战地黄花考研数学讲座

(1)“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处,下意识地有针对性地采取措施,以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别,在于概念意识。 数学科学从最严密的定义出发,在准确的概念与严密的逻辑基础上层层尚叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。在《高等数学》中,出发点处就有函数，极限，连续,可导，可微等重要概念。在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟,下ー层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。大学数学教学目的,通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上,往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。按考试时间与分值来匹配,ー个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对ー个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是ー--”,而非“在哪儿做过这道题”,才能算是有点入门了。你要考得满意吗?基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。阳春三月风光好，抓好基础正当时。考研数学讲座(2)笔下生花花自红在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“ー支笔，ー张纸,一杯茶,鬼画桃符，脱离实际。”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写‘‘与“思”同步的重要性。也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时,也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料,看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子ー拿走,印象就模糊。科学的思维是分层次的思维。求解ー个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。或“依据已知条件，我首先能得到什么?”(分析法)：或“要证明这个结论，就是要证明什么?”(综合法)。在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是ー个简单的例。“连续函数与不连续函数的和会怎样?”写成“连续A+不连续B=?”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。(穷尽法)。如果，“连续A+不连续B=连续C”移项,则“连续Cー连续A=不连续B”这与定理矛盾。所以有结论:连续函数与不连续函数的和一定不连续。有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”,其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义,关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，题面上有已知条件概念深,写得熟的人立刻就会先写出h趋于〇时，lim(f(l+h)-f(l))/h>0然后由此自然会联想到,下ー步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aa=Xa,即〇,要是移项写成(A-XE)a=0,aナ〇,这就表示a是齐次线性方程组(A一九E)X=0的非零解,进而由理论得到算法。数学思维的特点之一是“发散性’ー个数学表达式可能有几个转换方式,也许从其中一个方式会得到ー个新的解释,这个解释将导引我们迈出下ー步。车到山前自有路,你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写ー步,观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的28步。对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。《高等数学》感觉不好的考生,第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差,讨论函数的图形特征，积分,解微分方程等,反应必然都慢。《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题,选择ー个分块变形就明白了。《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。要考研吗,要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做,你ー写出来也可能会面目全非。多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。考研数学讲座（3）极限概念要体验极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。”近两千年前,祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率;用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。”国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，ー类是XTXO:ー类是XT8,“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于ー个确定的数a?”如果是,则称数a为函数的极限。“无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步,最直观的一步。学习极限概念,首先要学会观察,了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次オ是计算或讨论极限值。自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0;x趋于无穷时，函数1/x的极限是〇;回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是,x趋于正无穷时,正指数的裏函数都与自然数列一样，无限增大,没有极限。x趋于正无穷时,底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。X—O+时，对数函数Inx趋于ー〇〇;x趋于正无穷时,Inx无限增大，没有极限。Xー〇〇时,正弦sinx与余弦conx都周而复始,没有极限。在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子"sin（l/x）o当x趋于〇时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图形在+1与-1之间上下波动140多次。在x=0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在ー起，就好象是“电子云”。