大学物理 上册(第五版)重点总结归纳及试题详解 第一章 质点运动学

第一章 质点运动学一、基本要求变化的物理量。能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和加速度。能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向和法向加速度。理解伽利略坐标变换和速度变换。二、基本内容位置矢量（简称位矢）位置矢量，表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r表示。r的端点表示任意时刻质点的空间位置。r同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。位矢是描述质点运动状态的物理量之一。（1）rrt（2）相rr形式可以是不相同的。它表示了r（3）r为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。在直角坐标系Oxyz中rxiyjzkx2y2z2x2y2z2cosxr,cosyr,cosr质点的运动方程为 rrxiyjzk （矢量式）xxt或y （标量式。zzt位移x2y2z2rrx2y2z2注意（）r与r（2）rss表示t~tt时间内质点通过的路程，是标量，只有质点在直线直进时两者的大小相等或当t0时，s。速度vdr，是质点位置矢量对时间的变化率。dt在直角坐标系中vdrdxidyjdzkviv

jvkvvv

dt dt dt dxdx2 dy2 dz2 dt dt dtv2v2v2x y z

x y zvv0v0v沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方。注意（1）瞬时性：质点在运动中的任一时刻的速度是不同的（2）矢量性：速度为矢量，具有大小、方向，求解速度应同时求得其大小和方向（3）相对性：运动4）叠加性：因为运动是可叠加的，所以描述运动状态的物理量速度drdt5）drrdrdrdtdt dt dt加速度advdt化。不论速度的大小变化，还是速度方向的变化，都会产生加速度。加速度也为矢量。在直角坐标中 aaiax y

jakz其中，a

dvx

d2x，

dvy

d2y，

dvz

d2z

a2a2a2x y za2a2a2x y zx dt dt2

y dt dt

z dt dt2在自然坐标系中

aanatn t其中，a

v2，adva aaa与切向的夹角arctana2 2 nan t dt n t ata与va与va方向总是指向曲线凹的一侧。圆周运动的角速度、角加速度角速度 ddt角加速度 dddt dt2角量与线量的关系： v，at

R，an

R2伽利略速度变换vvu其中v速度，称为牵连速度。三、习题选解Pr2i6jP点到Q的位移r4i2j。求从原点到Q点的位置矢量，并作图表示。解： 由位移定义 rrrQ P

设Q点坐标为(x,y)则 6jx2iy6j而 rxiyjxx24显然 yy6

x2y4故 rxiyj2i4j 如图所示。 题1-1图Qxx2t3（x以mt以s计。1质点在s末的速度和加速度（2质点在1.5s（3）第1s末到第3s末时间内的位移和路程。dx dv解（1） v将t3s代入上两式分别得

2，a 6dt dtv9ms1，a12ms2将t1.5sva表达式分别得v6t3t2t63t2.25ms1a66t3ms2a与v反向，质点作减速运动。位移 x13

x3x12m由v6t20 得：t0，t2s，即t2s时质点瞬时静止，其后反向1 2运动。故路程 x13

x2x1x2x36m一质点在Oxyxy192t2SI（x，y以mt以s计（1）（2）求t时刻质点的位置矢量，（3）什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？（4）质点离原点最近？求这一距离。解：（1）由x2t,y192t2消去t得轨道方程为219x219x2 (0)2y x 2（2）rtxtiytj2ti192t2j而 vdx2 vx dt y

dy4tdt故 vvivx y

j2i4tj（3）rv时 则 rv0 即xiyjivx y

jxvx

yvy

2t2192t24t04t1

192t

2t218

0得 t0,t1 2

3s,3

3s舍去x2y2(t)x2y2(t)219t22dr 取极小值，由dt

0 2t2180得 t0,t1 2

3s, t3

3s（舍去）d2rdtd2rdt2t1

0，且r36.08mdd2rdt23故t3s时质点离原点距离最近，其距离为6.08m。a6i4jSI。t0时，质点速度为零，位置矢量r10i（1）（2）质点的轨迹方程。0解： 由题意知：ax

6ms2,aydv

4ms2ax

x dvdt x

adtxvxdvadtt6dt

6t0 x x 0 x而 vdx dxvdt6tdtx dt xxdxttdt x10t2 x10t210 0同理 ay

dvydt

4 dvy

4dtvydv0 y

t4dt 即v0

4t而 vdy dyvdt4tdty dt yydyttdt yt20 0由此可得 vvivx y

j6ti4tjrxiyj

10

i2t2jx102y2t2t得3x102

y 3y2x200q280l1v26ms1。若水枪竖直向上喷射，水流上升的高度是多少？在任一瞬间空中有多少升水？v2解：竖直上抛的最大高度 H

033.8m2g水上升到最大高度的时间，由 vvgt（令v0，v为上升到最高点的速y 0 y y度）得v 26t0 2.6s则水在空中运动5.2s

g 10280l又因为 q280lmin1

60s

4.67ls1在时间小于5.2s喷向空中水 Qqt4.67t（升）在时间大于5.2s喷向空中水 Q2qt24.3（升）一升降机以加速度1.22ms22.44ms1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距7m（1）（2）螺帽相对升降机外固定柱子下降的距离。2.44.ms1柱上对应升降机地板所在处，向上为正。（1）螺帽在t0时，从yy2.74m处以初速为v2.44ms1作上抛运动。其0 0运动方程为yy

