新教材2021-2022学年人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步课时检测及章末测验

第八章立体几何初步TOC\o"1-5"\h\zI、佼^£、1艾^^、1支口 1\o"CurrentDocument"2、圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体 7\o"CurrentDocument"3、立体图形的直观图 13\o"CurrentDocument"4、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 18\o"CurrentDocument"5、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 25\o"CurrentDocument"6、平面 31\o"CurrentDocument"7、空间点、直线、平面之间的位置关系 36\o"CurrentDocument"8、直线与直线平行 42\o"CurrentDocument"9、直线与平面平行的判定 48\o"CurrentDocument"10、直线与平面平行的性质 53\o"CurrentDocument"11、平面与平面平行的判定 59\o"CurrentDocument"12、平面与平面平行的性质 64\o"CurrentDocument"13、直线与直线垂直 71\o"CurrentDocument"14、直线与平面垂直的判定 7715、直线与平面垂直的性质 83\o"CurrentDocument"16、平面与平面垂直的判定 90\o"CurrentDocument"17、平面与平面垂直的性质 95\o"CurrentDocument"章末检测 1021、棱柱、棱锥、棱台.观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是（）①B.②不是棱锥A.①是棱柱①B.②不是棱锥A.①是棱柱D.④是棱台D.④是棱台解析:选B结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误..下列关于棱柱的说法中,正确的是（）A.棱柱的所有面都是四边形ー个棱柱中只有两个面互相平行

ー个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面D.棱柱的侧棱长不都相等解析:选CA说法不正确,比如三棱柱的底面为三角形;B说法不正确,比如长方体中,相对侧面互相平行,两个底面互相平行;C说法正确,ー个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面;D说法不正确,由棱柱的定义可知棱柱的侧面为平行四边形,侧棱长都相等.故选C.3.（多选）下列说法中,正确的是（）A.棱锥的各个侧面都是三角形B,有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥C.四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面D.棱锥的各侧棱长相等解析:选AC由棱锥的定义,知棱锥的各侧面都是三角形，故A正确;有ー个面是多边形,其余各面都是三角形,如果这些三角形没有一个公共顶点,那么这个几何体就不是棱锥,故B错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体,因此四面体的任何ー个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确;棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等,故D错.故选A、C.4,在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是（）方体即可..如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜ー个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（） /―7|A.棱柱C.A.棱柱C.棱柱与棱锥的组合体B.棱台D.不能确定c,解析:选A如图...•平面ん4010〃平面.,•有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形（水面与两平行平面的交线）,因此呈棱柱形状.c,.ー个棱柱有10个顶点,所有侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为解析:〃棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60cm,可知每条侧棱长为12cm.答案:12.用一个平面去截ー个三棱锥,截面形状可能是（填序号）.①三角形;②四边形;③五边形;④不可能为四边形.解析:按如图①所示用ー个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用ー个平面去截三棱锥,微面是四边形.答案:①②.如图,例是棱长为2cm的正方体A8CD-A1かGDi的棱CG的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.解析:由题意,若以为折叠线展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是，T3cm.若以8S为折叠线展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1cm,4cm,故两点之间的距离是，行cm.故沿正方体表面从点4到点M的最短路程是，6cm.答案:V139.试从正方体ABCDA/iGA的ハ个顶点中任取若干个点,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(做出其中一个即可)(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥ん-48|。1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥ル-ACDi(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱んBiOi-AB£)(答案不唯一).10.如图所示,长方体ABCQ-4B1GO1.尸一、快A B(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?(2)用平面BC尸E把这个长方体分成两部分后,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱?如果不是,说明理由.解:(1)这个长方体是棱柱,是四棱柱.因为以长方体其中一组相对的两个面作底面时,两个底面是互相平行的四边形,其余各面都是矩形,当然也一定是平行四边形,并且四条侧棱互相平行,符合四棱柱的定义,所以这个长方体是四棱柱・(2)截面BCFE上方部分是棱柱,且是三棱柱BEB\-CFC\,其中和△CFG是底面;截面BCFE下方部分也是棱柱,且是四棱柱ABE41-O。ドハL其中四边形ABEA］和DCFD\是底面..ー个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥必不是()A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥 D.六棱锥解析:选D正六棱锥的底面是个正六边形,正六边形共由6个等边三角形构成,设每个等边三角形的边长为「,正六棱锥的高为ん正六棱锥的侧棱长为/,由正六棱锥的高刀、底面正六边形的边长ハ侧棱长，构成直角三角形得,后+ノ=匕故侧棱长，和底面正六边形的边长r不可能相等.故选D..如图所示，在三棱台4BC-A8C中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()BA.三棱锥 B.四棱锥C.三棱柱 D.组合体解析:选B余下部分是四棱锥4-BCC®.故选B.

.（多选）对如图所示的几何体描述正确的是（）A.这是ー个六面体B.这是ー个四棱台C.这是ー个四棱柱D.此几何体可由三棱柱截去ー个小三棱柱而得到解析:选ACDA正确,该几何体有六个面,属于六面体.B错误，该几何体各侧棱的延长线不能交于一点.C正确,如果把几何体正面和背面作为底面就会发现是ー个四棱柱.D正确,如图所示..如图在正方形ABCZ）中,E,ド分别为AB,的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:（1）折起后形成的几何体是什么几何体?（2）若正方形边长为2a,则每个面的三角形面积为多少?解:（1）如图折起后的几何体是三棱锥.c 1,c 1,(2)S^PEF=2a,3,S/\DEF=2a~-.春节期间,佳怡准备去探望奶奶,她到商店买了一盒点心.为了美观,售货员对点心盒做了一个捆扎（如图①所示），并在角上配了一个花结.售货员说,这样的捆扎不仅漂亮,面且比一般的十字捆扎（如图②所示）包装更节省彩绳.你同意这种说法吗?请给出你的理由.（注：长方体点心盒的高小于长、宽.）图① 图②解:同意.理由如下:设长方体点心盒的长、宽、高分别为x,y,z,依题图②的捆扎方式,把彩绳的长度记为L,贝リL=2x+2y+4z;图① 图②解:同意.理由如下:设长方体点心盒的长、宽、高分别为x,y,z,依题图②的捆扎方式,把彩绳的长度记为L,贝リL=2x+2y+4z;依题图①的捆扎方式,绳长记为如图所示,由三角形中两边之和大于第三边,得xi+y\>m\,z+x2>m2,わ+*>63,”+z>nu,林+ア〉m5,xs+z>66,足+丁3>机7,y2+z>n/8,X\+%2+工3+必+期+祀+y1+め+券+丁4+丁5+96+42>如+ZW2+TO+ZW4+加5+砥）+加7+机8,即2x+2y+4z>M,即L>M.ュ题图①的捆扎方式更节省材料.2、圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体1.如图所示的图形中有（）A.圆柱、圆锥'圆台和球C,球、圆柱和圆台B,圆柱、球和圆锥D.棱柱、棱锥'圆锥和球解析:选B根据题中图形可知,①是球,②是圆柱，③是圆锥,④不是圆台.故选B..下列命题中正确的是（）①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的ー个;②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆;③圆台的两个底面可以不平行.A.①② B.②C.②③ D.①③解析:选B①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时,其面积不是最大的;③圆台的两个底面一定平行.故①③错误..如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为（）■ー个球体 （j\ー个球体中间挖去ー个圆柱 （ー个圆柱ー个球体中间挖去ー个长方体解析:选B圆绕着直径所在的直线旋转一周形成球体,矩形绕着中间轴旋转ー周形成圆柱.4.（多选）下列关于球体的说法正确的是（）A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合B,球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合C.ー个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体D.球的对称轴只有1条解析：选BC空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面,所以A错误,B正确;由球体的定义,知C正确;球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴,所以D错误.5.用ー张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是（）A.2 B.2nJIJI