当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时,曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页,他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。x趋于〇时（1/x）sin（1/x）不是无穷大,直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作依，让震荡要多疯狂有多疯狂。更深入一步,你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0,（或无限增大。）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。这就是高阶，低阶概念。考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即£-5语言）。没有这套语言,我们没有办法给出极限定义,也无法严密证明任何一个极限问题。但是,这套语言是高等微积分的内容,非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来,考研试卷上都没有出现过要运用E-5语言的题冃。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是“若X趋于〇〇时，相应函数值f(x)有正的极限，则当|x!充分大时，(你不仿设定一点xO,当IxI>xO时，)总有f(x)>0"，’若x趋于xO时,相应函数值f(x)有正的极限,则在xO的一个适当小的去心邻域内,f(x)恒正”这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过,这不正和“近朱者赤，近墨者黑’’ー个道理吗。除了上述苻号体验外,能掌握下边简单的数值体验则更好。若x趋于无穷时，函数的极限为〇,则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点xO,当|x|>xO时,)函数的绝对值恒小于1若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时,(你不仿设定一点xO»当|x|>xO时,)函数的绝对值全大于1・若x趋于〇时，函数的极限为〇,则在〇点的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1(你不仿设定有充分小的数8>0,当〇くIx|<3时，函数的绝对值全小于1)没有什么好解释的了,你得反复领会极限概念中“无限接近''的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点xO,或充分小的数5>0,并利用它们。考研数学讲座(4)“存在”与否全面看定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。即便有了定义,为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。.海涅定理观察x趋于xO的过程时,我们并不追溯x从哪里岀发;也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.O:我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理:定理(1)极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于xO,相应的函数值总有相同的极限A存在。这个定理条件的“充分性'’没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x逼近xO的所有方式。很多教科书都没有点出这ー定理,只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理:“如果函数(在某一过程中)有极限存在,则极限唯一。’’唯一性定理的基本应用之一,是证明某个极限不存在。.用左右极限来描述的等价条件用£で语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：定理(2)极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义,导数定义。本质上就是考査极限存在性。这是因为函数在一点连续，等价于函数在此点左连续,右连续。函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。(3)突出极限值的等价条件考数学ー,二的考生，还要知道另ー个等价条件：定理(3)函数f(x)在某ー过程中有极限A存在的充分必要条件是，f(x)-A为无穷小。从“距离'’的角度来理解，在某一过程中函数f(x)与数A无限接近，自然等价于： 函数值f(x)与数A的距离 |f(x)—Al无限接近于0如果记a=f(x)-A,在定理条件下得到ー个很有用的描述形式转换：f(x)=A+a(无穷小)考研题目经常以下面三个特殊的“不存在''为素材。“存在'’与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我用exp()表示以e为底数的指数函数,〇内填指数。例1X趋于〇时,函数exp(1/x)不存在极限。分析在原点x=O的左侧,x恒负,在原点右侧,x恒正。所以x从左侧趋于0时,指数1/x始终是负数,故左极限f(0-0)=0,x从右侧趋于0时，函数趋向+oo,由定理(2),函数不存在极限。也不能说，x趋于〇时，exp(1/x)是无穷大。但是，在这种情形下,函数图形在点x=0有竖直渐近线x=0例2x趋于〇时,“震荡因子”sin(1/x)不存在极限。俗称震荡不存在。分析 用海涅定理证明其等价问题,“x趋于+8时，sinx不存在极限。”分别取x=n兀及x=2n?t两个数列，n趋于+8时，它们都趋于+〇〇,相应的两列正弦函数值却分别有极限〇与1,不满足唯一性定理(定理(1))。故sinx不存在极限。(构造法!)例3x趋于〇〇时，函数y=arctgx不存在极限。分析把〇〇视为ー个虚拟点,用定理(2)。由三角函数知识得,x趋于+00时,函数极限为兀/2,x趋于一8时，函数极限为ーを2,故，函数y=arctgx不存在极限。请注意，证明过程表明，函数y=arctgx的图形有两条水平渐近线。即一〇〇方向有水平渐近线y=-n/2；+oo方向则有有y=n/2例4当x—>1时，函数f(x)=(exp(l/(x—l)))(x平方一IMx—l)的极限(A)等于2 (B)等于〇(C)为〇〇(D)不存在但不为〇〇b］分析考查X—1时函数的极限,通常认为x不取1:而x円时,可以约去分母(x-1),让函数的表达式化为 f(x)=(x+l)exp(l/(x-1))左极限f(1-0)=0,x从右侧趋于1时，函数趋向+00, (选(D))(画外音:多爽啊。这不过是“典型不存在1”的平移。)例5f(x)=(2+exp(1/x))/(1+exp(4/x))+sinx/IxI,求x趋于〇时函数的极限。分析绝对值函数y=|x|是典型的分段函数。x=0是其定义分界点。ー看就知道必须分左右计算。如果很熟悉“典型不存在む，这个5分题用6分钟足够了。实际上x-0ー时，limf(x)=(2+0)/(1+0)-1=1x—»0+时，exp(1/x)—>+oo,前项的分子分母同除以exp(4/x)再取极限

