与三角形高上任一点相关角相等问题

(市格致中学 λx+

-1+μx+

-1= 1b1h1994 数 有一道 取λ1,μ=-1得DE的方程1b1h 从△ABC的顶点AC的

x1c

+y1a

=线,垂足为D,在AD上任取一点H,直线 ACECH交ABFADEDDF所成的角1]

x1-

+y1-

=证明如图1先建立直角坐标系.设A0,aBb,0、Cc0H(0hACB 图

kDE=-kDFADEDDF所成的角.由结论1及同一法易得: 点EF分别在ACAB上,∠ADE=∠ADF.BECF的交点在高线AD上 当点H在AD上变化时,直x+

=1, + +

EFBC上的一个定点 证明:设EF与BC交于P.由梅涅定理(直线PEF截△ABC)及定理收稿日期:2005-10- EAFB EAFB只有一个端点是红色,所以,在上面统计一端为红色的线段的数目中,只被计入了一次.第统计中,被计入了两于是,可得出所有的红一次至此,问题里的关系已全部理清.解:根据题意可计算得出点阵中相邻两点构成的线段的总数为480条.x条红线段.又已知黄线段为196条,根据上述分析有

2x+196=4+96+396=x480-196-150134条16行列、个红2个红点在方阵的角上、条黄线段这些具体的数字和数字之间的各种巧合关系,而在于怎样分析性质这些内在规律.,,上面列举的这些数字无论怎么变动,解题的始终握在中则BP=BD.故PD=2BD·CD 因此,ACBDPF三线共点,即EF BD- P,EF恒过定点 若BC上存在点P满足BP

再由结1EFCFD例 如图3,在锐角△ABC中,AO平DCBDCP四点成调和点列)PEF,ADBECF三线共点,∠ADE=证明:由梅涅定理(直线PEF△ABC)

∠BAC,过点O分ABAC作垂OPOQ其垂足PQ,线段CP与BQ交于点W.延长AW交 图EAFB F求证·CEAFBD·EAFB 定理的逆定理知ADBECF三=例1在直线l的一侧画一个半圆Γ,CD是Γ上的两,Γ上过CD的切线分别交l于B和A,半圆的圆心段BAEACBD,Fl上的,EF⊥l.求证:EF平分∠CFD[2]证明:2,ADBC交点为P作PF⊥ABF.P、DO、四点共圆=AF.BFBPA=OAPOAPB 平分线PC=PD,DBFPCA′

例 设BC是⊙O直径,在BC所在D(BC间)P,BDBP,POPEF求证∠BDF=∠CDE∠OFD=∠OED=∠FPO证明:1)4,BFCE交于A由结论4BECF是知AD⊥BC, 图,∠ADF=∠BDF=(2BFHDCEHD分别四点∠FDH∠FBH=∠ECH=∠EDH.则∠EDF=2∠FBE=∠EOF.ODEF四点共圆BDF=∠OPF+=∠OPF+∠EODCDE∠EOD+∠OED,∠OFD=∠OED=∠FPO例 已知A为平面上两半径不等⊙O1O2的一个交点,两外公切线P1P2Q1Q2分别切两圆于P1P2Q1Q2,M1M2分别是P1Q1P2Q2的中点.求证:∠O1AO2=∠M1AM25设P1P2Q1Q2O1HO1O2DE HP2=HE·HD=HM

B1B2O1O2S∠O1P1M1=∠O1SP1SP1O1于另一1,O2QSQA2=∠S1A1=∠SA1P1似),A1A2QP1四点共圆.,点P2与点Q重合.O1P1M1=∠O1SP1=∠O2P2M2例 如图7,在四边形ABCD中,对ACF,DFBCG求证∠GAC=(1999 赛进一步可得DM1M13O1AM1∠AHO1∠AHO2=∠O2AM2∠O1AO2=∠M1AM23199015题3]5O1O2两条公O1A1B1O2A2、B2,A1B1A2B2O1O2M1、M2⊙OA1A2O1、⊙O2P1P2求证:∠O1P1M1=∠O2P2M26当两圆半径不等时设A1A2

:ABAD,ABCD是筝,结论成立.AB≠ADAAC的垂线与CBCD的延长线分别交于点MN2知,BAC=∠DACBNDMHAC上BNEDMG,BNDM的HBEDGFNEMG的交MNEG三线共点.34GAC注BGNDEM因为BD、GENM三线共点所以由笛沙格定理知BNDMHBGDECGNEMAC.1也可证∠GAC=例 设H是锐角△ABC的高线CP图 的任一点,直线AHBH分别交BCAC于MN(1)证明: =∠MPC(2OMNCP,一条通过E两点.证明:∠EPC=∠DPC.(2003,保加利亚数学

BFDE交于CACBDP,OP分别ABBFQT,OMQF交于点S.求证:ETS三点共线.引理的证明:9,AED AFDC(28延长PEACG,联结PDAM交于K.在与△KDMGE与KD的 图

·FD =1EOF 图ODFA=1DPBAP,EN

·

=1BGNKMA,

BPDO直线OPQ截△BDM得· =1GKEDMN

PDOMEOFTO

直线QTO截△BEF得· =1,GENDKMGEDK

FTBPENKMHGNDM

·OE·

EM=C故由笛沙格定理的逆定理知GDGMKDNEGD、EK、MNQ,GK与DEOMKNEHGMDN,即GMDNCP上.AGMBDNAGBD的交CAMBNHGMDN的交点MNAB三线共点于Q.

··以上六式相乘得QSFTBE··SFTBETS三点共线:10OP交AEQ交BF于T联结QFODS由引理知E、TS三点共线.在△QEF=例8ABCD的两组对边的延长线分别交于EF两点,两对角线的交点为P,过P