则パx)的单调递减区间是()A.(一8,2] B.[2,+00)[-2,+°°) D.(一8,-2]解析:选B由ハ1)=1,得/=1,于是a=《,

/n|2x—4|因此危）=团令，=|2x—4］,所以//⑺=（g）为减函数.因为g（x）=|2x—4|在［2,+8）上单调递增,所以ズズ）的单调递减区间是［2,+8）•故选B.6.不等式23一次<0.53尸4的解集为.解析:原不等式可化为23ーム<24-3。因为函数y=2r是R上的增函数,所以3~2x<4—3x,解得x<l,则解集为図x<l}.答案:{小<1}1.函数y=3ふ的单调递减区间是.解析：设"=ラ,则y=3",因为〃=最在（一8,〇）和（〇,十8）上是减函数,且y=3"在R上是增函数,1所以函数y=3x的单调递减区间是（一8,〇）和（〇,+〇〇）.答案：（一8,〇）和（〇,+〇〇）.（2021•黑龙江大庆实验中学高ー月考）已知函数ズx）=b“'（其中a,b为常数,a>0,且aWl）的图象经过A（l,6）,以2,18）两点.若不等式（ダ+（牙ー后〇在XW（-8,口上恒成立,则实数”［的最大值为解析:由已知可得ba=6,解析:由已知可得ba=6,b/=18,。=3,b=2,则不等式住）+（；）ー在xG（—8,口上恒成立,设g（x）=（|）+（；）—m,显然函数g(x)=住)+e)ー加在(一8,1]上单调递减,21 7.•.g(x)2g(l)=w+5一加=ぷ一加,故％一〃z20,即〃，《不,.•.实数〃7的最大值为と答案號.已知函数於)=ぴ(a>0,且aWl)的图象经过点(2,4).(1)求a的值;⑵若寻+セか一し求ス的取值范围.解:⑴=")=炉(a>0,且aWl)的图象经过点Q,4),.•.02=4,又a>0,且。ナ1,・'4=2.(2)由(1)得。=2,由身+|<ズ「1,代入。=2,可得22x+i<23li,由指数函数的单调性可知2x+l<3x-l,解得x>2,即x的取值范围是(2,+°0)..设OWxく2,y=4x—[―3-2*+5,试求该函数的最值.解:令f=2"00W2,，lWfW4.则^=2^-|-3-2^+5=!?-3/+5.配方得y=；(L3)2+T，fG[l,4],.,.y=1(r-3)2+1,fG[l,3]上是减函数;tG[3,4]上是增函数，...当t=3时,ymin=2：当t=i时,ymax=2.故函数的最大值为],最小值为.若不等式2?+1く(｝了的解集是函数y=2X的定义域,则函数ぎ=2、

B・苗,2D.［2,B・苗,2D.［2,+00)解析:选B由ボ+1く即バ+lW—2x+4,解得一3Wx《l,所以函数y=2T的定义域为［-3,1］,由于函数y=2、在R上单调递增,故当x=-3时取得最小值d,当x=l时取得最大值2,所以函数的值域为1，2.故选B.12.已知a>0,设函数バ无）12.已知a>0,设函数バ无）=201夕+1+3209+1（xG［—a,a］）的最大值为AL最小值为N,那么"+N=( )B.2022A.B.2022C.2020D.C.2020解析:选Bズス）=2019v+l+2019-2016209+1解析:选Bズス）=2019v+l+2019-2016209+1=201920161+2019”•*«y(-x)=20192016 2016X2019-因此/(x)+バーx)( 1 ,2019'ゝ=4038-2016し+2019x+2019-+J=4038-2016=2022.又/(x)在［一a,a］上是增函数,M+N=J(a)+;(-a)=2022,故选B./n-M+i.函数y=(う 的单调递增区间为;奇偶性为(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”).解析:设〃=—|x|+1.则ぎ=（ス）.易知〃=—|x|+1的单调递减区间为［〇,+°°）,是减函数,

・••尸ザ・的单调递增区间为・••尸ザ・的单调递增区间为［0,+°°).A)是偶函数.答案:［0,+8)偶函数.已知定义在R上的偶函数T(x)满足:当x20时,/(x)=2*+1川)=2.(1)求实数。的值;(2)用定义法证明大幻在(0,+8)上是增函数;(3)求函数んO在［一1,2］上的值域.解:(1)由题意得ズ1)=2+5=ラ,'。=1.(2)证明:由(1)知。=1,，段)=2叶/任取xi,X2G(0,+°o),且处"，回)一段2)=1ハ|+エ丿一戸2+エ=(2xi回)一段2)=1ハ|+エ丿一戸2+エ2xi•2x2(2xi+X2~~1)ム2)2xi+X2 .0<xi<X2, 1<2xi<2x2,2xi+x2>1,V/Ul)-/(X2)<O,•,.