limf(x)=(0+0)/(0+1)+1=1由定理(2)得xtO时,limf(x)=1例6曲线y=exp(l/x平方)arctg((x平方+x+l)イx-l)(x+2))的渐近线共有(A)1条.(B)2条。(C)3条。(D)4条。 选(B)分析先观察x趋于〇〇时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线;再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即0,1和-2;对于每个零点xO,直线x=xO都可能是曲线的竖直渐近线,要逐个取极限来判断。实际上有x—>oo时,limy=it/4, 曲线有水平渐近线y=n/4其中，x—>oo时，limexp(l/x平方)=1 ；im((x平方+x+l)イx—l)(x+2))=1 (分子分母同除以“x平方”)考査“嫌疑点”1和一2时,注意运用“典型不存在3”，f(1-0)=-ejt/2；f(1+0)=eit/2,x=1不是曲线的竖直渐近线。类似可以算得x=-2不是曲线的竖直渐近线。x-0时,前因式趋向+00i后因式有极限arctg(-1/2),x=0是曲线的竖直渐近线。啊,要想判断准而快,熟记“三个不存在”。看了上面几例，你有体会吗?・还有两个判断极限存在性的定理(两个充分条件)：定理(4)夹逼定理——若在点xO邻近(或|x|充分大时)恒有g(x)Wf(x)Wh(x),且x—xO(或x一〇〇)时limg(x)=limh(x)=A则必有 !imf(x)=A定理(5)单调有界的序列有极限。(或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。)加上讲座(3)中的““近朱者赤,近墨者黑“定理”。共计六个,可以说是微分学第一组基本定理。考研数学讲座(5)无穷小与无穷大微积分还有一个名称,叫“无穷小分析’.概念在某ー过程中,函数f（x）的极限为0,就称f（x）（这ー过程中）为无穷小。为了回避£苜语言,一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。无穷小是个变量，不是〇;y=0视为“常函数''，在任何一个过程中都是无穷小。不过这没啥意义。依据极限定义，无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点，历史上约定，"非法地''使用等号来表示无穷大。（潜台词:并不表示极限存在。）比如x从右侧趋于〇时，limInx=—〇〇!x从左侧趋于n/2时，limtgx=+oo无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。在适当选定的区间内,无穷大量的绝对值没有上界。y=tgx（在x-k/2左側时）是无穷大。在（0,兀/2）内y=tgx是无界变量x趋于0时，函数y=（1/x）sin（1/x）不是无穷大,但它在区间（0,1）内无界。不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E,不管它有多大,当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E:而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到・点，此点处的函数绝对值大于E。.运算与比较有限个无穷小量的线性组合是无穷小;“8—8”则结果不确定。枳的极限有三类可以确定;有界变量・无穷小=无穷小无穷小•无穷小=（高阶）无穷小 无穷大・无穷大=（高阶）无穷大其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式”。例10作数列x=1,0,2,0,3,0,---,0,n,0,---y=0,1,0,2,0,3,0,—,0,n,0,—两个数列显然都无界,但乘积xy是零数列。这表示可能会有无界•无界=有界两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算,又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。如果极限为!,分子分母为等价无穷小；极限为〇，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。无穷大有类似的比较。无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。x趋于0时,a=xsin（1/x）和p=x都是无穷小，且显然有丨aIW|。|；但它们的商是震荡因子sin（1/x）,没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin（1/x）的用途。能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。回到基本初等函数,我们看到x趋于+8时，y=x的卩次方，指数n>0的裏函数都是无穷大。且习惯地称为M阶无穷大。（潜台词;这多象汽车的1档,2档,一ー,啊。）X趋于+00时，底数大于1的指数函数都是无穷大；底数小于1的都是无穷小。X趋于+00或x趋于0+时,对数函数是无穷大。X趋于8时,sinx及cosx都没有极限。正弦,余弦,反三角函数（在任何区间上）都是有界变量。请体验一个很重要也很有趣的事实。x—+00时,lim（x的n次方）/fexp（x）=0,这表明:“x趋于—时，指数函数exp（x）是比任意高次方的’幕函数都还要高阶的无穷大。’’或者说，“X趋于+00时,函数exp（―X）是任意高阶的无穷小。’’xt+8时，limlnx/（x的6次方）=0；6是任意取定的ー个很小的正数。这表明:“x趋于+00时,对数函数Inx是比x的6次方都还要低阶的无穷大。'’在数学专业方向，通常称裏函数（x的n次方）为“缓增函数”；称exp（-X）为“速降函数"。只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。例1I函数f（x）=xsinx（A）当x—»oo时为无穷大。（B）在（一〇〇,+〇〇）内有界。（C）在（ー〇〇,+00）内无界。（D）在时有有限极限。分析这和y=（1/x）sin（1/x）在x趋于〇时的状态ー样。 （选（〇）例12设有数列Xn,具体取值为若n为奇数,Xn=（n平方+<n）/h!若n为偶数,Xn=1/h则当n—8时，Xn是（A）无穷大量（B）无穷小量（C）有界变量（D）无界变量分析ー个子列（奇下标）为无穷大,ー个子列是无穷小。用唯一性定理。选（D））请与“典型不存在了’对比。本质相同。例!3已知数列Xn和Yn满足n—・〇〇时，limXnYn=0,则（A）若数列Xn发散,数列Yn必定也发散。（B）若数列Xn无界，数列Yn必定也无界。（C）若数列Xn有界，数列Yn必定也有界。 （D）若变量lAn为无穷小量，则变量Yn必定也是无穷小分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们ー个很好的反例。对本题的（A）（B）（C）来说，只要Yn是适当高阶的无穷小，就可以保证limXnYn=0无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明Xn为无穷大。要保证limXnYn=0,Yn必须为无穷小量。应选答案（D）。考研数学讲座（6）微观分析始连续微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的,且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。大学数学还让学生学习两类“分段函数”。或是在不同的定义区间内,分别由不同的初等函数来表示的函数:或者是有孤立的特别定义点的函数。微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性,可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性,奇偶性，周期性等。.函数的连续性定义——设函数Rx）在点xO的邻近有定义。当x趋于x0时,如果函数有极限.且极限值等于函数值f（x0）,就称函数f在点xO连续。否则，称函数f在点xO间断。xO是它的间断点。“函数f在点xO的邻近有定义’’意味着，如果函数在点xO没有定义，那xO只是函数的ー个孤立的无定义点。