ひラ或ス解析:选C如图所示,设底面半径为r,若矩形的长8恰好为卷成圆柱底

面的周长,则2nr=8,所以r=マ:同理,若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底2面周长,则2nア=4,所以ア=て•・故选C..若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为ホ,则这个圆锥的母线长解析:如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,由SL题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长,且S“bc=^・んが,.•・小,,：.AB=2.答案:2.用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是下面哪几种:(填序号).①棱柱;②棱锥;③棱台;④圆柱;⑤圆锥;⑥圆台;⑦球.解析:可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥.答案：①②③⑤.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2n的半圆面,则该圆锥的高为解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为/,则4n=n/2,所以母线长为，=2,又半圆的弧长为2tt,圆锥的底面的周长为2itr=2ti,所以底面圆半径ア=1,所以该圆锥的高为カニすZ2—メ=隹2—卄=ホ答案:小.从ー个底面半径和高都是7?的圆柱中,挖去ー个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用ー个与圆柱下底面距离等于，(/</?)并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.解:轴截面如图.

被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径OC=R,圆锥的截面圆的半径。1。设为x.被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的\'OA=AB=R,.,.△〇48是等腰直角三角形.又CD"OA,则CD=BC；x=l....截面面积5=nR2—nl2=n(ア一「)(/</?).2R10.ー个圆台的母线长为12cm,两底面的面积分别为4ncn?和25ncm2.2R(1)求圆台的髙;(2)求截得此圆台的圆锥的母线长.解:(1)过圆台的轴作截面,如图,截面为等腰梯形ABCQ,设01.。分别为AO,3C的中点,连接〇。,作AM丄于点M.由已知可得上底半径。iA=2cm,下底半径08=5cm,腰长AB=12cm,所以AM=^122-32=3V15(cm),即圆台的高为BMOC3*^15cm.(2)延长84,。。|交于点S,设极得此圆台的圆锥的母线长为，cm,则由△54。1s^SBO,可得粤=黑，即と手=1,所以，=20,即截得此圆台的圆锥的母线d£>DU IJ长为20cm..若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是()解析:选D结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的,所以A、B、C错误.故选D..用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥,截得圆台上、下底面半径的比是1：4,且该圆台的母线长为9,则截去的圆锥的母线长为()9A.^ B.3

C.12D.36C.12解析:选B根据题意,设圆台的上、下底面的半径分别为r,R,设圆锥的母线长为L,截去的小圆锥的母线长为/,二・圆台的上、下底面互相平行,••.エ=斤=不可得丄=4/.ゝ・圆台的母线长为9,可得L-，=9,3.♦ラ丄=9,解得丄=12,.•・截去的圆锥的母线长为!2-9=3..如图所示的几何体是由一个圆柱挖去ー个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面\ /解析:由题意,当截面过旋转轴时,圆锥的轴截面为①;当截面不过旋转轴时，圆锥・的轴截面为⑤，综上可知截面的图形可能是①⑤.答案:①⑤到圆M.(1)若OA=1,求圆M的面积;(2)若圆M的面积为3n,求。到圆M.(1)若OA=1,求圆M的面积;(2)若圆M的面积为3n,求。ん解:(1)若04=1,则0M=1,故圆M的半径r=y]0A2—0M1=3所以圆M的面积S=n户=]ロ.Wa陰(2)因为圆M的面积为3n,所以圆M的半径r=小,nl,QP贝リ0ム2=（デJ+3,3,, へ所以ス。ム2=3,所以042=4,所以。4=2.15.如图所示,圆台母线长为20cm,上、下底面半径分别为5cm和10cm,从母线んB的中点M拉一条绳子绕圆台侧，一-ミー、、加面转到8点,求这条绳子长度的最小值.解:如图所示,作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥.连接MB，,在圆台的轴截面中,：Rt△。むsRCOQB,. OA PA_. OA5. _''OA+AB=QB'"OA+AB='10'"0/4=20cm，设/BOB，=a,由扇形弧后的长与底面圆Q的周长相等,得2X10Xn=OBXa,即20n=(20+20)Xa,n二0=テ•••在RCR，OM中,BfM=y/OM2+OB,2=^302+402=50(cm).即所求绳长的最小值为50cm.3、立体图形的直观图.根据斜二测画法的规则画直观图时,把。X,Oy,Oz轴画成对应的。ヤ,O'y',O'z',则/fOy与/ゴ。勿的度数分别为（ ）A.90°,90° B.45°,90°C.135°,90° D.45°或!35°,90°解析:选D根据斜二测画法的规则,Nx'O,〈的度数应为45°或135°,Nx。ヲ指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角,所以度数为90°.故选D..（多选）利用斜二测画法得到:①水平放置的三角形的直观图是三角形;②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形;③水平放置的正方形的直观图是正方形;④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（）A.① B.②C.③ D.④解析:选AB水平放置的〃边形的直观图还是〃边形,故①正确;因为斜二测画法是ー种特殊的平行投影画法,所以②正确;因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误..如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为ー个正方形,则原图的形状是（）C D解析:选A根据斜二测画法知,在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故选A..已知两个圆锥,底面重合在ー起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另ー个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A.2cm B.3cmC.2.5cm D.5cm解析:选D圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行线段长度不变,仍为5cm.故选D..已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸ー样,长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m,四棱锥的高为8m.如果按1：500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()4cm,1cm,2cm,1.6cm4cm,0.5cm,2cm,0.8cm4cm,0.5cm,2cm,1.6cm4cm,0.5cm,1cm,0.8cm解析:选C由比例尺可知,长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm,再结合直观图,知在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm..关于斜二测画法,下列说法不正确的是.①原图形中平行于ス轴的线段,其对应线段平行于づ轴,长度不变;②原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y’轴,长度变为原来的;;③画与直角坐标系イOy对应的ノ。ヅ时,厶’O'y,必须是45°；④在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同.解析:画与直角坐标系xOy对应的坐标系イOy时,Nx’〇'＜也可以是135°.答案:③.如图所示,ー个水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2),则用斜二测画法れ ，B画出的正方形的直观图中,顶点ダ到ゴ轴的距离为

