状元之路理科数学-考点调查

自主园地备考套餐课前学案基础第三节 三角函数的图像与性质课堂学案考点通关开卷速查考纲导学1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性．2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正

π

π切函数在－2，2上的性质.

夯基固本基础自测课前学案

基础1．“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是□1

、□2

、□3

、□4

、□5

.2．三角函数的图像和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR□20

图像值域□6

□13

□21对称性对称轴：□7

；对称中心：□8

对称轴：□14

；对称中心：□15对称中心：□22周期□9

□16

□23单调性单调增区间□10

；单调减区间□11

单调增区间□17

；单调减区间□18

单调增区间□24

奇偶性□12

□19

□25

1π

22答案：□(0,0)

□

，13342□(π，0)

□

π，－1(2π，0)□5

□6[－1,1]□72x＝kπ＋

π

(k∈Z)□8(kπ，9100)(k∈Z)

□2π

□

2kππ—

，π2

22kπ＋

(k∈Z)□11

π22kπ＋

，2kπ＋3π21213(k∈Z)

□奇函数

□[－1,1]1415□x＝kπ(k∈Z)

□

kππ2＋

，0

(k1617∈Z)

□2π

□[2kπ－π，2kπ](k∈Z)□18[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)□19偶函数□20π21{x|x≠kπ＋2(k∈Z)}

□R

□

kπ222，0

(k∈Z)2324□π

□

kπ—π2，kππ2＋

(k25∈Z)

□奇函数2个性质——周期性与奇偶性(1)周期性|ω|函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π

，|ω|y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为

π

.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．3种方法——求三角函数值域(或最值)的方法利用sinx、cosx的有界性．形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分

析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(或最值)．换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(或最值)问题．4个

——研究三角函数性质应注意的问题三角函数的图像从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图像．闭区间上值域(或最值)问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的值域(或最值)问题，要 参数对值域(或最值)的影响．利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x系数的正负．(4)利用换元法求三角函数值域(或最值)时要注意三角函数的有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误．

π

1．函数y＝tan4－x的定义域是()πA．{x|x≠4，x∈R}πB．{x|x≠－4，x∈R}C．{x|x≠kπ－3π

k∈Z，x∈R}4

，D．{x|x≠kπ＋3π

k∈Z，x∈R}4

，ππ3π解析：∵x－4≠kπ＋2，∴x≠kπ＋4

，k∈Z.答案：D2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(A．y＝cosx

B．y＝sin

2x)

πC．y＝tan2x

D．y＝sin2x－2解析：选项A、D中的函数均为偶函数，C中函数的最小正周π期为2，故选B.答案：B3．函数y＝|sin

x|的一个单调增区间是(

)πA.－，

4

4π

πB.

，3π4 4

3πC.π，

2

3πD.

2

，2π解析π

，

2

3π上递增．答案：C

π

4．比较大小，sin－18

sin－

π

10.

解析：因sin－

π

>sin－

π

.

18

10答案：＞5．y＝2－3cos

πx＋4的最大值为

；此时x＝

.

π

π解析：当cosx＋4

＝－1时，函数y＝2－3cos

x＋4取得最大值π35，此时x＋4＝π＋2kπ，从而x＝4π＋2kπ，k∈Z.答案：5

3

＋2kπ，k∈Z4π考点例析通关特训课堂学案考点通关考点一三角函数的定义域与值域(最值)

π

π2【例1】

(1)函数f(x)＝3sin

2x－6

在区间

0，

上的值域为(

)

33A.－2，23B.－2，3C.－2，3

3

332D.－3

32，3(2)函数y＝lg(sinx)＋1cosx－2的定义域为

．(3)当x∈

π7π6，

6

2时，函数y＝3－sinx－2cos

x的最小值是

，最大值是

．

ππ

π

5π

π解析：(1)当x∈0，2

时，2x－6

∈－6，6

，sin

2x－6

∈1－2，1，π

3故3sin2x－6∈－2，3，3即此时函数f(x)的值域是－2，3，故选B.(2)要使函数有意义必须有sinx＞0，

sinx＞0，

即1

1cosx－2≥0，

cosx≥2，解得

π2kπ＜x＜π＋2kπ，π－3＋2kπ≤x≤3＋2kπ(k∈Z)，π∴2kπ＜x≤3＋2kπ，k∈Z.π∴函数的定义域为{x|2kπ＜x≤3＋2kπ，k∈Z}．π

7π

1(3)∵x∈6，

6

，∴sinx∈－2，1.2

21274

8又y＝3－sinx－2cos

x＝3－sinx－2(1－sin

x)＝2sinx－

＋.∴当sinx＝4时，y1

7min＝8，1当sinx＝－2或maxsinx＝1时，y

＝2.答案：(1)Bπ(2){x|2kπ＜x≤3＋2kπ，k∈7Z}

(3)8

2名师点拨 三角函数定义域与值域的解题策略(1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)三角函数值域(或最值)的求法求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形

式，再求值域(或最值)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(或最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(或最值)．通关特训1(1)函数y＝12＋log2x＋

tanx的定义域为

．π

π3(2)函数y＝2sin2x＋3－1，x∈0，

的值域为

，并且取最大值时x的值为

．解析：(1)要使函数有意义则12＋log2x≥0，x>0，πtanx≥0，x≠kπ＋2，k∈Z⇒0<x≤4，πkπ≤x<kπ＋2k∈Z.利用数轴可得函数的定义域是{x|0<x<π2，或π≤x≤4}．3

3

3，

π

π(2)∵0≤x≤π

∴

≤2x＋

≤π.