也就是函数的ー个天然的间断点。函数y=l/x在原点就是这样的。“有极限'’意味着存在。在分段函数情形，要立即转换成“左右极限存在且相等。”函数在一点连续的定义等式,“左极限=右极限=中心点函数值”，最多可以得出两个方程。如果在这里出题:“用连续定义求参数值。”则函数可以含ー个或两个参数。如果函数在区间上每一点连续,就称函数在此区间上连续。最值定理——在闭区间上连续的函数一定有最大,最小值。“有”，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大,最小数。介值定理——如果数c能被夹在连续函数的两个值之间,则c一定属于此函数的值域。请体会我的描述方式,这比教科书上写的更简明。介值定理的ー个特殊推论是,连续函数取正取负必取零。从理论上讲,求方程F（x）=O的根,可以转化为讨论函数F的零点。例16试证明，如果函数f在闭区间上连续,则它的值域也是ー个闭区间。分析函数f在闭区间上连续，f必有最大值M=f（xl）,最小值m=f（x2）,闭区间［m,M］内的任ー数c,自然就夹在f的两个最值之间,因而属于f的值域。即f的值域就是这个闭区间。例17试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。（潜台词:没有零点的连续函数定号。）分析如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾。（潜台词:函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。）例18函数f在闭区间［a,b］上连续,其值域恰好也是［a,b］,试证方程f（x）=x在区间［a,b］上有解。分析作F=f（x）-x,它显然在已知闭区间上连续。且有F（a心〇而F（b）<0如果有一等号成立,则结论得证。否则，用介值定理。（潜台词:要寻找反号的两个函数值，当然该先把已知点拿去试试。）.间断点分类连续的対立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。若函数在某点间断,但函数在这点的左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。若函数在某点间断,且至少有一个单侧极限不存在,就称此点为第二类间断点。第一类间断又分为两种。左右极限不相等，跳跃间断;左右极限相等，可去间断。若考题要求你去掉某个可去间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值,让其连续。对于第二类间断，我们只学了两个特例。即x=0是震荡因子y=sin(1/x)的震荡间断点。(画外音:请联想’‘典型不存在(2)つx=0是函数y=exp(l/x)的无穷间断点。(画外音:请联想“典型不存在(1)”)只要函数在xO的ー个单側为无穷大，xO就是函数的无穷间断点。x=xO是图形的竖直渐近线。考题中经常把问题平移到别的点去讨论。例19确定y=exp(l/x)arctg((x+1)/(x-l))的间断点，并说明其类型。分析函数的解析表达式中，分母有零点0,1 (潜台词：两个嫌疑犯啊。)在点0,前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零，故。点是无穷间断点.在点1,前因子连续非零，后因子的左极限是一R2,右极限为内2,第一类间断。三个特殊的“不存在”记得越熟,计算左右极限就越快。要有一个基本材料库,典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。例20设函数f(x)=x4a+exp(bx))在(一〇〇,+oo)内连续，且x一—〇〇时，极限limf(x)=0:则常数a,b满足(A)a<0,b<0 (B)a>0,b>0 (C)a<0,b>0 (D)a>0,b<0分析初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点,也就是函数的ー个天然间断点。已知函数连续，则其分母不能为〇,而指数函数exp(bx)的值域为(0,+oo),故aNO又，xt-〇〇时，极限limf(x)=0表明，f(x)分母是较分子x高阶的无穷大,即要指数函数exp(bx)为无穷大，只有b<0,应选(D)。(画外音：ー个4分题,多少概念与基础知识综合!典型的考研题!漂亮的考研题!)・例21 已知函数f(x)在区间［a,b］上处处有定义，且单调。若f(x)有间断点，则只能是第一类间断点。分析(构造法)不仿设f(x)在区间［a,b］上单增，但是有间断点xO:我们得证明f在点xO的左右极限都存在。已设f在区间单增,余下的问题是寻找其上界或下界。事实上有x一xOー时,f单增，显然f(b)是它的ー个上界。故左极限存在。xtx0+时，自变量从右向左变化，相应的f值单减。显然f(a)是其ー个下界。右极限也存在。构造法是微积分自己的方法。它的要点是，实实在在地梳理函数的构造及其变化，由此推理获得所要结果。考研数学指导(7)导数定义是重点选定一个中心点xO,从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移;从物理角度说,是给定一个初始点;从观察角度议,是选好一个边际点。微量分析考虑的问题是：在xO点邻近，如果自变量x有一个增量Ax,则函数相应该有增量Ay=f(xO+Ax)-f(xO),我们如何表述,研究及估计这个公y呢?最自然的第一考虑是“变化率’中国大把除法称为“归一法"。无论Ax的绝对值是多少,Ay/Ax总表示，“当自变量变化ー个单位时，函数值平均变化多少。”定义令Ax趋于零，如果增量商Ay/Ax的极限存在,就称函数在点xO可导。称极限值为函数在点xO的导数。记为AxtO,lim(Ay/Ax)=ff(xO)或 Ax—»0,lim((f(xO+Ax)—f(xO))/(x—xO))=f'(xO)或 x—>xO,lim((f(x)—f(xO))/(x—xO))=f*(xO)理解1 你首先要熟悉“增量’’这个词。它代表着ー个新的思维方式。增量Ay 研究好了,在xO邻近,f(x)=f(xO)+Ay,函数就有了一个新的表述方式。回头用‘‘增量’‘语言说连续,则“函数在点xO连续,’等价于“Ax趋于0时,相应的函数增量Ay一定趋于0"理解2要是以产量为自变量x,生产成本为函数y,则Ay/Ax表示,在已经生产xO件产品的状态下,再生产一件产品的平均成本。导数则是点xO处的“边际成本”。(画外音:“生产'’过程中诸元素的磨合,自然会导致成本变化。)如果用百分比来描述增量,则(Ay/y)/(Ax/x)表示,在xO状态下，自变量变化ー个百分点,函数值平均变化多少个百分点。如果Ax趋于零时极限存在,称其(绝对值)为y对x的弹性。理解3如果函数f在区间的每一点处可导,就称f在此区间上可导。这时,区间上的点与导数值的对应关系构成一个新的函数。称为f的导函数。筒称导数。函数概念由此得到深化。用定义算得各个基本初等函数的导数,称为“求导公式”。添上"和，差,积，商求导法则"与“変合函数求导法则"，我们就可以计算初等函数的导数。例24设函数fi[x)=(n->oo)lim((1+x)/(1+x2n)),讨论函数f(x)的间断点，其结论为(A)不存在间断点 (B)存在间断点x=l (C)存在间断点x=0 (C)存在间断点x=-l分析这是用极限定义的函数,必须先求出f(x)的解析表达式,再讨论其连续性。任意给定一点x,(视为不变。)此时,把分母中的x2n项看成是(x2)n,这是自变量为n的指数函数。令nー〇〇求极限计算相应的函数值。鉴于指数函数分为两大类，要讨论把x给定在不同区间所可能的影响。(潜台词:函数概念深化,就在这变与不变。哲学啊!)算得-1<X<1时，Rx)=l+x；f(l)=l；f(-l)=o而X<-1或x>1时，恒有イx)=0,观察得X—1时,limfi[x)=2;应选(B)»理解4运用定理(2),“极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。"