解析:画出直观图（图略）,则タ到ゴ轴的距离为冬;。A=坐。A=坐答案:ぎ/ゲ.在直观图中,四边形。‘A'B'C为菱形且边长为 "一b，2cm,则在坐标系x。ド中原四边形。ABC为（填/ノ形状）,面积为cn?. /0，ズ工‘解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形。厶3C为矩形,其中。ス=2cm,。0=4cm,所以四边形。ん的面积S=2X4=8（cm2）.答案:矩形89.用斜二测画法画出图中水平放置的四边形。A8C的直观图.解：（1）画ノ轴，y'轴,两轴相交于点。，,使/ゴ。ザ=45°.（2）在ノ轴上取点H,使。7/=3,作”4〃ブ轴，并取A'”=1（4在づ轴下方）,在ブ轴正半轴上取点C,使。’C'=1,在X,轴正半轴上取点8',使。’8'=4,顺次连接。'，A',B',C,如图①所示.（3）擦去作为辅助线的坐标轴、线段A'“、点”,便得到四边形。A8C的直观图O'A'B'C',如图②所示.图①10.ー个机器部件,它的下面是ー个圆柱,图①10.ー个机器部件,它的下面是ー个圆柱,图②上面是ー个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3cm,高为3cm,圆锥的高为3cm,画出此机器部件的直观图.解：（1）如图①,画x轴,y轴，z轴，三轴相交于点。，使/xQy=45°,ZxOz=90°.

(2)画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆〇,使直径为3cm,在z轴上截取〇。’,使〇。’=3cm,过。'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线。'ブ,利用。'イ'与。'y'画出底面圆。'，使其直径为3cm.(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P,使尸。'等于圆锥的高3cm.(4)成图.连接A'A,B'B,PA',PB',擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得到此几何体(机器部件)的直观图,如图②.图②图②A.；C.1+啦D.A.；C.1+啦D.2+^211.ー个水平放置的平面图形的直观图是ー个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是(B.解析:选D法一:如图(1)所示,由直观图是ー个底角为45°的等腰梯形。'ハ'C8'可知,原图形是直角梯形(如图(2)所示),根据题意,易知原图形上底长为1,下底长为1+啦,高为2,故这个平面图形的面积是ヨx(l+l+啦)X2=2+啦.⑴⑴法二:直观图是上底长为!,高为为・,下底长为1+2Xり・的梯形,故原平面图形的面积为:X(l+1+2X面图形的面积为:X(l+1+2XX乎Xオ=2+¢12.（多选）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图,0'为TOC\o"1-5"\h\z夕C的中点,且4ひ〃y轴,B'C〃ズ轴,那么在原平面图形ABC中（ ）与AC相等 パAO的长度大于AC的长度 /ス’A8的长度大于A。的长度 /夕D，L8c的长度大于4。的长度解析:选AC因为A'D'//y'^i,根据斜二测画法规则,在△ABC中有ADLBC,又为8C边上的中线,所以△ABC为等腰三角形,则与AC相等,且长度都大于AO的长度,但BC与AO的长度大小不确定,故选A、C..如图所示,O'B,表示水平放置的△403的イバ直观图,点が在ペ轴上,A’〇,与"轴垂直,且477=2, //ブ则△AOB的边。8上的高为. /解析:设△408的边。8上的高为ん,由直观图中边〇®B'/〇'x与原图形中边08的长度相等,及S康用=26S克毗a,得;。8X〃=2WxTxA'〇,X。’B',则h=4j.故AAOB的边0B上的高为小也.答案：4啦.如图,四边形是边长为1的正方形,且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,请画出该四边形的原图形,并求出原图形的面积.D/y'。（イ）/ゝ一

/いラB'解：画出平面直角坐标系xOy,使点A与原点。重合,在ハyx轴上取点C,使AC=a,再在y轴上取点D,使AO=2,取、AC的中点E,连接OE并延长至点B,使。E=EB,连接。。， |\\厂_匕易知四边形ABC。为平行四边形.・シ。=2,AC=yf2,•••S“bcd=2X啦=2啦,即原图形的面积为2，115.如图为ー几何体的展开图,沿图中虚线将它们折叠起来,请画出其直观解:由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是ー个四棱锥,其底面是ー个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示.4、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积TOC\o"1-5"\h\z.正方体的表面积为96,则正方体的体积为（ ）A.48^6 B.64C.16 D.96解析:选B设正方体的棱长为a,则6a2=96,.,.a=4.，其体积V=a3=43=64.故选B.2.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为ぐ,那么它的体积为（）A.673 B.小C.2小 D.2解析：选B由底面边长为1和侧棱长为小,可知高ん=2.又因为底面积S所以体积V=gsh=!x^坐メ2=5.

.一个棱柱和一个棱锥的高相等,底面积之比为2:3,则棱柱与棱锥的体积之比为（）A.z B.21C.2 D.3解析:选B设棱柱的高为ル,底面积为S,则棱锥的高为ん底面积为5S,古攵二者的体积之,匕为テラ"="50=T=2.び麺1.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究,从其中的一些数学用语可见,譬如“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC-4BC1,其中AC丄BC,若ん4i=A8=l,当“阳马”即四棱锥8-4ACG体积最大时,“堑堵”即三棱柱ABC-AxB\C\的表面积为（）A.V2+1 B.小+1TOC\o"1-5"\h\z「2啦+3 n^3+3し,2 2解析:选CV四棱锥かんACCごずCBC/X声1"CV三棱柱ABC-AiBiCCリ三棱柱ABC-AiBiCi=2AC，BC,AA|=2AC,比WJAC21 1 ヽ/2 ヽ/2+3。2）=ア序=不当且仅当AC=BC=4时取等号,即当AC=BC=さ"时,V三棱柱ABC-A\B\C\取得最大值,此时四棱锥8-4ACG三棱柱ABC-A\B\C\棱柱ABC-A\B\C\的表面积为2X.XぎX乎+（乎+孚+1ト1=3+;也.故选.鲁班锁起源于中国古代建筑的梯卯结构.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.图①是一个鲁班锁玩具,图②是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁玩具的表面积为（）A.8（6+6啦+小） B.6（8+8啦+小）C.8（6+673+^2） D.6（8+8小+夜）解析:选A由题图,可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个棱长为2（1+啦）的正方体截去了8个正三棱锥而得到的,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为啦,则该鲁班锁玩具的表面积为6X[4X（1+啦）2-4X；X让X啦!+8X4X2X小=8（6+昭+小）.故选A..如图,三棱柱ABCAEC的体积为1,则四棱锥C-AA'B'B的体积是解析:；Vc-A'B'C'=~^VaBCA'B'C=2>Vc-AA'B'B=1-7=T.答案:I.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是,表面积是.