於1)ホX2),.•JU)在(0,+8)上是增函数.17 5(3)易得バ0)=2,バ2)=ス，ハー1)=ラ,於)在［T,0］上为减函数,在［0,2］上为增函数,「げ.V危)的值域为［2,彳,15.已知函数兀0=2三3(1)求ズ0)—2ラX啦X2つ的值;(2)若函数刀(x)=於)+g(x),且h(x),g(x)满足下列条件：①人(x)为偶函数;②〃(x)22且ヨR使得〃(x)=2；③g(x)>0且g(x)恒过(0,1)点.写出ー个符合题意的函数g(x),并说明理由.3 3 1 31_解:(1)由题意知:/0)-22X^/2X2-2=20-22X22X2-2=l-22+2~2=1—2°=0.(2)满足题意的函数g(x)=2*.理由如下:①因为/1(イ)=2，+2ー。所以人(一幻=21+2-(ーめ=2-*+2'=/1(イ)，所以//(ズ)=2，+2七为偶函数.②h(x)=2ゝ+2七22マ2、X2二=2笹)=2而=2,当且仅当2ゝ=2ノ,即x=0时等号成立,③g(x)=2»〇,g(x)恒过(0,1)点.6、对数的概念.(多选)下列指数式与对数式互化正确的有()e°=l与In1=01Iog39=2与应=3_1J 1 ]83二,与log85=_?Iog77=l与7i=7解析:选ACDlog39=2化为指数式为32=9,故B错误,A、C、D正确..方程210gM=(的解是()A -! ロー亚A.x一0 B.x一3D.x=9C.x=D.x=9解析:选AV21og3X=2-2,/.log3X=-2,3,在い=log3a-1(3—2〃)中,实数。的取值范围是( )'J,加你+8)(3a—1>0,解析:选B要使式子。=log3a-i(3—2a)有意义,则<3a—1W1,解得、3—2a>0,TOC\o"1-5"\h\z”23 ,或ヌ<〃く/,故选B.4.若10g3(k)g2X)=l,则X2—( )A3 B.士。壷 »志解析:选CVlog3(10g2X)=l,/.10g2X=3,.・ベ=23=8,则X—ラ=キ=志.5.若10g32=x,则3，+3的值为( )A.6 B.3C.| D.；解析:选A由log32=x得3*=2,因此タ=(3ザ=4,所以3*+ジ=2+4=6,故选A..已知函数y=〃ー2+3(a>o且qWi)的图象恒过定点p,点尸在黑函数ぎ=バx)的图象上,贝(HogV(3)=.解析:函数ぎ=がーユ+3中,令イ—2=0,解得x=2,此时y=1+3=4,所以定点尸(2,4).设默函数y=Kx)=/(aWO),则2°=4,解得a=2,所以;(处二%2,所以7(3)=32=9,所以log矶3)=log39=2.答案:2.已知log”=m,loga3=〃,贝リイせ2"等于.解析:Vlog«^=nz,log,3=〃,.'.am=^,a"=3.1 Q故am+2n=am.(an')2=2^-32=2-答案：2.使方程(lgx)2—lgx=0的イ的值为.解析：由lgx(lgx-1)=0得Igx=0或lgx=l,即x=l或x=10.答案：1或10.求下列各式中的x的值:(l)logr27=2；2(2)logtr=T；(3)log5(log2X)=0；(4)x=log27g.3 3 2解:(1)由log<27=7,得x2=27,.'.x=273=3~=9.2 --(2)由log2%=—得23=x,.__!__茲•»X一一0,謳(3)由log5(log2X)=0,得log2X=1.，え=2.(4)由X=log2吋,得27』看,即33a=3-2,则3x=-2,,ー2..x 3.10.⑴证明:对数恒等式alog”N=Ma>0，且。ナ1，№>0);ハ、ー1+logo.5 3+log23 2—log39⑵求5 4和2 +3 的值.解:(1)证明:由a〈=N得x=logaN,把后者代入前者得alog“N=N.rn-l+logo.5"ヽー1/j\logi4⑵0 4=团・は,2=2X4=8.TOC\o"1-5"\h\z32 923+log23+32-log39=23X210g23+8X3+§=25.3 &.(2021•江苏海安高ー月考)设x=log32,则32ス_；2X的值为( )A21 _ 21Aib B--W「17 へ13し.]0 リ.]0解析:选AVx=log32,：.3X=2,32x=4,33-v=8.33x-3-3x8-8 21„,,32t-3-2x="—T=TU,故选A'4ーn.已知人2叶1)=テ则バ4)=( )A，3log25 B，3log23「2 4c，3 d，3解析:选B令2*+1=4,得イ=log23,所以7(4)=glog23.w.若loglx=",logly=m+2,则ス的值为 .2 4 》门丫麓 、nゝ2机解析:,Ilogp=〃2,・ン0ノ=x,x2=^2j.2