则“函数在点xO可导"等价于“左,右导数存在且相等"。讨论分段函数在定义分界点xO处的可导性,先看准,写下中心点函数值f(xO),然后分别在xO两側算左导数,右导数。例25h趋于0+时,lim(ah)—風)))/h存在不等价于函数在0点可导,因为它只是右导数。h趋于。时,lim(f(2h)-f(h))/h存在不等价于函数在〇点可导,因为分子中的函数増量不是相对于中心点函数值的増量。请对比:如果f(x)函数在0点可导,则h―0时,lim(f(2h)-f(h))/h=lim(f(2h)-f(0)+f(O)-f(h))/h=21im(f(2h)-f(O))/2h-lim(f(h)-f(O))/h=2f'(0)-f'(0)=fr(0)(画外音:我把上述恒等变形技术称为“添零项获得增量’考试中心认为你ー定会这个小技术。(2)中的不等价，要点在于,即便(2)中的极限存在,f(x)在0点也可能不可导。你可以作上述恒等变形，但是,你无法排除“不存在ー不存在=存在”的可能性。)例26若函数f(x)满足条件f(1+x)=af(x),且「(0)=b,数a和,b和,则(A)f(x)在x=l不可导。(B)f,(l)=a (C)ff(l)=b (D)fr(l)=ab分析将已知f'(O)=b还原为定义 lim(f(O+h)一f(0))/h=b,要算f'(l),考查lim(fO+h)-f(l))/h如何向f'(O)的定义式转化?!只能在已知恒等式上功夫。显然 1+h)=af(h);而f(1)=f(1+0)=af(0)lim(f(l+h)-f(1))/h=lima(鼬)一f(〇))/h=ab 应选(D)。・理解5 可导的定义式,是两个无穷小的商求极限，自然也就是两个无穷小的比较。于是可以说,连续函数f(x)在点xO可导的充分必要条件是，x->xO时,函数增量Ay是与Ax同阶,或较Ax高阶的无穷小。考研的小题目中，经常在原点讨论可导性，且往往设函数在原点的值为零。我称这为“双特殊情形’‘。这时，要讨论的增量商简化为f(x)/x,联想一下高低阶无穷小知识，可以说,“双特殊情形''下函数在原点可导，等价于x趋于〇时,函数是与自变量x同阶或比x高阶的无穷小。如果函数结构简单，你一眼就能得出结论。例27 设函数f(x)在点x=0的某邻域内有定义，且恒满足If(x)|Sx平方,则点x=0必是f(x)的(A)间断点。(B)连续而不可导点。 (C)可导点，且「(0)=0 (D)可导点，且「(0)ナ。分析本题中实际上有夹逼关系OWlf(x)I<x2,在x=0的某邻域内成立。这就表明f(0)=0,且If(x)/xI<IxI由夹逼定理得，「(0)=0,应选(C)。例28 设有如下定义的分段函数f(x),x>〇时，f(x)=(1—cosx/Vx,xWO时，f(x)=x2g(x)其中,g(x)为有界函数,则f(x)在点x=0 (A)不存在极限(B)存在极限,但不连续。(C)连续但不可导。(D)可导。分析 由定义得中心点函数值f(0)=0;本题在“双特殊情形’’下讨论。x>0时，显然f(x)是比x高阶的无穷小。右导数为0x<0时，f(x)/x=xg(x),用夹逼法可判定左导数为〇;应选(D).・理解6运用定理(3),若f(x)函数在点xO可导，即有已知极限△xtO,lim(Ay/Ax)=f'(xO)于是 Ay/Ax=fXxO)+a(x)(无穷小);即Ay=ff(xO)Ax+a(x)Ax由此即可证明，函数在点xO可导，则ー定在xO连续。“如果分母是无穷小，商的极限存在，则分子也必定是无穷小。’’经济类的考生可以这样来体验“可导一定连续考数学-,二的同学则应将此结论作为ー个练习题。把导数定义中的极限算式记得用得滚瓜烂熟,你就既不会感到它抽象,也不会感到有多难。考研的题目设计都很有水平，如果側重考概念,题目中的函数结构通常都比较简单。不要怕定义。就当是游戏吧。要玩好游戏，你总得先把游戏规则熟记于心。考研数学讲座(8)求导熟练过大关函数在一点xO可导,其导数值也就是函数图形在点(xO,f(xO))处的切线斜率。从这个意义出发,我们有时把函数可导说成是“函数光滑”。! 典型的不可导可导一定连续。函数的间断点自然是不可导点。这是平凡的。我们感兴趣的是函数连续而不可导的点。最简单也最实用的反例是绝对值函数y=IxI«这是ー个分段函数。还原成分段形式后,在点x=0两侧分别用定义计算，易算得右导数为1,左导数是ー1进ー步的反例是y=Isinx!在点x=0和y=IInxI在点x=1连续而不可导。从图形变化上去看ー个连续函数取绝对值，那是件非常有趣的事情。连续函数在相邻的两个零点之间不变号。如果恒正，每ー个正数的绝对值就是自己。在这两个零点间的函数图形不变。如果恒负，每ー个负数的绝对值都是它的相反数。这两个零点间的函数图形由x轴下面对称地反射到了x轴上方。y=sinx在原点的左侧邻近为负,右侧邻近为正。它的图形在原点右侧段不变，将左侧段对称地反射到上半平面，就是y=IsinxI的图形。反射使得图形在原点处形成一个尖角，不光滑了。这是否是ー个普遍规律?不是!比如y=x3与y=|x3|在x=0点都可导。函数y=x3的图形叫“立方抛物线”。在点x=0,函数导数为0,图形有水平的切线横穿而过。(潜台词:真有特色啊,突破了我们原有的切线印念。)要是取绝对值,图形的原点左侧段对称地反射到上半平面,但水平的切线保持不变。新函数仍然光滑。这里的关键在于，函数值为0,导数值也为0,x=0是立方函数的重零点。综合上述,在f(x)恒为正或恒为负的区间匕曲线y=|f(x)|和曲线y=f(x)的光滑性是一致的。只有在f(x)的零点处,オ可能出现曲线y=f(x)光滑而曲线y=|f(x)!不光滑的状况。数学三的考巻上有过这样的4分选择题。例31f(x)在点x=a可导，则!f(x)!在x=a不可导若函数的充分必要条件是(A)f(a)=OHfr(a)=O (B)f(a)=0且f<a)ナ。(C)f(a)>0且f，(a)>0 (D)f(a)>0且「(a)<0分析如果没有思路，首先联想y=x与y=|x|即可排除(A)；俗语说,连续函数”一点大于0,则一段大于0”;相应绝对值就是自己。(C)(D)显然都错:只有选(B)。(画外音:如果用代数语言，f(x)可导，f(a)=O,而「(a)M0,则点a是f(x)的单零点。这道题该算擦边题。).讨论深化我在讲座(2)中举例，“连续A+不连续B=?”如果,“连续A+不连续B=连续C”则“连续C一连续A=不连续B”这与定理矛盾。所以有结论:连续函数与不连续函数的和一定不连续。推理的关键在于，逆运算减法可行。自然类似有:可导A+不可导8=不可导C。比如y=x+Isinx!在点x=0不可导。例32函数f(x)=|sinx|+Icosx!的不可导点是(？)分析函数为“和’‘结构。无论是Isinx|的不可导点或丨cosx|的不可导点，都是f的不可导点。即x=k兀与x=k7t+7t/2,k=0,±1,±2,...更深化的问题是：可导A*(连续)不可导B,是可导还是不可导?比如y=x|x!在点。可导吗?与“和”的情形相比,积的逆运算不一定可行。当且仅当A和时，オ有C/A=B所以结论1,若f(x)在点x0可导,且f(x0)#0,g(x)在点x0连续不可导，则积函数y=f(x)g(x)在点x0一定不可导。结论2(・例33)已知函数f(x)在点x=a可导,函数g(x)在点x=a连续而不可导,试证明函数F(x)=f(x)g(x)在点x=a可导的充分必要条件是f(a)=0.证明 先证充分性,设f(a)=0贝リF(a)=0令h—>0, Fr(a)=lim(F(a+h)—F(a))/h=limf(a+h)g(a+h)/h=(lim(f(a+h)—f(a))/h)limg(a+h)=f'(a)g(a)再用反证法证必要性。设函数F(x)在点、x=a可导而f(a)ス〇.,则由连续函数的性质可知函数f(x)在点x=a的某邻域内恒不为零。逆运算除法可行。由结论1知矛盾。