解析:该几何体的体积V=4X6X3+gx4X3X3=90,表面积S=2(4X6+4X3+6X3)-3X3+：X4X3X2+^32+42X3+3X4=138.答案:90138.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,则它的深度为cm.解析:设油槽的上、下底面积分别为ぎ,5.由レ=；(S+#5'+S')h,得/1=3V 3X190000S+小S'+S'3600+2400+1600-万(cm).其中底面△ABO是腰长为a的等腰直角三角形,其面积S=；XA3XAO=52.底面ABD上的高为h=AA\=a.所以其体积レi=：S〃=§X；a2Xa=，.正方体的体积V=a3,所以V2=V—Vi=03—7a3=7a3.所以V1:レ2=1:5.(2)三棱锥ん-A8O与三棱锥A-A13O是同一个几何体.在卞 GL A/j 81/]△4BO中,AiB=BD=AiD=y/2a,如图,取8O的中点”,连接ん”，1J2则Ai”丄8。,BH=HDヲBD=/a

所以 （表〃）2—（争其面积Si=\bD•AiH=：X啦〃X常〃=坐〃2.「等a… r1 2 「等a因为VArABD=%AiB»即科=尹・d,所以とメ=gX坐/Xd,解得イ=ヰa,即点A到平面ん6。的距离为中a..已知正四棱台（上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心）上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.解:如图,E,田分别是8C,BG的中点,〇,Oi分别是下、上底面正方形的中心,则010为正四棱台的高,则。。=12.连接。E,O\E\,则0E=]A8=]X12=6,O\E\=^A\B\=3.过Ei作Ei"丄0E,垂足为“，则Ei”=OiO=12,OH=O\E\=3,HE=OE-0咼=6—3=3.在Rtz\Ei”E中,EiE2=Ei"2+”序=122+32=32x42+32=32*17,所以EiE=3拒.所以S個=4xgx（8iC+BC）XEiE=2X（6+12）X37^=108417.图甲图乙.现有一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干（如图甲,底面处于水平状态）.将容器放倒（如图乙，ー个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面EEiRド与各棱的交点分别为其所在棱的中点,则图甲中水面的高度为（）图甲图乙A.小 B.2解析:选D设正三棱柱的底面积为S,则ケ8GAi8iG=3S；E，ド,ドレS/\AFE1 1 3Ei分别为其所在棱的中点,.•・ー・=不即Saafe=/，SB边“BCFE='^S,VBCFE-B\C\F\E\=45X3=45，,,,图甲中水面的高度为ス.故选D.12.（多选）如图,直三棱柱ABC-AiBiG中,ん4i=2,AB=BC=\,ZABC=90°,侧面ん4iGC的中心为。,点E是侧棱BBi上的ー个动点,有下列判断,正确的是（）A.直三棱柱侧面积是4+2吸B,直三棱柱体积是うC.三棱锥E-A40的体积为定值D.AE+EG的最小值为2啦解析:选ACD在直三棱柱ABC-Ai61cl中,AAi=2,AB=BC=l,ZABC=90°,底面ABC和んルc是等腰直角三角形,侧面全是矩形，所以其侧面积为1X2X2+肝+12X2=4+2心故A正确;直三棱柱的体积为V=5a4bcA4i=1x1X1X2=1,故B不正确;如图,由〃平面ん41cle且点E是侧棱BB!上的ー个动点,所以三棱锥E-A41O的高为定值ぎ,S△ん410=ポれX2=乎,所以VE-AAQヾxgx当金,故C正确；将四边形BCC\B\>5BBi翻折,使四边形ABBiAi与四边形BCCiBi位于同一平面内,连接ACi与BBi相交于点E,此时AE+EG最小,AE+ECi=ACi=ylAA]+(.AiBi+BiCi)

2啦,故D正确.13,在底面是菱形的直四棱柱中,直四棱柱的对角线长分别为9,15,高是5,则该直四棱柱的表面积为.解析:如图所2啦,故D正确.13,在底面是菱形的直四棱柱中,直四棱柱的对角线长分别为9,15,高是5,则该直四棱柱的表面积为.解析:如图所示,设底面对角线BD=b,交点为〇,对角线んC=15,BDi=9.故有/+52=152,が+52=92,所以。2=200,从=56.因为底面是菱形,(BD辛a2+b2ItJ=^~200+56=64,即AB=8.所以该直四棱柱的侧面积为4X8X5=160,表面积为160+2X3Xぬ00*56=160+4丽.答案:160+4所14.如图,在多面体A8C0Eド中，已知平面A8CO是边长为4的正方形，EF//AB,EF=2,Eド上任意一点到平面A3CZ）的距离均为3,求该多面体的体积.V臼校推E-A8CD=テX42X3=16.■:AB=2EF,EF//AB,•,S厶EAB-2sへBEF,

V三楼使F-EBC=V三林推C-EFB=2^三枝樓C-A8E=/V三板椎E-ABC=5X]Vratt»*E-ABCD=4..,.多面体的体积V=V«ni»E-ABCD~^V3.（4nF-£BC=16+4=20.15.ー个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为ん一个正三棱柱ん81G-AoBoユ的顶点ん,Bi，G分别在三条棱上,Ao,Bo,Co分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?解:设三棱锥的底面中心为〇,连接P。（图略）,则PO为三棱锥的高,设Ai,Bi,G所在的底面与尸。交于Oi点,则为金・=§、",令んBi=x,而尸。=/z,h则POi=~x,于是OO\=h-POi=A—~x=/i^l—所以所求三棱柱的侧面积为s=3x-/i（l-り=乃（a—x）x=养5•一（x—§1当x=/时,S有最大值为キル，此时。1为P。的中点,即ん,Bi,G分别是三条棱的中点.5、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积C24Ji1,若球的过球心的圆面的周长是C24JiC2,2n"c2C— D.2JiC2r c2解析:选C由2ttR=C,得R=不^,所以S年=4nR2=7■.故选C.2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。1,。2,过直线0102的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（ ）A.12ヤ" B.12nC.872n D.10n解析:选B因为过直线0102的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2啦,底面圆的直径为2夜,所以该圆柱的表面积为2XnX（V2）2+2nX啦X2啦=12n.3.一平面截ー球得到直径为2小cm的圆面,球心到这个平面的距离是2cm,则该球的体积是（）A.12ncm3 B.36ncm3C.64%ncm3 D.108ncm3解析：选B设球心为。，截面圆心为Oi,连接。。,则00i垂直于截面圆。1,如图所示.在RtZ\OOiA中,01ム=小cm,00i=2cm, B/^~~_XV4.,•球的半径/?=0A=弋22+（小）2=3（cm）, \ ° /.•.球的体积V=^XnX33=36n（cm3）.4.已知圆锥的顶点为S,母线S4,S3互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△”3的面积为8,则该圆锥的体积为（）A.8n B.16nC.24n D.32n解析：选A由圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直，△SAB的面积为8,可得;SA2=8,解得SA=4.由SA与圆锥底面所成角为30°,可得圆锥的底面半径为2小,圆锥的高为2.故该圆锥的体积为V=1xnX（2小）2X2=8rt,故选A.5.圆台上底面半径为2.下底面半径为6(母线长为5,则圆台的体积为()A.40n B.52n212C.50n D.-2-n解析:选b作出圆台的轴截面如图所示,上底,ヤ &面半径MO=2,下底面半径NC=6,过D作DE垂// |ぐ、直NC,垂足为E,则EC=6-2=4,CD=5f故° NE6C£)£=3.即圆台的高为3,所以圆台的体积为V=|x3X(nX22+nX62+ypaX22XttX62)=52n..如图所示,在棱长为4的正方体上底面中心位置打ー个直径为2,深为4的圆柱形孔,则打孔后的几何体的表面积为.解析:由题意知,所打圆柱形孔穿透正方体,因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积,再加上一个圆柱的侧面积,同时减去两个圆的面积,即5=6X42+4X2n-2nXl2=96+6n.答案:96+6n.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为解析：设圆柱的高为〃,则3X-y"/?3=nR-•厶,解得ん=4R.答案:4R.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各ー个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各ー个,则新的底面半径为.解析：设新的底面半径为r,则有;Xn/X4+nノX8=gxttX52X4+nX22X8,解得r=巾.

