7.6 空间向量及其运算doc-高中数学

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7.6空间向量及其运算

一、选择题

1．对于空间三个向量a、b、a＋2b，它们一定是()

A．共线向量B．共面向量C．不共线向量D．不共面向量

答案：B

2．若{a、b、c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()

A．a，a＋b，a－bB．b，a＋b，a－b

C．c，a＋b，a－bD．a＋b，a－b，a＋2b

解析：若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、

c为共面向量，此与{a、b、c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空

间向量的一组基底．

答案：C

3．P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则

等于()

A．B．3C．6D．0

答案：C

4．以下四个命题中正确的是()

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a、b、c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组

基底

C．△ABC为直角三角形的充要条件是＝0

D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析：若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b

＋(λ＋μ)c，λ、μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝

eq\f(λ－1,1－μ)

b＋

eq\f(λ＋μ,1－μ)

c，则a、b、c为共

面向量，此与{a、b、c}为空间向量基底矛盾．

答案：B

二、填空题

5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．

①；②；

③；④；

解析：∵，∴，则、、为共面向量，

即M、A、B、C四点共面．

答案：③

6．已知e1、e2、e3为不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2＋e3，c＝e1＋e2－e3，

d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝xa＋yb＋zc，则x、y、z分别为______________．

解析：由d＝xa＋yb＋zc得e1＋2e2＋3e3＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x＋y－z)e3，

∴

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝1，,x－y＋z＝2，,x＋y－z＝3，))

解得：

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2)，,z＝－1.))

答案：

eq\f(5,2)

，－

eq\f(1,2)

，－1

7．下列命题中，正确的命题个数为________．

①；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a与b共面，

则a与b所在的直线在同一平面内；④若，则P、A、B三点共线．

答案：1

三、解答题

8．证明三个向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．

证明：若e1、e2、e3共面，显然a、b、c共面；若e1、e2、e3不共面，设c＝λa＋μb，

即－3e1＋12e2＋11e3＝λ(－e1＋3e2＋2e3)＋μ(4e1－6e2＋2e3)，

整理得－3e1＋12e2＋11e3＝(4μ－λ)e1＋(3λ－6μ)e2＋(2λ＋2μ)e3，

由空间向量基本定理可知

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4μ－λ＝－3，,3λ－6μ＝12，,2λ＋2μ＝11，))

解得

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝5，,μ＝\f(1,2)，))

即c＝5a＋

eq\f(1,2)

b，则三个向量共面．

9．求证：空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等．

证明：设＝a，＝b，＝c，充分性证明：则＝a＋b－c.

根据已知条件：a2＋(a＋b－c)2＝b2＋c2，整理得：a2＋a·b－a·c－b·c＝0，

即(a＋b)·(a－c)＝0，因此AC⊥BD.

必要性证明：∵(a＋b)·(a－c)＝0，∴a2＋a·b－a·c－b·c＝0.

即a2＋(a＋b－c)2＝b2＋c2，因此.

10．如右图，在空间四边形SABC中，AC、BS为其对角线，O为△ABC的重心，试

证：

(1)；(2)．

证明：(1)，①

，②

，③

①＋②＋③得.

(2)，④

，⑤

，⑥

由(1)得：.

④＋⑤＋⑥得3即SO＝

eq\f(1,3)

()．

1．已知向量{a，b，c}是空间的一组基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基底，

一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，求在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标．

解答：设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x,y,z)，则a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－

b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∴

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝2，,z＝3，))

解得

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(1,2)，,z＝3.))

故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(

eq\f(3,2)

，－

eq\f(1,2)

，3)．

2．如右图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM

上一点，且GM∶GA＝1∶3.

求证：B、G、N三点共线．

证明：设＝a，＝b，＝c，则＝－a＋

eq\f(1,4