“丫"+2 加+4Vlog_[y=m+2,：.\^） =y,y=\^j ^4（1ゝ2加x2⑸ 加一（2机+4） （1ヽー4,・父小2/+4=G丿 =し丿=16答案:16314.已知log2（log3（logM））=0,且log4（log2y）=1.求屮•ジ的值.解:VIog2（log3（log4x））=0,/.Iog3（log4x）=1,log4X=3,...x=43=64.由Iog4（log2y）=1,知log2y=4,.,.y=24=16.3 3因此小,y4=V64X164=8X8=64.15.已知log疝=logwz（a>0,且aWl；b>0,且bWl）.试探究a与b的关系,并给出证明.解:a=わ或a=1.证明如下:テ殳}Ogab=\0ghCl=k,则ハ=か,a=bk,所以い=（が）"=儿2,因为な>0,且/?W1,所以ピ=1,即ん=±1.当k=—!时,ラ=1;当た=1时,a=b.所以a=b或a=].7、对数的运算1.化简ラlog612—210g6啦的结果为（）A.672C.log6-\/3A.672C.log6-\/3D.2解析:选C原式=log6，H—Iog62=k>g6毛-=log6小..已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的二次方程メー2x+lg（/一け）-21ga+1=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是（）A.锐角三角形 B,直角三角形C.等边三角形 D.钝角三角形解析:选B由题意知/=0,即（一2）2—4[lg（tr—tr）—21ga+1]=0,化简得21gq-lglc2ーわ2）=0,所以!gズ二戸=0,所以千=1，所以ノ+〃=/，故△A3C是直角三角形..1g讳ー23g+lg間等于（）A.Ig2 B.Ig3C.Ig4 D.Ig5解析:选A1gnー21g§+lgプ=怆慌.所X譜=lg2.故选A.4.计算(Iog32+log23)2ー體!ー器!的值为()A.log?6 B.Iog36TOC\o"1-5"\h\zC.2 D.1解析:选C原式=(log32)2+21og32Xlog23+(log23)2—(log32)2—(Iog23)2=2.5.已知Iga,Igb是方程ル-4x+l=0的两个根,则(1g3的值是( )A.1 B.2C.3 D.4解析:选B由题意得lga+lgb=2,1ga•lg6=1,则(1点)=(lglgb)2=(lga+lgb)2—41ga•1g/?=22—4x1=2..若1ogabTog3a=4,则b的值为 .解析:logめ•log3a一]g〇.]g3一]g3-4,所以1gわ=41g3=lg3セ所以い=34=81.答案:81.化简:k)g3；+log3=+k>g34H Hog3所=.解析:原式=log3(jX§XwX…xW=log3时=一4.答案：一4.已知2，=3,logc=y,则x+2y的值为.解析:由2*=3得x=log23,c,8

8 2I°823x+2y=log23+210g4§=log23 —~^=log23+(3log22-log23)=3.答案：3_3.(2021•安徽安庆髙一月考)(1)计算:log23—log《ー(為4；2(2)已知电5=。,怆7=ん试用a,b表示log2849.ヽー3 3解:(l)log23—loglg—(靑)^=log23+(log28—Iog23)—164=3—8=-5.2ei一整49 21g7 辿 2b(2)log2849-lg28~21g2+lg7~2(l-lg5)+h~2~2a+b,.(2021•河北唐山一中高一月考)已知log“3=m,log“2=〃(a>0,且aWl).(1)求グ"十ユ"的值;(2)若04<1,x+x1=a,且m+〃=log32+1,求x2—xユ的值.解:(1)由log“3=m,loga2=〃得メ"=3,グ1=2,因此ク"+2"=グ"・/"=3*22=12.(2)・・・〃z+〃=k)g32+1, log«3+log«2=log6/6=log?6,即a=3,因此ズ+エ「=3.于是(x-スーり2=(ス+スー1)2—4=5,由0<x<l知スーxヒ0,从而x-%-1=_yj~5,Ax2-x-2=(x-x-1)(x+x-,)=-3^/5.