1vt gt21 0 0 2地板在t0时，以初速v2.44ms1，从原点作加速上抛运动，其方程为01yvt at2螺帽落地时yy1 2

2 0 21 1yvtgt2vtat20 0 2 0 2y1at21gt21g20 2 2 2t2yat2yag022.741.229.8（2）螺帽下降的距离 1 1 yyvt2gt22.440.7129.80.7120.72m1-7 如图所示，有人在离水面高h处通1-7 如图所示，有人在离水面高h处通过滑轮用绳子拉船靠岸。设人用匀速v收绳0子拉船，求当船与滑轮的水平距离为x时，船的速度和加速度的大小。

解： 设绳长为s，由图可知 题1-7图s2h2s2h2xs2h2dx 1 1 dsv s2h2 22s

收绳拉船

dt 2 dt s s2h2dtdsv0vvx船的加速度

dth2h2x2x

0h2x2h2x2x 00s2h2dv d a0s2h2dt dt

dsvs2s2h2dt

svds2h2210dt1v ds

1

3 dss2h2s2h2dt

s2h2

22sv2s2h2

0 2s2

dtv2h2 0

0

00s2h2

s2h2

s2h232

s2h232h2v2 0x3

ax轴负方向1-8 面成vv1-8 面成vv与水0 0平面成角（向上。2v2sincoss 0

gcos2v与s在时有最大值：0 4 2v21sins 0max gcos2解： 以斜面方向为x轴，垂直于斜面为y轴，扔出点为原点建立Oxy坐标系。 10v v0

cos

xvt gt2（1）

0x

vsin

0x 2x 10y

yvt gt2 0y 2 y小石子落地时 y

ggsinxggcosxy落地时间

vsint1gcost200 22vsint 0gcos小石子落在斜坡上的距离sxv0

cost1gsinat222v2sincos 4v2gsinsin20 0 gcos 2g2cos22v2gcossincos 2v2gsinsin2 0 0g2cos2 g2cos22v2sin 0gcos22v2sin

coscos

sin

0gcos22v2sin

cos（2） v0

0gcos2和值

cos v22sincos 0s00 v20gcos20 v20

gcos2sinsinsin2singcos2 由上式可知，小石子落在斜坡上距离s最大值的条件是 1 2 4 2故 smax

v21sin0gcos2v25ms1距离为l50m，高h为13m处的一个目标吗？在这个距离上他能击中的目标的最大高度是多少？解：以出手点为原点，建立Oxy坐标，设出手速度v与x轴夹角为，忽略空0气阻力有1yv0sint2gt2xv0cost消去t，得石头运动轨道方程yxtan

gx22v2cos2代入 v代入 v25ms1,xl50my50tandy0y取极值d2gcos2d(50tan 2g )0

题1-9图d cos22sin50sec2 2g cos3得 tan504g

1.2755 51.9故当51.9时，y在l50m处的最高高度为：y50tan51.9

2gcos251.9

12.3m所以不能击中目标，能击中的最大高度是12.3m。一质点沿直线运动其坐标x与时间t如下关系Aetcost （,皆为常数。求（1）任意时刻t质点的加速度（2）质点通过原点的时刻t解： 质点运动方程 xAecost速度 vdxdAetcostdt dt1AetdcostAcostdetdtAetsintAetcost加速度adv1tdsintsintdetAetdcostAcostdetdt dtA2etcostAsintetAetsintA2costetAet22costsint质点通过原点时 x0 Aecost0由于 e0 cost0tk k0,1,2,2t(2k1)2

k0,1,2,R的圆周运动，其路程s随时间t变化的规律为sbt1ct2SI2式中bc为大于零的常数，且b2R（1）质点运动的切向加速度a和法向加速t度a（2）aa的时刻t。n t n1解： 质点作圆运动 sbtct212ds速率 vdtbct切向加速度 at

dvcdtv2 bct2法向加速度 an

R R切向加速度ac0，法向加速度a0aa时t n t nbct2c bct2RcRbct

bRcRctcRcRcRsvt1bt2SI的规律运动，其中0 2v,b都是常量（1求t时刻质点的加速度（2tb（3）01当加速度为b时，质点沿圆周运动了多少圈？1解： 质点作圆周运动 svt bt2速率 v