答案:市.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=l,1=3,试求该组合体的表面积和体积.解:该组合体的表面积5=4n^+2nr/=4nXl2+2nXlX3=10n,该组合体的体积4 ,, ,,4マ,, 13n戸+nド，=§ロX13+nXl2X3=y.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的表面积.解:如图,设球心为〇,球的半径为r,Eド为正四棱锥的高,则在RtAAOF中,（4ーザ+（啦）2=メ,解得「=不T11.B.20nD.28n.如图所示的粮仓可近似看成一个圆锥和一个圆台的组合体，且圆锥的底面与圆台的较大底面重合.已知圆台的较小底面的半径为1,圆锥与圆台的高分别为小一1和3,则此组合体的外接球的表面积是B.20nD.28nA.16nC.24n解析：选B设该组合体的外接球半径为R,球心为〇,圆台较小底面的圆心为。レ则。び+12=戸,而〇01=頂ー1+3—/?=小+2—/?,故/?2=1+（小+2—R）2,所以R=ホ,所以该组合体的外接球的表面积S=4nR2=20rt..如图,用ー边长为啦的正方形硬纸,按各边中点垂直折起4个小三角形,做成一个“底座”,将体积为す的球放入其中,“底座”形状保持不变,则球的最高点与“底座”底面的距离为（ ）解析:选D由题意,可得“底座”的底面是边长为1的正方形,则经过44n个小三角形的顶点极球所得的微面圆的直径为1.因为球的体积为す,所以球的半径为1,所以球心到截面圆的距离为へ一（ナ=乎,因为垂直折起的4个小直角三角形斜边上的高为］,所以球的最高点与“底座”底面的距离为芈+1+ラ=坐+,.故选D..《九章算术》是中国古代第一部数学专著,书中有如下问题:“今有委菽依垣,下周三丈,高七尺.问:积及为菽各几何?”其意思为:“现将大豆靠墙堆放成半圆锥形,底面半圆的弧长为3丈,高7尺,问这堆大豆的体积是多少立方尺?应有大豆多少斛?”已知圆周率约为3,1丈等于10尺,1斛大豆的体积约为2.5立方尺，估算出堆放的大豆为斛.解析:因为半圆锥的底面半圆的弧长为30尺,所以可得底面圆的半径ア=；■410（尺）.又半圆锥的高为7尺,所以半圆锥的体积レルとX3X100X7=350（立方尺），约为140斛，所以堆放的大豆约为140斛.

答案:140.已知四棱锥的底面是边长为啦的正方形,侧棱长均为ホ.若圆柱的ー个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，求该圆柱的体积.解:如图所示,圆柱的高〇iO=gpo=5xq%2ームび=：Xyj5—l=l,圆柱的底面半径r=；AO=；.所以圆柱的体积9 1nV=n尸•〇iO=nX-X1=—15.已知Rt^ABC中,C=90°,分别以AC,BC,48所在直线为轴旋转ー周所得三个几何体的体积分别为％,レ2,V,试探究W,V2,ド之间的关系,并给出证明.C解:我$+= ダトS证明:如图,设AC=b,BC=a,作C”丄AB于“， ―h ゝB则AB=y/a2+b2.由射影定理,得A"=嫔スズ,BH=q=^,Cff=AHBH不存三个几何体分别是两个圆锥和组合体（有公共底面的圆锥组合体），依题意,得レi=§rrSi/ii=Qna2b,ゼ2=02〃2=彳nb2a,V=2n,CH2•AB=^n•，+ガ»yja2+b21 _c^b2=3n,1,19(a2+b2) 1所以该丁吻一nWード6、平面.下列有关平面的说法正确的是（）A.平行四边形是ー个平面B.任何一个平面图形都是ー个平面C.平静的太平洋面就是ー个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面解析:选D我们用平行四边形表示平面,但不能说平行四边形就是ー个平面,故A项不正确;平面图形和平面是两个概念,平面图形是有大小的,而平面无法度量,故B项不正确;太平洋面是有边界的,不是无限延展的,故C项不正确；在需要时,除用平行四边形表示平面外,还可用三角形、梯形、圆等来表示平面,故D项正确..若一直线a在平面a内,则正确的作图是（ ）解析:选AB中直线a不应超出表示平面a的平行四边形;C中直线a不在平面a内;D中直线a与平面a相交..能确定一个平面的条件是（）A,空间三个点 B.一个点和一条直线C.无数个点 D.两条相交直线解析:选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A、B、C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确.故选D..（多选）已知a,£为平面,A,B,M,N为点,。为直线,下列推理正确的是（）AEa,AW£,BGa,BSgaUBMGa,MGB,NGa,NGB=aCB=MNAGa,AG£=an£=AA,B,MGa,A,B,MG8,且A,B,/不共线つa,£重合解析:选ABD对于A,由基本事实2可知,aUB,A正确;对于B,由MGa,MG6,NGa,N£0,由基本事实2可知,直线MNUa,MNUB,AaCl/3=MN,B正确;对于C,VAea,AG0,.•.Ae（aC£）.由基本事实可知aAタ为经过A的一条直线而不是点ん故C错误:对于D,VA,B,M不共线,由基本事实1可知,过A,B,M有且只有一个平面，故a,£重合.故选A、B、D..已知平面a与平面タ,广都相交,则这三个平面可能的交线有（）A.1条或2条 B.2条或3条C.1条或3条 D.1条或2条或3条解析:选D当三个平面两两相交且过同一直线时,它们有1条交线:当平面夕和ア平行时,它们的交线有2条;当这三个平面两两相交且不过同一条直线时,它们有3条交线..如图：（1）平面A8|A平面AiG=:（2）平面AiGC4n平面AC=.答案：（1）43（2）AC.平面a,尸相交,a,6内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定个平面.解析:（1）当四点确定的两条直线平行或相交时,则四个点确定1个平面；⑵当四点确定的两条直线不共面时,这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点.答案:1或4TOC\o"1-5"\h\z.若直线，与平面a相交于点。,A,BGl,C,DG 紫a,且AC〃8D,则〇,C,。三点的位置关系是 . /―,解析:如图,,.,ん。〃5。,...AC与BO确定一个平面,/gO^D/记作平面タ,则aCガ=直线CD. /V/na=0,：.0Ga,又•；OeABu£,直线CD,