.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为108。.则下列各数中与那最接近的是（参考数据:1g3-0.48)( )A.1033 B.1053C.IO73 D.IO93解析:选D由已知得,lg^=lgM-|gN7361Xlg3—80X|g107361X0.48-80=93.28=lg1〇9328.故与日最接近的是1〇93..（多选）实数a,万满足2。=5〃=10,则下列关系不正确的有（）Aa+Aa+b=lDa+b=221__2__ 1ab~~log210+k)g510解析:选BCDa=log210,b=log510,5+3=試而+詰而=怆21__2__ 1ab~~log210+k)g510=lg4+lg5=lg20*2,故B不正确.卄ア氤+前而=怆2+他25=lg5。,故。、D不正确•故选B、C、D..已知a>0,の〇,且a+b=20,则lga+lgb的最大值为.解析:•.7>（）,b>0,a+b=20,：.20=a+b^2y[ab,当且仅当a=b=10时,等号成立,即abWlOO,而lga+lgb=lgab〈lg100=2,当且仅当a=6=10时,等号成立，故lga+lg。的最大值为2.答案:2.在不考虑空气阻カ的情况下,火箭的最大速度。（单位:m/s）和燃料的质量用（单位:kg）,火箭（除燃料外）的质量6（单位:kg）満足ビ=[1+屹]（e为自然对数的底数,In3ル1.099）.当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量,〃的两倍时,求火箭的最大速度（单位:m/s）.2000解:因为0=11111+加）=2000-111^1+^）,所以0=2OOO4n372000X1.099=2198（m/s）.故当燃料质量M为火箭质量n/的两倍时,火箭的最大速度为2198m/s..已知ス,y,z为正数,且3'=4^=6Z.⑴求使2x=py成立的p的值;⑵求证:于ー解:⑴设3*=4、'=6;:=&（显然た>0且たエ1）,则x=log3た,y=log4&,z=log6%,由2x=py得210g3%=plog4Z=p•器!，因为log3えホ〇,所以〃=41og32.（2）证明:1ー康一康=1。跳6—log«3=log立=タ。8心=康=ま.8、对数函数的概念.函数段）=由一x+lg（x+l）的定义域为（）A.[-1,3） B.（-1,3）C.（-1,3] D.[一1,3]3—x20,解析：选C根据题意,得イ（解得一14く3,[x+l>0,.•.函数ズx）的定义域为（-1,3]..（多选）下列函数表达式中,是对数函数的有（ ）A.y=log*x B.y=logy]zxC.y=1。8涼 D.y=log2（x+l）解析：选AB判断ー个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y=k）g“x”的形式，A、B正确.3.下列函数中,与函数y=x相等的是（）A.y=（y[x）2 B.C.y=21og2% D.y=k）g22”解析:选D因为y=log22セ的定义域为R,且根据对数恒等式知y=x.（2021・湖北荆门高ー月考）函数ズx）=（/+。-5>log,ス为对数函数,则イ，等于（）A.3 B.-3C.-log?6 D.—logs8解析:选B••・函数/（x）=（屋+。ー5）k）gメ为对数函数,ー5=1,・・.く。>0, 解得〃=2, =log2X,、。ナ1,••./ミ）=log2、=-3.故选B.TOC\o"1-5"\h\z5.函数段）=47-lgイ的定义域为（0,10],则实数。的值为（ ）A.0 B.10C.1 D.正解析:选C由已知,得a-lgx20的解集为（0,10],由a-lgx20,得IgxWa,又当04く10时,IgxWl,所以a=l.故选C..若/（x）=log«x+（a2—4a—5）是对数函数,则。=.解析:由对数函数的定义可知,{a2—4a—5=0,a>0,a乎1,解得a=5.答案:5.已知函数Z（无）=10g3X,则方程[/（x）]2=2—log9（3x）的解集是.解析:由已知得（10g3X）2=2—log9（3x）,（log犹）2=2—；iog3（3x）=2—1（log33+log3X）,（log3X）2+|log3X—1=0,令r=log3X,则方程可化为产+キ一う=0,解得r=l或•=—す,•'•x=3或f：.方程ホ尤)]2=2—Iog9(3x)的解集是13,專;答案:’3,明.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为x万元时,奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=21ogバー2,某业务员要得到5万元奖励,则他的销售额应为万元.解析:由题意得5=21ogイー2,即7=logiv,得x=l28.答案:128.