例34设函数f(x)可导，F(x)=f(x)(1+IsinxI),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的(A)充分必要条件。 (B)充分而非必要条件。(〇必要而非充分条件。 (D)既非充分又非必要条件。 (选(A))分析!+Isinx!是可导函数+连续不可导函数类型，在在。点仍然连续但不可导。由上例结论知应选(A)例35函数y=(x2—X—2)Ix3-x|的不可导点的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0分析函数y具“积’‘结构。y=f(x)g(x),可导函数f(x)=x2—x-2只有两个零点x=-l,x=2,而连续函数g(x)=|x3-xI有不可导点x=0,x=l,x=-l；(即x3-x的三个零点。)其中有两个不是f(x)的零点。积函数在这两点不可导。(选(B))。实际上,x=-l是积函数的而重零点。.函数求导(以下所涉及的函数都是可导函数)函数求导越熟练,高等数学的感觉越好。只要回忆一下，小时候,九九表你背了用了多少年?!初中时，有理数运算算了多少年?!中学里,代数式运算你又算了多少年?!而学习微积分,你花了多少时间作求导计算?!自己就明白问题之所在了。求函数的导数，第一设问是，我对什么类型的函数求导?对初等函数求导，要点是学会熟练地对初等函数作结构分析。应该设问(步步设问)：“是对复合结构求导还是对四则运算结构求导?”对含有多个变量(有参变量)的表达式求导,要始终提醒自己:”是对表达式中的哪ー个变元求导?”对分段函数求导，各段分别求导;定义分界点用定义求导.对哥指型函数求导,视y=f(x)为恒等式,先取对数再求导,最后解出y，还有隐函数的求导法则:参数式所表述的函数求导;求乘积函数高阶导数的Leibnitz(莱布尼兹)公式。没办法。这是首先必须要苦力干活的。没有捷径可循。考研数学讲座(9)“基本推理”先记熟在考研试题中,条件“f(x)连续,x趋于〇时,lim(f(x)/x)=ビ出现的频率相当高。我们能由这个已知条件得到哪些信息呢?无论是《高数》，《线代》或《概率》部分，都还可以找到类似问题。预先把其间的逻辑推理或计算程序练熟，在头脑里形成一个个小集成块。既是深化基本概念的手段,也是应对考试的方法。!条件“f(x)连续,X趋于〇时，lim(f(x)/x)=ド推理 >信息(1),自变量X,当然是X趋于。时的无穷小。分母是无穷小,商的极限为1(存在),则分子也必定是无穷小。即x趋于。时，limf(x)=0(潜台词:由极限存在的充分必要条件(3),f(x)/x=1+a(无穷小)，即,f(x)=x(1+a))信息(2),已知f连续,故f(0)=limf(x)=0信息(3),(潜台词:这是“双特殊情形”啊!) 已知极限表明函数f(x)与自变量是等价无穷小。f(x)在原点可导,且导数值f'(O)=l信息(4),(“符号体念，近朱者赤。“)商的极限为正数1,在。点的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。即f(X)与X同号,左负右正。最后・条没有进ー步的结论，但这是体验极限符号的思维素养。对比:如果把条件中的分母换成“x2”，则后两条信息就不同了。信息(3)*,函数是比自变量高价的无穷小。f(x)在原点可导，且导数值为。信息(4)*,商的极限为正数1,在点。的ー个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。x的平方恒正,f(x)恒正。f(0)是函数的极小值。再对比:若考题把条件中的分子换成f(x)-x.怎么办?那你把分子整体看成一个函数，写成F(x)=f(x)—x.先对F写出结论，再写还原讨论f(X)。比如信息(3)得，F(x)在原点可导,故f(x)=F(x)+x也在原点可导。……。有了高速路，找到匝道就上去了。例36 已知x—>!时，lim(x2+bx+cXx_1)=3,求常数b,c的值。分析 平移到点x=l用基本推理。记f(x)=x2+bx+c,f连续，由已知极限得x—>1时,limf(x)=0=f(1)»实际计算f(1)得方程l+b+c=O再由已知极限与极限定义得 『(1)=3,实际求导即2+b=3;联解之,b=1c=-22.程序化的经典题目在考研试卷上有一个出现概率很高的大分值题,其基本模式为:“求(分段)函数f(x)的导函数，并讨论导函数的连续性。’’这个题目涵盖了连续与可导概念及求极限与求导计算。考查内容相当全面。求解过程可以程序化。即用公式及法则求分段函数各段的导数;用定义算得分界点或特殊定义点的导数。写出导函数的分段式。再讨论连续性。例37设a为实常数，定义函数Rx)如下x>0时f(x)=xasin(l/x2),xW0时，f(x)=O回答下列问题，并简单说明理由。(1)在什么情况下,f(x)不是连续函数。 (2)在什么情况下,f(x)连续但在点x=0不可微?(3)在什么情况下,f(x)有连续的导函数「(X)?*(4)在什么情况下,f(x)可微但f，(x)在原点邻近无界?*(5)在什么情况下,f(x)可微，「(x)在原点邻近有界，但f，(x)不连续?分析x<0时,f(x)恒为零，故f(x)在0点左连续，且左导数为〇;讨论的关键在于:sin(l/x2),cos(l/x2)都是震荡因子。当x-0+时，必须再乘以一个无穷小因子オ有极限零存在。(潜台词:有界变量・无穷小量=无穷小量)解(1)a<0时,f(x)不是连续函数,它在点x=0处有第二类间断(振荡间断)。(2)0<a<!时，f(x)连续但在x=0处不可导。实际上X—>0+时,lim(f(x)/x)=limx(a—1)sin(l/x2)不存在这又表明,仅当a>l时,f(x)在〇点的右导数为〇,从而「(0)=0;反之则右导数不存在。于是,a>l时,f(x)是可导函数。且「(x)有分段表达式:x<0时，f'(x)=O；x>0时,f'(x)=ax(a—1)sin(l/x2)—2x(a—3)cos(l/x2)(3)仅当a>3时，「(x)的两项在0点的右极限都存在,且都为〇;「(x)连续。(潜台词:存在+不存在=不存在;l〈aW3时，「(x)不连续。有振荡间断点〇。)*(4)观察「(x)的结构,当lVa/3时,它之所以会在原点邻近无界,显然是因为其后项存在有负基因子。即l<a<3时,「(x)在原点邻近无界。(5)最后,自然有a=3时,f，(x)在原点邻近有界，但fix)不连续。分析法，综合法,反证法。这都是欧氏几何的方法。公元前400年就有了。老老实实地写，实实在在地看，实实在在地说，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法——“构造法”。再看一例来体念“实实在在’’的“构造法''。例38已知函数f(x)在x>a时连续，且当X—+00时f(x)有极限A,试证明此函数有界。分析(1)用综合法走ー步:本题即证，|f(x)|<C(2)想用分析法走ー步,有困难。我们只学过，闭区间上连续的函数一定有界。(?!)(3)(试探)随便选ー个充分大的数b,函数在a与b组成的闭区间上有界。那无穷的尾巴上怎么估计函数的绝对值呢?(4)需要从数值上体念已知极限:XI+8时函数有极限A,即x-+oo时函数的绝对值无限靠近数A的绝对值。这就是说，我们可以取到充分大的数b,使x>b时，恒有|f(x)|<|A|+1(5)a与b组成的闭区间上函数有最大,最小值。取其绝对值。三个正数相比较，最大的那个数就是我们需要的C啊，我们"构造''出了函数的ー个上界。考研数学指导(10)微分是个新起点微分学研究函数的方法,是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。线性关系是最简单的函数关系。我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。而讨论非线性问题，总是件很困难的事。到朋友家要上楼,如果他们家的楼梯是非线性的,多半你会摔个跟头。“能否把非线性问题线性化?”这是人们在经验基础上的自然思考。