:.o,c,。三点共线.答案:共线.如图,在正方体ABCDAiBiGル中,判断下列命题是否正确,并说明理由.(1)由点A,〇,C可以确定一个平面;(2)由点A,Ci，-确定的平面为平面ADG田.解:(1)不正确.因为点A,〇,C在同一条直线上,故不能确定一个平面.(2)正确.因为点A,ル,G不共线,所以可确定一个平面.又因为A0〃8iG,所以点OG平面ABiG.所以由点A,Ci,ル确定的平面为平面AOGBi..已知正方体ABCO-4B1GO1中,E,尸分别为DCi，GBi的中点,ACQBD=P,A\C\QEF=Q.求证:(1)。,B,F,E四点共面;(2)若AC交平面。8ドE于/?点,则P,Q,R三点共线.证明:(1)如图所示,连接けA,则Eド是△OiSG的中位线,所以所〃かひ.在正方体AG中,B\D\//BD,所はEF〃BD.所以EF,8ワ确定一个平面,即。，B,F,E四点共面.(2)在正方体AG中,设平面んACG确定的平面为a,平面BDEF为仇因为QGAiC,所以QGa.又QWEF,所以QGん则Q是a与タ的公共点，同理尸是a与タ的公共点,所以aC/?=PQ.又んcCl/3=R,所以/?GAC所以/?Ga,且R",则RGPQ.故尸，Q,/?三点共线..设Pl，P2,P3，2为空间中的四个不同点,则“Pl，P2,P3,P4中有三

点在同一条直线上”是“Pl,P2,尸3,P4在同一个平面内”的（）A.充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选A由过一条直线和直线外一点有且只有一个平面,可得外,尸2,尸3,尸4在同一个平面内,故充分性成立.由过两条平行直线有且只有一个平面可得,当P1W/1, P3G12,P4Gム,ム〃，2时,P\,Pl,尸3,24在同一个平面内,但尸1,Pl,P3,尸4中无三点共线,故必要性不成立.故选A..在正方体ABCO-AiBiGOi中，M,N分别是棱。和上的点,MD=1d£）i, 那么正方体中过M,N,G的截面图形是（ ）B,四边形D.B,四边形D.六边形C.五边形解析:选C先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点,再确定截面与几何体的棱的交点.设直线CiM与CD相交于点E,直线CiN与CB相交于点F,连接所交直线4。于点P,交直线A8于点Q,则五边形GMPQN即为所求截面图形,如图所示..有以下三个命题:①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;②直线/在平面a内,可以用符号“/Ga”表示;③已知平面a与タ不重合,若平面a内的一条直线a与平面尸内的一条直线ル相交,则a与力相交.其中真命题的序号是.解析:若直线与平面有两个公共点,则这条直线ー定在这个平面内,故①正确;直线/在平面a内用符号“U”表示,即/Ua,②错误:由a与ル相交,说明两个平面有公共点,因此一定相交,故③正确.答案:①③.如图,在棱长为a的正方体ABQA4SGO1中,M,N分别是ん4レD\C\