求下列函数的定义域:ハ、 五一4⑴klg(x+3);(2)尸山エ+ln(x+1)-pc2—420,解:(1)要使函数有意义,需ヤ+3〉0,し+3W1,prW—2或工22,即，x>—3J 即一3<x<—2或スリ2,lx*-2,故所求函数的定义域为(-3,-2)U[2,+8).2—x>0, fx<2,(2)要使函数有意义,需丄।ハ即イ।[x+l>0,lx>—1,—l<x<2.故所求函数的定义域为(一1,2)..若函数y=k>g«(x+a)(a>0,且aWl)的图象过点(-1,0).⑴求。的值;（2）求函数的定义域.解:（1）将（一1,0）代入y=log“（x+a）（a>0,且。ナ1）中,有0=log"（—1+a）,则ーl+a=l,所以a=2.（2）由（1）知y=log2（x+2）,由イ+2>0,解得ス>一2,所以函数的定义域为いな>一2}..函数y=/—1的定义域为（ ）A.(0,1)U(1,2)B.[0,2)C.(0,2]D.[0,1)U(1,2)1r2-%>o, 1ド<2,解析:选D由题意得イxさ0, 解得〈1x20,1[也ー1W0,しナ1,所以函数的定义域为［0,1）U（1,2）..满足’‘对定义域内任意实数x,y,都有/（り）=/（幻+パ）”的函数“x）可以是（）A.ズ»=メ B.J（x）=2xc./（x）=log2X D.Xx）=elnj解析:选C二・对数运算律中有log"〃+log“N=log“（MM,.,・危）=logな满足“对定义域内任意实数x,y,都有汽ワ）=/（x）十大ガ..已知/（x）为对数函数,イタ=一2,则ズわ=,〇=•解析:设ズx）=logar（a>0,且aWl）,则.6）=logj=-2,得。=啦,所以共x）=logy「x,所以イ;）=1〇ぎ近（=_4.答案：logVみ—4.近年来,我国大部分地区遭遇雾霾天气,给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现エ业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此,某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的汽染物数量产(单位:mg/L)与过滤时间/(单位:h)间的关系为尸⑺=R)eー气Po,た均为非零常数,e为自然对数的底数),其中Po为r=0时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数た的值;(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.(精确到lh,参考数据:In0.2ルー1.61,ln0.3ルー1.20,ln0.4ルー0.92,ln0.5ルー0.69,ln0.9ルー0.11)解:(1)由已知得,当・=0时,P=Po：当t=5时,P=9O%Po.于是有9O%Po=Poe-5\解得k=-1ln0.9(或んル0.022).(2)由(1)知P=Poe(gn0.9),当P=4O%Po时,有〇.4po=Poe(3n0.9),々…In0.4 -0.92 4.60ハ解得/=-； ^-j =7777^42.|ln0.91x(-0.11)UU故污染物减少到40%至少需要42h..(2021•山东菊•泽髙一月考)设全集U=R,函数/(イ)=ぐーa+lg(a+3—x)的定义域为集合A，集合B=卜1く2スく321.命题若,则ACBW。.从①片一5； ③a=2,这三个条件中选择ー个条件补充到上面的命题P中,使命题P为真命题,说明理由,并求AA([3).注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解：要使函数兀0有意义,只需｛xー。ユ0,。+3—x>0,解得aWx<a+3,即A=[a,a+3).由(く2Xく32,得一24W5,即B=[-2,5].选择第①个条件:当。=一5时,A=[-5,-2),

：.ACiB=0t不满足条件.选择第②个条件:当a=~3时,A=[—3,0),：.AQB=[-2,0),满足条件.•.・08=(一8,-2)U(5,+0°),.,.An(Ci/B)=[-3,-2).选择第③个条件:当a=2时,A=[2,5),：.AQB=[2,5),满足条件.,••[田=(-8,-2)U(5,+8),.".AA(C(/fi)=0.9、对数函数的图象和性质.函数y=(/与y=logwr互为反函数,则。与b的关系是( )A.ab=A.ab=1C.a=bD.a—b=1解析:选A由函数y=(チ)与y=k)gゼ互为反函数得ラ=b,化简得姉=1,故选A..(多选涵数/(x)=log“(x+2)(0<a<l)的图象过( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:选BCD作出函数/(x)=loga(x+2)(0<a<l)的大致图象如图所示,则函数/U)的图象过第二、三、四象限..函数於）=証要式（0<。<1）的图象大致为（）解析:选B在log“x中イ>0,/.y=y-;logax=log（ix（0<a<1）»故选B..