实际上，非线性问题就是非线性问题,所谓“线性化”,只是用ー个“合适的'’线性模型去近似非线性模型。即非线性模型=线性模型+尾项(非线性模型ー线性模型)，关键在于表示尾项,研究尾项!找到尾项可以被控制的逼近模型。把这个思想落实到函数上,就是，在中心点xO邻近，能否有Ay=AAx+尾项，尾项=Ay-AAx能否是比公x高阶的无穷小?如果能,就称函数在点xO可微分。简称可微。记dy=AAx,称为函数的微分,又称为函数的线性主部。将可微定义等式两端同除以Ax,令Ax趋于零取极限即知,若函数在点xO可微，则常数A就是函数在点xO的导数「(xO);从而Ay=f*(x0)Ax+o(Ax);其中，o(Ax)表示“比Ax高阶的无穷小。”或Ay=dy+o(Ax)；dy=f'(xO)Ax=f'(xO)dx要是需要，我们可以丢去尾项，微局部地得到函数值的(线性的)近似计算式。由于丢去的尾项是比Ax高阶的无穷小，如果丨Ax|适当小,那么,绝对誤差也能相应地适当小。不丢尾项,我们得到函数的ー个新的(微局部地)有特定含义的表达式:f(x)=f(xO)+Ay=f(xO)+fr(xO)Ax+o(Ax)历史上,这个表达式称为,“带皮阿诺余项的ー阶泰勒公式”。近一步可以证明，可微与可导等价。例41设函数f(u)可导,y=f(x平方),当自变量x在点x=-1取得增量Ax=-0.1时，相应的函数增量Ay的线性主部为0.1,贝リf'(l)=分析Ay的线性主部即是微分dy,而y((x)=f(u)2x,y")=-2f(l)故dy=y〈x)dx具体为0.1=y，(l)(一0.1),解得「⑴=1/2函数f(x)在ー个区间上可导时，我们记微分dy=「(x)dx〇但是不能忘了微分的微局部意义。函数可微，且「(xO)#)时，还可以把可微定义等式变形为Ay/fr(xO)Ax=1+o(Axyf'(xO)Ax令取极限,即知Ay和dy是等价无穷小。为了考试,要尽可能记住一些常用的等价无穷小,例如在xT〇过程中sinx〜x；In(1+x)〜x；exp(x)—1〜x；Y(l+x)-1〜x/2它们都是在原点计算Ay和dy而获得的。最好再记住 1一cosx〜x平方?2两条经验:(1)常用等价无穷小的拓展——例如,若在x-0过程中,a(x)是无穷小,则sina(x)〜a(x)；In(1+a(x))〜a(x)；exp(a(x))—1〜a(x)4(1+a(x))—1〜a(x)/2 ； 1—cosa(x)〜a(x)平方?2(2)等价无穷小的差为高阶无穷小。例42设当x—0时,(1-cosx)In(1+x平方)是比xsin(x的n次方)高阶的无穷小; 而后式是比exp(x平方)一1高阶的无穷小,则正整数n=?分析xtO时，(1—cosx)In(1+x平方)为4次方级的无穷小;xsin(x的n方)是n+1次方级;exp(x平方)-1是2次方级,由已知，2<n+l<4,只有n=2我们还可以学会主动选定中心点，计算Ay和dy来获得等价无穷小。例43设在区间［1/2,1)上,f(x)=l/7tx+l/sin7tx-l/7t(l-x),试补充定义函数值f(1),使函数在闭区间上连续。分析(1)点1是右端点，按照连续的定义，应该补充定义f(1)为函数在点1的左极限。(2)观察函数结构,第一项是连续函数求极限。第二,三项形成“无穷ー无穷’’未定式。(3)“计算无穷一无穷,能通分时先通分”。通分后化为〇/〇型未定式。求商的极限是否顺利,关健在于分母。要尽可能先简化分母。(4)公分母为兀(1—x)simtx,可以考虑在点1计算sinnx的等价无穷小因为sink0,故Ay=sinnx:而dy=7tcon7tAx=—it(x—1)作等价无穷小因式替换,分母变成二次函数，再用洛必达法则求极限，一定顺利。学习本是为了用,该出手时就出手。你不妨直接用洛必达法则求通分后的0/〇型未定式极限。作个对比。例44设函数f(x)在x=O的某邻域内有连续的ー阶导数,且f(0)#),f@/O,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h-0时是较h高阶的无穷小,试确定数a和b的值。分析由高阶无穷小的定义得h—0时 lim(af(h)+bf(2h)-f(0))/h=0记F(h)=af(h)+bf(2h)-f(0),F连续。于是(用“基本推理”) 由极限式与连续性推出 F(O)=limF(h)=(a+b+1)f(0)=0,只有 a+b+1=0同时(F(h)一F(0))/h=F(h)/h ,再由极限式得F<0)=0实际上, F'(h)=af'(h)+2bf'(2h),F'(0)=(a+2b)f'(0)=0这就有第二个方程a+2b=0；联解之,a=-2,b=l・分析二换ー个思考方法,可微分定义式给了函数一个新的(微局部意义的)表达式。试用一下。设想h充分靠近0,贝リf(x)=f(0)+ff(0)x+o(x) (中心点是原点,Ax=x-0=x)故 f(h)=f(0)+f*(0)h+o(h)f(2h)=f(0)+f<0)2h+o(h)从而 af(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-l)f(0)+(a+2b)f'(0)h+o(h)要它在h-0时是比h高阶的无穷小，常数项和h项系数必需为〇,获得两个方程。考研数学讲座(11)洛尔定理做游戏洛尔定理既为中值定理做准备,又在函数零点讨论方面具有独立意义。洛尔定理的证明中,逻辑推理既有典型性，又简明易懂。因而洛尔定理成为考研数学的•个特色考点。我国的大学数学教材,通常把“费尔玛引理’’的证明夹在洛尔定理的证明中，使得证明显得冗长。我先把它分离出来。(画外音:这可是个难得的好习题。)! 费尔玛引理——若可导函数在区间内一点取得最值，则函数在此点的导数为〇分析我们复习ー下“构造法”。已知或讨论函数在某ー点的导数,不仿先写出导数定义算式,观察分析增量商。这是基本思路。“老老实实”地写:设函数在区间内一点xO取得最大值。写出增量商(f(x)-f(xO))/(x-xO)“实实在在''地想：它有什么特点呢?f(xO)最大，分子函数增量恒负，分母自变量增量左负右正。这样ー来，增量商在xO左侧恒正,(负负得正)。其左极限即左导数非负。(潜台词：极限可能为〇)增量商在xO右侧恒负。故右极限即右导数非正。函数可导，左，右极限存在且相等，导数只能为〇(画外音：导数为0,不是直接算出来,而是由逻辑推理判断得到的。你能否由此体会到ー点数学美呢。)2 洛尔定理——若函数f(x)在闭区间［a,b］连续，在(a,b)内可导，且端值相等。则必在(a,b)内ー点自处导数为0分析函数在闭区间［a,b］连续ー函数必有最大最小值端值相等ー只要函数不是常数，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在区间内。函数在(a,b)内可导ー内部的最值点处导数为〇请看看，分离证明,前段运用导数定义，符号推理非常典型。后段逻辑有夹逼味道,叙述十分简明。运用洛尔定理，关键在于要对各种说法的“端值相等''有敏感性。例47设函数f(x)二阶可导,且函数有3个零点。试证明二阶导数f"(x)至少有一个零点。分析”函数有两个零点”,意味着两个函数值相等!它俩组成一个区间,就满足“端值相等”条件。可以应用洛尔定理得到函数的ー阶导数的零点。设函数的3个零点由小到大依次为xl,x2,x3顺次取区间[xl,x2],[x2,x3],分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的两个零点，&1,42«且&1<ヌ學,學客观存在。它们组成区间[41，42]«且f'(x)在此区间上端值相等。又已知二阶导数f"(x)存在，即『(x)可导。对函数「(X)用洛尔定理就得本题结论。本例同时展示了“逐阶运用洛尔定理”的思路。不要怕“点4”,不要去想它有多抽象。客观存在,为我所用。只是要留心它的范围。(画外音:怕啥子嘛,你不是学了哲学，学了辩证法吗。)“垒宝塔”游戏如果函数n阶可导,且函数有n+!个互不相同的零点。由此可以得到什么信息?