的中点,过ク,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线Z.(1)画出直线/的位置;(2)设尸P,求线段尸Bi的长.解:(1)如图,延长OM交ワiAi的延长线于E,连接NE,则NE即为直线/的位置.(2)；M为ん4i的中点,AD//ED\,：.AD=A\E=A\D\=a.■:A\P〃D\N,且。iN=f,.*.A\P=^D\N=^a9, 1 3于疋PB\=A\B\—A\P=a—~7az=:^a.今イ.如图所示,今有一正方体木料ABCO-AiBiGOi,其中M,N分别是AB,CB的中点，要过。”M,N三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?解:作法如下:(1)连接MN并延长交。C的延长线于ド,连接。1ド交CG于Q,连接QN;(2)延长NM交。A的延长线于E,连接。1E交ん4i于P,连接MP:(3)依次在正方体各个面上画线。|P,PM,MN,NQ,QD\,即为木工师傅所要画的线,如图所示.7、空间点、直线、平面之间的位置关系.如果直线a〃平面a,那么直线a与平面a内的（ ）A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交解析:选D直线a〃平面a,则a与a无公共点,与a内的直线当然均无公共点..在正方体ABCDAiBiGDi中,E,ド分别是线段8C,C£）i的中点,则直线ん8与直线Eド的位置关系是（）A,相交 B.异面C.平行 D.垂直解析:选A如图所示,直线ん3与直线外一点E确定的平面为んBC。，EFU平面んBCQ1,且两直线不平行，故两直线相交.故选A..在长方体ABCD-AxB\C\DX的六个表面与六个对角面（面ん4CC、面ABCiDi,面AOG8、面ドル"。、面んBCA及面んBC。）所在的平面中,与棱Aん平行的平面共有（）A.2个 B.3个C.4个 D.5个解析:选B如图所示,结合图形可知Aん〃平面BC\,AAi〃平面DC\,A4i〃平面BBidO.故选B.んcんc4.若a,b是异面直线,且。〃平面a,那么b与平面a的位置关系是（ ）A.b//a B.b与a相交C.bua D.以上三种情况都有可能解析:选D若a,ル是异面直线,且a〃平面a,则根据空间中线面的位置关系可得,b//a,或bua,或ル与a相交..（多选）以下结论中,正确的是（ ）A.过平面a外一点P,有且仅有一条直线与a平行B.过平面a外一点P,有且仅有一个平面与a平行C,过直线，外一点P,有且仅有一条直线与，平行D,过直线ノ外一点P,有且仅有一个平面与ノ平行解析:选BC如图①所示,过点P有无数条直线都有a平行,这无数条直线都在平面尸内，过点P有且只有一个平面与a平行,故A错,B正确;如图②所示，过点尸只有一条直线与，平行,但有无数个平面与/平行,故C正确,D错..如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线G”, 是异面直线的图形有（填序号）.解析:题图①中,GH//MN.图②中,G,H,N三点共面,但MG/平面G//N,因此直线G”与异面.图③中,连接GM(图略)，GM//HN,因此,GH与MN共面.图④中，G,M,N三点共面,イ旦HG/平面GMN,因此G”与MN异面.所以图②④中GH与/N异面.答案:②④.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为ー组,则共有组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有个.解析：六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有4组互相平行的面,六棱柱共由8个面围成,在其余的7个面中,与某个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均为相交的关系.答案:46.在四棱锥P-A6C。中,各棱所在的直线互相异面的有对.解析：以底边所在直线为准进行考察,因为四边形ABC。是平面图形,4条边在同一平面内,不可能组成异面直线,而每ー边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线,所以共有4X2=8(对)异面直线.答案:8.三个平面a,B,ア,如果a〃タ,yHa=a,アC£=b,且直线cU£,c//b.(1)判断。与a的位置关系,并说明理由;(2)判断。与。的位置关系,并说明理由.解：(1)。〃0(.因为a〃タ,所以a与4没有公共点,又。u£,所以。与a无公共点,则。〃〇t.(2)。〃。.因为a〃タ,所以a与4没有公共点,又アCa=a,ydS=b,则aCa,bUB,且a,bUy,所以a,b没有公共点.由于a,b都在平面y内,因此。〃ん又。〃ル,所以。〃。..如图，在正方体A8CDABCひ中，E,ド分别为冊C,4'DI的中点,求证：平面ABB7V与平面CDFE相交.A B证明:在正方体ABCDA'B'C'。中,E为8'C’的中点,所以EC与8タ不平行,则延长CE与Bタ必相交于一点H,所以HGEC,H&B'B,又88'U平面ABB'A',CEU平面CDFE,所以//W平面ABB'A',"G平面CDFE,故平面与平面COFE相交..（多选）以下四个命题中正确的是（）A,三个平面最多可以把空间分成八部分B.若直线aU平面の直线わu平面タ,则“。与わ相交”与“a与尸相交”等价C.若aC0=I,直线aU平面a,直线bu平面タ,且aC\b-P■＞则PGID.若〃条直线中任意两条共面,则它们共面解析:选ACA正确:B中当a与タ相交时,a与ル不一定相交,故B不正确;C正确;D的反例:正方体的四条侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面，故选A、C..（多选）ー个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论,其A6与Eド是异面直线 ダ がA8与CM所成的角为60° M\\7v\C.所与AfN是异面直线 |ク《"-»ムD.MN//CD解析:选AC把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,与Eド是异面直线,即与是异面直线,AB//CM,MN与Cワ是异面直线,故A、C正确.13.（多选）已知a,O是两条不重合的直线,a,£是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是（）A.若a〃んbUa,则直线a平行于平面a内的无数条直线B.若a〃ガ,aUa,bU£,则a与b是异面直线C.若。〃£,aUa,则a//pD.若aC夕=b,aUa,则a,b一定相交解析:选ACA中,a//b,bUa,则a//a或aUa,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与力没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面タ没有公共点,所以a〃6,故C正确;口中,直线a与平面尸有可能平行，所以a,ル可能相交,也可能平行,故D错误..如图,正方体A5CD-ん万中,M,N分别是ん3, 的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线?说明理由;（2）。出和CG是否是异面直线?说明理由.解:（1）不是异面直线.理由:因为M,N分别是んり,8G的中点,所以MN〃AiG.又んA統。の，而DiD統CiC,所以ん4統GC.所以四边形んACG为平行四边形.所以AiC〃AC,得到MN〃AC.所以A,M,N,。在同一个平面内,故んW和CN不是异面直线.(2)是异面直线.理由如下:假设018与CG在同一个平面DiCCi内,则BG平面CG£h,CG平面CGOi,所以8CU平面CCQi.而BC丄平面CGOi,88平面CGOi,所以假设不成立,故DiB与CG是异面直线..如图,AB3A181GD1是正方体,在图⑴中,E,ド分别是G5,BBi的中点,画出图(1),图(2)中有阴影的平面与平面ABCO的交线,并给出证明.图⑴ 图⑵解:在图①中,设N为C。的中点,连接NE,NB,则EN〃BF,：.B,N,E,ド四点共面....E/与N8的延长线相交，设交点为M,连接んW.,.•用WEF,且MGNB,Eドu平面AM,NBU平面ABCD,是平面A6C。与平面AE尸的公共点,又,.,点A是平面A8CO和平面AEド的公共点,为两平面的交线.如图①所示.在图②中,延长ワC到点M,使CM=OC,连接8例,C\M,则GM〃。C//A\B,.,・用在平面んBG内.又在平面ABCO内，是平面ん8G与平面ABCD的公共点,又8是平面ん8G与平面ABC。的公共点,例是平面んBC与平面ABC。的交线.如图②所示.图① 图②8、直线与直线平行.两等角的ー组对应边平行,则（）A.另ー组对应边平行B.另ー组对应边不平行C.另ー组对应边不可能垂直D.以上都不对解析:选D另一组对应边可能平行,也可能不平行,也可能垂直.注意和等角定理（若两个角的对应边平行,则这两个角相等或互补）的区别.故选D..在三棱台AliG-ABC中,G,”分别是的中点,则G”与61c1（ ）A.相交 B.异面C.平行 D,垂直 ノベ''7ハ解析:选C如图所示,因为G,H分别是A8,AC的,ゝ］イ"中点，所以GH//BC,又由三棱台的性质得BC//B\C\,所以GH//B\C\..（多选）下列命题中,真命题有（ ）A,如果一个角的两边与另ー个角的两边分别平行,那么这两个角相等B,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D,如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.解析：选BD如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,所以A为假命题;如果一个角的两边和另ー1个角的两边分别垂直,那么这两个角的大小关系是不确定的,所以C为假命题:B、D是真命题..已知/区4C=NBi4iG,AB//A\B\,则AC与んG的位置关系是（ ）A.相交 B.异面C.平行 D.以上均有可能解析:选D如图所示,ABAC=^B\A\C\,AB//A\B\,则AC与AiG的位置关系是平行、相交或异面.故选D.

caca.已知在正方体ABCD-AiBiCiDi中（如图）,/U平面ん81Goい且I与BiCi不平行,则下列一定不可能的是（），与4。平行ん，与Aク不平行，与AC平行A，与BO垂直解析:选A假设，〃AO,则由ん。〃知ノ〃BiG,这与/与当G不平行矛盾,...，与A。不平行..在四棱锥P-A6C。中,E,F,G,”分别是出,PC,AB,8c的中点,若EF=2,则G"=.絞会。,故EF羅GH,故GH=2.絞会。,故EF羅GH,故GH=2.答案:2.如图，在空间四边形ABC。中,M,N分别是△ABC和△AC。的重心,若80=6,则MN=.解析:连接A"并延长交于E,连接んV并延长交C。于ド,再连接MN,2 1EF（图略）,根据三角形重心性质得8E=EC,CF=FD.J.MN^EF,EF%BD.：.MN貂亜.，MN=；m.答案:アJ.已知a,b,c是空间中的三条相互不重合的直线,给出下列说法：①若。〃んb//c,则〇〃c；②若。与/7相交,/?与c相交,则。与c相交;

③若aU平面a,bU平面タ,则a,万ー定是异面直线;④若a,わ与c成等角,则a〃b.其中正确的是（填序号）.解析:由基本事实4知①正确;当a与人相交,〃与c相交时,a与。可能相交、平行,也可能异面,故②不正确;当au平面a,〃U平面タ时,。与〃可能平行、相交或异面,故③不正确;当a,〃与c成等角时,。与〃可能相交、平行,也可能异面，故④不正确.答案:①.如图所示,△ABC和△4夕C的对应顶点的连线んが,BB',CC,交于同一点。,OA BOCO2口。何‘ OB' OC'=一点。,OA BOCO2口。何‘ OB' OC'=3'(1)求证:AB//A'B',AC//A'C,BC//B'C；⑵求S厶ABCSaA，BC的值.解：（1）证明:因为ん4'CBB'=O,且・AOBO2A'0B'0y所以ふAOBsAA'OB',所以NABO=NA'B'O,所以同理AC〃厶’C,BC//BrC.(2)因为4Q〃A5,A'C〃AC且AB和«夕,AC和4c方向相反，所以/84C=ZB'A'C.同理/A6C=N48'C,ZACB=ZA'C'B',所以△ABC*s△48C且"77ー07一=へん,ー=ふ,S^ABC5aa，b'cAB0AS^ABC5aa，b'c所以.如图,已知在棱长为a的正方体ABCD-AiBsCiD\中,M,N分别是棱CD,A£＞的中点.