已知a=log23,b=log2e,c=ln2,则a,b,c的大小关系是（ ）A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b解析:选Aa=log23>/>=log2e>log22=1,c=ln2<lne=1,'.a,h,c的大小关系为a>b>c..已知。>1,b<—\,则函数y=log0（x—b）的图象不经过（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:选D .,.函数y=log«x的图象如图所示,函数y=loga（x—b）（b〈一1）的图象就是把函数y=logイ的图象向左平移族|（族|>1）个单位长度,如图.由图可知函数y=log“（x—6）的图象不经过第四象限..比较大小:（l）10g22 Iog2小;（2）log8n10gl.8.解析:⑴因为函数y=logu在(0,+8)上是增函数,且2>币,所以10g22>10g2小.⑵因为函数y=log統为增函数,且n<8,所以Iog8n<log88=l.同理1=lognn<10gti8,所以log8n<logn8.答案:(1)>(2)<.若函数y=loga(x+シ)+c(a>0,且a#l)的图象恒过定点(3,2),则实数んc的值分别为.解析:..,函数的图象恒过定点(3,2),...将(3,2)代入y=log“(x+レ)+c,得2=log“(3+b)+c.又当a>0,且aWl时,log“l=0恒成立,.,.c=2,3+b=l,'.b——2,c=2.答案:一2,2.不等式log丄(5+x)<log丄(1—x)的解集为.3 3解析:因为函数y=lo红a,在(0,+8)上是减函数,3所以｛5+x>0,1—x>0,5+x>1—x,解得一2VxVI.答案:(一2,1).比较下列各组数的大小:(l)logo.i3与logo.in；(2)log45与loge5；(3)k)ga(a+2)与log。伍+3)(a>0且aWl).解:(1),..函数y=logo.ix是减函数,n>3,.".logo.i3>logo.in.(2),.,函数y=logo和y=log6X都是增函数,二Iog45>log44=l,Iog65vlog66=1..,.Iog45>log65.(3)"."a+2<a+3,故①当a>!时，loga(a+2)<log0(a+3);②当0<a<l时,loga(tz+2)>loga(«+3).

.已知ズX)=[Og3X].利用函数图象求出a的取值范围.(1)画出这个函数的图象;⑵当0<a<2时ズの次2),解:(利用函数图象求出a的取值范围.(2)令加)=火2),即|log3a冃1咱2|,解得a=ラ或a=2.从图象可知,当0sg时,满足バa)42),所以a的取值范围是(0,み.已知a,わ均为不等于1的正数,且满足lga+lg6=0,则函数ズx)=a*与函数g(x)=—logbx的图象可能是(解析:选B法一:'.'Iga+lgわ=0,わ=L：g(尤)=—logけ的定义域是(0,+°°),.,•排除A.若a>l,则〇<b<l,此时/(x)=が是增函数,g(x)=—logfex是增函数:若0<a<l,则わ>l,此时/(x)=a，是减函数,g(x)=-log/式是减函数.结合图象知选B.法二:'.,Iga+lgb=0,わ=1,即わ=!，Ag(x)=—logU=log((x,a与g（x）互为反函数,图象关于ぎ=ス对称,故选B..已知a=2—I，b=log2もc=log武,则（）- 2A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>h解析:选DV0<a=2—^<2°=1,Z>=log2^<log21=0,<?=logK>logll=2 21,，c>a>b.故选D..已知实数a,万满足等式log2a=log3〃,给出下列五个关系式:①a>b>l；②。>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a=b.其中可能成立的关系式是.（填序号）解析：实数a,。满足等式Iog2a=log3b,即y=log2%在x=a处的函数值和y=logsx在x=ル处的函数值相等，当a=〃=1时,log2a=log3b=0,此时⑤成立;令log2a=log3b=1,可得。=2,b=3>,由此知②成立,①不成立;令log2a=log3b=—1,可得。=[,み=:,由此知④成立，③不成立.综上可知,可能成立的关系式为②④⑤.答案:②④⑤.（2020•安徽淮北第一中学髙一月考）已知函数/（x）=log“（びー1）（。>0,且。エ1）.（1）当。=;时,求函数yU）的定义域;（2）当。>1时，求关于x的不等式/（x）勺（1）的解集.解:⑴当。=[寸,危）=log丄俵ー1）,故と一1>0,解得x<0,2故函数/（X）的定义域为（-8,0）.（2）由题意知,於）=loga（びー1）（。>1）,其定义域为（0,4-0°）,易知バX）为（0,+8）上的增函数,x>0,由於）勺U）得｛ .•.不等式的解集为（0,1）.は<1,.（1）函数y=log2（尤一1）的图象是由y=log”的图象如何变化得到的?