π∴0≤sin2x＋3≤1.

π∴－1≤2sin2x＋3－1≤1，即值域为[－1,1]；

ππ且当sin2x＋3＝1，即x＝12时，y取最大值．答案：(1){x|0<x<π2，或π≤x≤4}(2)[－1,1]π

12考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性4【例2】

(1)当x＝

π

时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小

3π值，则函数y＝f

4

－x()π

2A．是奇函数且图像关于点

，0对称B．是偶函数且图像关于点(π，0)对称πC．是奇函数且图像关于直线x＝2对称D．是偶函数且图像关于直线x＝π对称(2)设函数f(x)＝

π3

cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)|φ|＜2

，且其图像关于直线x＝0对称，则(

)

A．y＝f(x)的最小正周期为π

0

π上为增函数，且在

，2

πB．y＝f(x)的最小正周期为π，且在0，2上为减函数π

πC．y＝f(x)的最小正周期为2，且在0，4上为增函数π

πD．y＝f(x)的最小正周期为2，且在0，4上为减函数

π

π

8(3)若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f8＋t＝f

－t，π且f

＝－3，则实数m的值等于(8A．－1C．－5或－1)B．±5D．5或1π解析：(1)∵当x＝4时，函数f(x)取得最小值，

π

3π∴sin4＋φ＝－1，∴φ＝2kπ－

4

(k∈Z)．

3π

3π∴f(x)＝Asinx＋2kπ－

4

＝Asinx－

4

.3π∴y＝f

4

－x＝Asin(－x)＝－Asinx.3π

π∴y＝f

4

－x是奇函数，且图像关于直线x＝2对称．故选C.(2)f(x)＝

3cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)＝2sin

2xπ＋3＋φ

，∵其图像关于x＝0对称，∴f(x)是偶函数．∴π

π3＋φ＝2＋kπ，k∈Z.ππ又∵|φ|＜2，∴φ＝6.

ππ∴f(x)＝2sin2x＋3＋6＝2cos2x.

π易知f(x)的最小正周期为π，在0，2上为减函数．

π

π

π8

8

8π8(3)由f

＋t＝f

－t得，函数的对称轴为x＝

.故当x＝

时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m＝－3或2＋m＝－3，即m＝－1或－5.答案：(1)C(2)B(3)C名师点拨函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性解题策略若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．通关特训2

π(1)已知ω＞0，函数f(x)＝cos

ωx＋3

的一条对称轴π

π

为x＝3，一个对称中心为点12，0，则ω有()A．最小值2C．最小值1B．最大值2D．最大值1像(2)设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，16则f

的值为()A．－34B．－141C．－2

3D.

4π

π

T

2π解析：(1)由题意知3－12≥4，T＝

ω

≤π，ω≥2，故选A.(2)由题意知，点M到x轴的距离是12，根据题意可设f(x)＝121

2π2

ω12cosωx，又由题图知

·

＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝

cosπx，故f

161

π

3＝2cos6＝

4

.答案：(1)A(2)D考点三三角函数的单调性

ωx

ωx

ππ【例

3】

(1)设

ω＞0，若函数

f(x)＝sin

2

cos

2

在区间－3，3上单调递增，则

ω

的取值范围是(

)A.0，

3B.0，

2

32

3C.2，＋∞D．[1，＋∞)

π(2)已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋4(ω＞0)的最小正周期为π.①求ω

的值；②

，

2

πf(x)在区间

0

上的单调性．

ωx

ωx

1

ππ解析：(1)f(x)＝sin

2

cos

2

＝2sinωx，若函数在区间－3，3上T

π

π

π

2π

3单调递增，则2＝ω≥3＋3＝

3

，即

ω∈0，2，故选

B.

π(2)①f(x)＝4cosωx·sinωx＋4＝22sinωx·cosωx＋222cos

ωx＝π42(sin2ωx＋cos2ωx)＋

2＝2sin2ωx＋

＋2.因为

f(x)的最小正周期为π，且

ω＞0，2ω从而有2π

＝π，故

ω＝1.

π②由①知，f(x)＝2sin2x＋4＋2.若

0≤x

π

π

2x＋π

5π≤2，则4≤

4≤

4

.π

π

π

π当4≤2x＋4≤2，即0≤x≤8时，f(x)单调递增；π

π

5π

π

π当2≤2x＋4≤4

，即8≤x≤2时，f(x)单调递减．

π

π

π综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间8，2上单调递减．答案：(1)B(2)见解析名师点拨 三角函数单调性问题和常见类型及解题策略(1)已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果