（1）求证:四边形MN4G是梯形;（2）求证:NDNM=NDiAQ.证明:（1）如图,连接4c.在△ACZ）中,,：M,N分别是棱CO,AO的中点,.,.MN//AC,且MN=；AC.由正方体的性质,得AC〃AiG,且4C=AiG,：.MN//A\C\,且MN=%iG,即MNWAiG,.•・四边形MNA6是梯形.（2）由（1）可知MN//A\C\.'：ND//AiDi,：.NDNM与/D1A1C1相等或互补.又易知/ONM与NO14G均为锐角,NDNM=NDiAiCi..（多选）如图,在四棱锥A-BCQE中,底面四边形BC0E为梯形,BC//DE.设CD,BE,AE,AO的中点分别为M,N,P,Q,则（）PQ=^MNPQ//MNM,N,P,Q四点共面D.四边形MNPQ是梯形解析:选BCD由题意知PQ=^DE,且DEホMN,所以故A不正确;义PQHDE,DE//MN,所以PQ〃"N,又PQナMN,所以B、C、D正确..已知在空间四边形ABC。中,M,N分别是AB,CZ）的中点,且AC=4,BD=6,则（）A.1<MN<5 B.2VMNV10C.\WMN45 D.2<MN<5解析:选A取A。的中点”,连接M”，NH（图略）,则且M”=^BD,NH//AC,且NH=；AC,且M,N,”三点构成三角形,由三角形中三边关系,可得MH-NH<MN〈MH+NH,即1<MN<5.故选A..如图，已知E,ド分别是正方体A8CD-A181GA的棱AAi，CG的中点,则四边形EBHh是（填'‘正方形"或“菱形"）.解析:如图所示,在正方体ABCD-A\B\C\D\中,取棱BB\的中点G,连接CiG,EG.0,•；E,G分别为棱ん4i,Bル的中点,：.EG^A\B\. ）又AiBi總GDi,:.EG統CiDi, f/,j从而四边形EGCiDi为平行四边形，:.DiE統CiG.:F,G分别为棱CG,351的中点,；.C\F牆BG,从而四边形BGCド为平行四边形,：.BF^CiG,又。1E絞GG,1.DiE繕BF,从而四边形EBFD!为平行四边形.ホ不妨设正方体ん8。。ーん吊。1。1的棱长为a,易知BE=BF=^a.故平行四边形EBFD\是菱形.答案：菱形.在正方体A68-AI1G。］中.

图①图②图①⑴如图①所示,若E,ド分别为SC,CG的中点,求证:EF//ADi；(2)如图②所示,若F,“分别为CG,4A的中点，求证:BF/ZHDi.证明:(1)在正方体ABCD-A向GDi中,如图①所示,连接BG,因为AB//CD,AB=CD,且。。〃C1D1,CD=C\D\,所以A8〃GDi,且A8=CiDi,所以四边形ABC\D\是平行四边形,所以ADi〃8C;又E,F分别为SC,CG的中点,所以Eド〃BG,所以EF〃A0].(2)如图②所示，取8Bi的中点E,连接HE,EC\,则"E〃AiBi,HE=A\B\,A\B\//D\C\,A\B\=D\C\,所以HE〃01G,HE=D\C\,所以四边形HEC\D\是平行四边形,所以HD"/ECk51BE//FC1,且8E=FG=；CG,所以四边形EBFC!是平行四边彩,所以8F〃EG,所以BF〃HDi.图②15,如图所示为ー长方体木料,经过木料的面AiC1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.

图②解:如图所示,在面んG内过户作直线Eド〃BiG,交んS于点E,交CQi于点ド,则直线Eド即为所求.理由:因为Eト〃5。,BC//B\C\,所以Eド〃BC9、直线与平面平行的判定.圆台底面内的任意一条直径与另ー个底面的位置关系是（）A,平行 B,相交C,在平面内 D.不确定解析:选A圆台底面内的任意"—条直径与另ー个底面无公共点,则它们平行.故选A..若直线I不平行于平面a,且，Q。,则（）A.。内的所有直线与/异面B.。内不存在与/平行的直线C.。内存在唯一的直线与/平行D.。内的直线与/都相交解析:选B若在平面a内存在与直线，平行的直线，因/Qa,故/〃a,这与题意矛盾..如图,ー块矩形木板A8C。的ー边A6在平面。内,把这块矩形木板绕A8转动,在转动的过程中,AB的对边CO与平面a的位置关系是（）A.平行C.A.平行C.在平面a内B,相交D,平行或在平面a内解析:选D在旋转过程中,C0〃AB,易得C0〃a或COUa.故选D.B.如图,各棱长均为1的正三棱柱んBC-AiBiG,M,N分别为线段A1&3¢上的动点,且MN〃平面ACG4,则这样的MN有（）BA.1条 B.2条C.3条 D.无数条解析:选D如图,过线段んB上任一点M作〃ん交AB于点H,过点H作HG//AC交BC于点Gt过点G作CG的平行线,与C8i一定有交点N,且MN〃平面ACGAi,则这样的MN有无数条.故选D..（多选汝口图所示,P为矩形ABC。所在平面外一点,矩形对角线的交点为〇,M为P8的中点,给出以下结论,其中正确的是（ ）POM//PDOM〃平面PCD Z^4;-セニブ8OM〃平面PD4 D CD.。例〃平面PBA解析:选ABC由题意知,OM是△8P。的中位线,：.OM//PD,故A正确;P3U平面PC。,OM。平面PCD,〃平面PC。,故B正确;同理,可得OM〃平面尸。A,故C正确;OM与平面产区4和平面PBC都相交,故D不正确.故选A、B、C..梯形ABC。中,AB//CD,ABU平面a,C£W平面a,则直线C。与平面a的位置关系是.解析：因为A8〃C。，A8U平面a,CM平面a,由线面平行的判定定理可得CD"a.答案:平行.已知",〃是平面a外的两条直线，给出下列三个论断：①加〃〃;②m〃a；③"〃a,以其中两个为条件,余下的ー个为结论,写出你认为正确的ー个.解析：若加〃”,加〃a,则"〃a.同样，若加〃“，n//a,则加〃a.答案:①②"③（或①③"②）.过三棱柱ABC-A\B\CX的任意两条棱的中