我们可以象上例那样,先把这n+1个零点由小到大排序编号，xl,x2,x3 , xn,xn+1再顺次组成n个区间， [xl,x2],[x2,x3] ,[xn,xn+1]分别在每个区间上对函数用洛尔定理,得到其ー阶导数的n个零点，且有大小排序411<412< <41n同理，顺次取区间[411，412],[412,413] , [41(n-l),41n]共计n-l个区间,分别对ー阶导函数『(X)用洛尔定理，得到二阶导数的n—l个零点,由小到大依次记为421,422 42(n-1)再一次次逐阶运用洛尔定理，最后可以得到结论:函数的n阶导数有1个零点。这是微分学的ー个经典题目，结论好似ー个倒置的“杨辉三角形”。就当是做游戏吧。ー个“垒宝塔”游戏。研考典型大题考研数学有时在这个考点上出大题，基本模式为“已知 证明区间内至少有一点。使得一个含有导数的等式成立。‘'例48设f(x)在［0,1I上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0(试证(0,1)内至少有一点ふ使得 f(《)+&「©=0分析(综合法)&只是ー个特殊点。&就是方程f(x)+x「(x)=0的根。方程的根转化为函数g(x)=f(x)+x「(x)的零点讨论。(潜台词:我们有‘‘介值定理''，"洛尔定理''两件兵器哦。)由于关系式中有含导数的项,可以猜想,自应当是我们对某个函数运用洛尔定理后,得到的导函数的零点。即g(X)是某个函数F(x)的导函数?！再仔细观察g(x)的结构，它多象是ー个乘积函数求导公式啊。(画外音:求导不熟练，肯定反应慢。)实际上它的确是积函数F(x)=xf(x)的导函数，且恰好端值相等。证明时只需从‘‘作辅助函数F(x)=xf(x),……”说起。啊,典型的欧氏方法，困难的逆向思维。考研数学讲座(12)中值公式不为算数学公式基本上可以分为两类,ー类用于计算。一类用于描述。中值定理的公式(有限增量公式)就是描述型的数学公式。非数学专业的本科学生感到数学难学，ー个基本原因在于观念。以为数学公式都是计算公式，遇上了描述型的公式，他们毫无思想准备。描述型的数学公式意义深远。从根本上说，数学科学企图描述世界的任何过程。描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。微局部地研究函数，焦点在于讨论增量。我说微分是个新起点，指的就是，若函数f(x)在点xO可微，则函数实际上就有了一个(微局部的)新的表达式:f(x)=f(xO)+fXxOXx—xO)+o(Ax)(尾项，比Ax高阶的无穷小)历史上,这个表达式称为,“带皮阿诺余项的ー阶泰勒公式”。之所以是''微局部'’的描述公式,是因为只有在xO的充分小的邻域内,“高阶无穷小''的描述オ有实际意义。不要认为这有多抽象。这是线性化思维的ー个自然结果,一个客观事实。知道其存在,能对几个简单的基本初等函数按过程写出来，就算掌握了。比如,在原点邻近，可以有，sinx=x+o(x),(请对比sinx〜x)。x—sinx=x—(x+o(x))=0(x)(潜台词:表达式嘛,那就可以代进去。)这就是描述型的思路。它告诉我们,x趋于0时,x-sinx是比x高阶的无穷小。在求极限时,我们只可以对(分子或分母)的“无穷小因式’‘作等价无穷小替换。但是,只要对运算有利,我们就可以把函数的(带高阶无穷小尾项)表达式代到任何ー个位置去。在运用函数的导数来研究函数的过程中，这个思路沿着两个方向延拓。(1)对尾项的描述能否更具体?(2)能否提高描述的精度?即能否把函数写成f(x)=以xO为中心的n次多项式+尾项(比Ax的n次方高阶的无穷小)《高等数学》在方向(1)上,讲了“拉格郎日公式'':在方向(2)上则讲带有“拉格郎日型尾项的泰勒公式”。(后者只征对考数学ー,二的考生)。拉格郎日公式若函数在闭区间［a,b］上连续,在(a,b)内可导,则(a,b)内至少有一点备使得 f(b)-f(a)=fW(b-a)教科书上是增量商的形式，我更喜欢用乘积形式。定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个(子)区间。比如，在区间内任意选定一点xO,对于区间内任意一点x,(潜台词:任给一点,相对不变。)也可以有f(x)-f(xO)=f^)(x-xO),自在x与xO之间,即f(x)=f(xO)+「6)(x-xO)，&在x与xO之间，(画外音:ー个x相应有一个〇理论上构成一个函数关系。)这样一来,中值定理也给了函数一个新的表达式。带自的项是尾项。(拉格朗日尾项)。思考题目时,只要看到有导数条件及函数增量式,你就可以考虑先用拉格朗日公式转换描述方式,迈出第一步。再考虑如何利用导数条件及《所属范围处理尾项。例51已知f(x)在［0,1］可导，且导函数单增，试将f(0),f(l),f⑴-f(0)三个数按大小排序。分析导函数单增，都是导函数值才能比较大小。f(1)-f(0)是增量式,先用拉格朗日公式得,f(1)一f(O)=f支),0<^<1,写出这ー步来就啥都明白了。不要怕と它是区间内客观存在的一点。它的范围有时(如上例)也能导出信息。例52已知f(x)在某区间可导且导函数有界，试证明f(x)例52IAyI<cIAxI分析不知道已知区间是开区间还是闭区间,反正已知有If'(x)|<M(正常数)在区间内任取两点,视为常数,运用拉格朗日公式f(xl)-f(x2)=f支)(xl—x2),xl〈びx2等式两端取绝对值,导函数有界的条件管住了前取C=M,本题结论成立多写才能熟悉。最好的基本练习是,把上例中的函数具体取为正弦,余弦，指数函数,反正切等，自己设定区间，求出M值，重复写出证明过程。例53 已知当x趋于+oo时，limf(x)=e,求lim(f(x+1)—f(x))分析对任意给定的x,所求极限的变量式，恰是函数f(t)在点x与x+1的增量式。先用拉格郎日公式改变其描述方式。(画外音:分层次思维,走ー步,写ー步,再观察。)f(x+1)-f(x)=f支)，X<^<x+1.实际上§=&(x)显然，当x趋于+8时，必有自趋于+8:故，原极限=limfn)=e最后的答案来自唯一性定理。(潜台词：无论自(x)以怎样的方式趋向无穷，唯一性定理都管住了它。)例54试证明x>0时，In(1+x)<x分析In(1+x)=In(1+x)—Ini=x/&<x,1<^<x+1实际计算步骤为,取函数y(t)=In(t),贝リZ(t)=l/t进而y'&)=l/&,得到结论只用了自>1,”添零项获得增量’‘。创造条件运用拉格郎日公式。考研中心认为，你一定会这个小技术。考研数学讲座(13)图形特征看单调用导数讨论函数,中值定理是座座桥梁。拉格郎日公式有两个推论。使它更好地发挥桥梁作用。.拉格郎日公式的两个推论推论(1)可导函数恒为常数的充分必要条件是其导函数恒为零。推论(2)设函数マx)在区间(a,b)内可导，且导函数「(x)>0,则f(x)在此区间上单增。推论(1)是一个很好的“相对比较”练习题。即任选一点xO,视为不变。再任给一点x,(潜台词:创造增量形式。)比较两个函数值的差。我们就可以应用拉格郎日公式,并联系已知条件得到结论。由推论(1)得到“证明两个可导函数恒等’’的程序:“在某区间上证明可导函数出X)三g(x)” >作F(x)=出x)—g(x),F(x)可导 >验证f'(x)—g'(x)三〇,证得Rx)—g(x)=常数ーー>选一个特殊点,计算验证这个常数就是〇你可以试着证明:arcsinx+arccosx=7t/2为什么推论(2)中，"导函数f，(x)>〇''不是可导函数単增的充分必要条件呢?这是因为单增的函数也可能在若干个孤立点上导数为。。比如,立方函数单增,而它的导数在原点为〇〇(潜台词:要注意函数单增的定义啊，自变量变大,相应的函数值一定也变大。)例57设函数f(x)在实轴上单增，可导,则(A)在实轴上恒有f'(x)>0 (B)对任意x,fz(-x)<0(C)函数イ-x)在实轴上单增。 (D)函数一R-x)在实轴上单增。分析由已知信息只能推得f'(x)K),(A)错。f'(―x)是个复合函数。其结构是y=f'(u),u=-x,故f'(-x)K)；(B)错。