0 2dsvdt

bt切向加速度 at

dvbdtv2 vbt2法向加速度 a 1RR1RR2b2vbt40a2a2a2a2n ta

0Rv

bt2a与v的夹角 arctannat

arctan 0 Rb 1R1RR2b2vbt40当ab时

b t0b0当ab时，tv svt1btv202 0b 0 2 2b04Rb质点沿圆周运行的圈数 n s v204RbR 一质点沿半径为的圆周运动，用角坐标表示其运动方程为2t3SI（1）t2s（2）当等于45。解： 质点作圆周运动 24t3d（1）角速度 12t2dt角加速度 d24tdt切向加速度

dv

dRRR24t4.8ms2法向加速度 an

t dt dtR Rv2 2R R 2 R R

1t2

230.4ms2（2）45，即a与an45角a2aa2a2n t24Rt2144Rt42a 1 a22ncos45 n2

144Rt42 1 a

24Rt2144Rt42 21t36此时质点的角位移 24t32.67radR1.0m的圆盘，可以绕一水平轴自由转动，一根轻绳绕在盘子的边A绕一水平轴自由转动，一根轻绳绕在盘子的边A用下，物体A从静止开始匀加速的下降，在t2.0s内下降的距离h0.4m。求物体开始下速度。 题1-14图xt0x00物体由静止开始匀加速下降，设加速度为av001 1hxvt at2 at2 0 0 2 22h圆盘边缘一点的切向加速度

a 0.2ms2t2dvat dt

a0.2ms2v2 vat2 a2t2法向加速度 a 0 n R R Rt3s时 an

a2tR

0.36ms2， at

0.2ms2式证明这些石子在空中相同高度处有相同速率（不计空气阻力。证： 设某一石子的抛射角为初速率为v在任一时刻t石子沿x轴和y轴0的速度分量为vvcos vvsingtx 0 y 01石子在t时刻的高度 Hv0sint2gt2v0cosv0cos2vsingt20v2v2x yv2v2cos2v2sin22vsingtg2t20 0 0v202g sin t gtv1202v2v22gH0可见，作抛体运动的石子在任一时刻的速率与抛射角无关，只取决于高度H和初速v。这些石子在相同高度处有相同速率。1-16 如图所示，在一平坦高地上安放一1-16 如图所示，在一平坦高地上安放一l8100m100m。用炮轰击掩蔽在陡壁后面的目标。如果炮弹出口速率为v300ms1，忽略空气阻力，0求： 题1-16图离陡壁最近的炮弹弹着点距陡壁的距离d；这时炮弹出口速度与水平面的夹角。（1）轨道方程yxtan炮弹经陡壁边缘y0xl

gx22v2cos20g2v20

gl tan2v2cos20lsincos1sin22（2）炮弹出口速度与水平面夹角2arcsin(gl)61.88v20得 30.94炮弹落地点 yh，xld代入得h

tan

gld22v2cos20d59.5mvR处的A点用望远镜对气球进行观测。记录得气球的仰角为时间t的函数。（1）求出用的仰角为时间t的函数。（1）求出用hR表示仰角（2）求d试证当上dt升时间tR时，d将按R趋近于零。解（1）由图可知，任一时刻t tan气球匀速上升 htanvt

hRarctanvt

题1-17图R R等式tan，两边对时间t求导Rdtandt

d

sec2dvdtR dt Rcosd v v R2 vR cos 2 dt R Rh2R2 v2t2R2

R2vt2vR R R当上升时间tvt2vt

d

RR Rvdt R2 2 t2vt2v故当tR，d将按

R趋于零。

v dt 2为转播电视而发射的地球同步卫星，它在赤道上空的圆形轨道上运动，周期等于地球自转周期T24h（距地球中心rae

r2，Re

是地球半径）2解：R2

246060

rads1，向心加速度ag e，rRn r

h。v2 Rh2 an

er R

Rh2ee R 2

gR2Rh所以 gRhe

Rh2e

Rh3e 2卫星高度 h

R3.59107mgRgR23 e2卫星速率 vRe

h3.07103ms1一飞轮的角速度在5s内由900rmin1均匀地减到800rmin1（1）求角2）求在此5s（3）再经多长时间，轮将停止转动？解：t5s内角速度由减至，角位移为。设角0 0加速度为（1）由匀速圆周运动速度方程 0 0t

1200rmin22.093rads21（2）由 0

t0

2

0

70.83转（3）又经时间t，飞轮停止转动00t tt45s t45540s0北京正负电子对撞机的储存环的周长为240m速的速率运行。这些电子运动的向心加速度是重力加速度的几倍？解：电子以接近光速c的速率作圆周运动，储存环的周长为L，半径为R。v2 c2向心加速度 an

2.351015ms2R L故 an2.41014g20ms175角下降，求雨滴下落的速度（设下降的雨滴作匀速运动。解：以地面为参照系，火车相对地面运动的速度为v，雨滴相对于地面的运动速122对于火车的运动速度。由图可知：22对于火车的运动速度。由图可知：vvv2 1 2v

，旅客看到雨滴下落的速度为v，即雨滴相tan75v12vv 1

5.36ms1 1-21图202 tan75 tan7520Av1000kmh1的速率（相对地面）向南飞行。同时另一架飞ABv800kmh1的速率（相对地面）向东偏南30AB0机的速度与B机相对于A机的速度。题1-22图(a) 题1-22图(b)解：设飞机A相对于飞机B的速度为vAB

，飞机B相