（2）如图,在直角坐标系中作出y=gg2（x—l）|的图象（不要求写作法）;（3）设函数y;丫与函数y=|log2（（3）设函数yxi,X2,设Af=(xi—2)(x2—2),请判断M的符号.4321一4-3-2-1〇~-1-2-3-4解:（1）函数y=log2（x—1）的图象是由y=logな的图象向右平移1个单位得到的.（2）在直角坐标系中作出y=|log2（x—1）|的图象,如图所示.（3）不妨设ス］<¥2,作出的图象,如图,由图知141<2,2<X2<3.AM=（XI-2）（X2-2）<o,故"的符号为负.10、对数函数的图象和性质的应用（习题课）.已知函数y=log2（/—2ほ+6的值域为R,则た的取值范围是（ ）A.0<Rl B.04レ1C,女W0或ん21 D.た=0或んふ1解析:选C令t=xi—2kx+k,由y=log2a2—2ほ+攵）的值域为R,得函数/=メー2ほ+え的图象一定恒与x轴有交点,所以［=4ズー4え》〇,即んWO或ス》1..（多选）设集合A={x|y=lgx},B={y|y=lgx},则下列关系中不正确的有（）A.AUB=B B.ADB=0C.A=B D.A£B解析:选BC由题意知集合A={x|x>0},8={y|yCR},所以.已知函数/（x）=lg（f+1）,则（）A.バx）是偶函数B,ズ幻是奇函数C.人x）是R上的增函数D,ズス）是R上的减函数解析:选A因为大ーx）=lg［（ース）2+1］=怆（ぺ+1）=ズ幻,且定义域为R,关于原点对称,所以バ幻是偶函数.故选a.[a,a》ん.(2021•浙江杭州西湖区高ー月考)若定义运算y(。鲂)=イ 则函数[b,a<b,/Uog2(l+x)®log2(l—x))的值域是( )A.(-1,1) B.[0,1)C.[0,+8) D.[0,1][a,a》い,解析:选B'：J(a®b)=\, ,[b,a<b,[log2(1+x),O<x<l,.,.y=Xlog2(H-x)®log2(l-x))=iUog2(Lx),—l<r<0.当OWx<l时,函数y=log2(l+x),因为y=log2(l+x)在［0,1)上为增函数,所以ye［〇,1).当一1a<0时,函数)，=log2(1ー尤),因为y=log2(l一幻在(-1,0)上为减函数,所以yW(O,1).综上可得ye［0,1),所以函数/(log2(l+x)®log2(l—X))的值域为［〇,1),故选B..函数ズX)=1ogad的单调递增区间是()3A.(0,| B.(0,1］C.(0J+8) D.［1,+00)解析:选Dズ幻的图象如图所示,由图象可知单调递增区间为［1,+8)..如果函数式x)=(3—a尸与g(x)=io財x的增减性相同,则实数a的取值范围是.解析:若/(尤)，g(x)均为增函数,贝” 即31,(0<3—a<\,若ズx),g(x)均为减函数,则， 无解,故l<a<2.lO<a<l.答案:(1,2).函数y=logo.3(3—2x)在其定义域内是 函数(填“增”或“减”).解析:由3—2x>0,解得.设f=3—2x,xG(—8,I").因为函数y=logo,3f是减函数,且函数f=3—2r是减函数,所以函数y=logo.3(3—2x)在(一8,号上是增函数.答案：增.已知函数/(x)=|Igx|+2,若实数a,わ满足6>a>0,且バの=儿?),则。+2b的取值范围是ー .解析:由/(x)的图象可知,0<a<\<b,斗…ゝメ7®=llgzl+2()\ai~~b x又ズa)=yS),因此ぬ。|=|怆",于是1g。=-1gん则6=%,所以。+2占=。+2丁を2设g(a)=a+^(O<a<1).?因为g(〃)在(0,1)上为减函数,所以g(〃)>g(l)=3,即。+/>3,所以。+2〃的取值范围是(3,+8).答案:(3,+°°).设函数/(x)=lg烏"(aGR)，且/(1)=0.(1)求。的值;(2)判断/U)在区间(0,+8)上的单调性,并用单调性的定义证明.解:(1)函数K0=lg為"(aCR),且/(1)=0,则/(i)=ig?=〇.则ヨ=1,解得a=2.(2)/(x)=lgヱヌ在区间(0,+8)上单调递减.,2 2 X2+1证明:1殳041<X2,/(Xl)-/(X2)=lgホ［-1g二石"=lgm=lg(X2+l)-lg(Xl+l),因为0<Xl<X2,所以lg(X2+l)>lg(Xl+1),即y(X1)》(X2),即函数y(x)在(0,+8)上单调递减..已知函数/(X)=log2X.(1)若/(a)》(2),求。的取值范围;(2)求y=log2(2x-l)在x£［2,14］上的最值.解:函数/(X)=k)g2X的图象如图所示.

,.ズX)=logガ为增函数,ズ67)次2),，log2a>log22.：.a>2t即a的取值范围是(2,+°°).⑵；2くxW14,二36—1く27..,.k)g23Wlog2(2x-l)Wlog227..,・函数/W=log2(2x-1)在xG[2,14]上的最小值为log23,最大值为log227.11.若函数/11.若函数/(x)=(3a—1)4+4a,logd,工21x<l,对任意スIWX2,都有“y<6则实数〇的取值范围是(A.(0,1)D.解析:选D由条件知,分段函数;(幻在R上单调递减,I3a—1<0,则｛0<a<l,I(3a-1)Xl+4a，log“l,(1a<3,所以<0<a<l,所以ラ故选D.一日,12.(多选)已知函数yU)=(10g2X)2—logd2—3,则下列说法正确的是()a.X4)=-3B.函数y=/(x)的图象与x轴有两个交点C.函数y=/(x)的最小值为ー4D.函数y=/(x)的最大值为4解析:选ABCA正确,ズ4)=(log24)2—Iog242—3=-3;B正确,令/(x)=0,得(logix+l)(k>g2X—3)=0,解得x=5或x=8,即ズx)的图象与x轴有两个交点;C正确,因为ズx)=(logなー1)2—4(x>0),所以当logな=1,即x=2时,ズ功取最小值ー4：D错误,バx)没有最大值..已知函数y=log"(2—ox)在［0,1］上是减函数,则实数a的取值范围是解析:令〃=2—ox,则y=k>g”,因为a>0,所以〃=2—or递减,由题意知y=log“〃在［〇,1］内递增,所以a>l.又〃=2—"在［〇,1］上恒大于〇,所以2—。>0,即。<2,综上，lVaV2.答案:(1，2).已知a>0,且log“3>log”2,若函数/(x)=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为1.(1)求a的值;TOC\o"1-5"\h\z(2)解不等式log丄(x—l)>log丄(a-x)；3 3(3)求函数g(x)=|logat—1啲单调区间.解:(1)*.*Iog«3>loga2, a>1,...y=logax在［a,2a］上为增函数，log«(2a)—logaii=log«2=1,.,.a=2.［x-1<2-x9 3(2)依题意可知 解得14号,［x-1>0, 2.•.不等式的解集为(1,I)(3)g(x)=|log2X-1|,•*»当ス=2时,g(x)=0,［l-log2X,0<xく2,则g(x)=1 .y...函数g(x)在(0,2］上为减函数,在(2,+8)上为增函数，；.g(x)的单调递减区间为(0,2］,单调递增区间为(2,+°°)..某学校为了加强学生数学核心素养的培养,锻炼学生自主探究学习的能1—X力,他们以函数/U)=lg不为基本素材,研究该函数的